Theoretische Physik 3, Quantenmechanik - TUM

Kommutatoren
Die Matrix eines hermiteschen Operators Ô in der (orthonormalen)
Basis seiner Eigenzustände ist diagonal: 〈φ m |Ô|φ n〉 = ω n δ m,n .
Zwei hermitesche Operatoren (Observable) Â und ˆB heißen
gleichzeitig messbar, wenn sie eine gemeinsame Basis von
Eigenvektoren haben. In dieser gemeinsamen (orthonormalen)
Basis von Eigenvektoren sind beide Matrizen diagonal,
〈φ m |Â|φ n〉 = α n δ m,n , 〈φ m |ˆB|φ n 〉 = β n δ m,n , und folglich ist
〈φ m |ˆB|φ n 〉 = α n β n δ m,n = 〈φ m |ˆBÂ|φ n〉, d.h. ˆB = ˆBÂ.
Zwei Observable  und ˆB sind genau dann gleichzeitig messbar
(die Matrizen simultan diagonalisierbar) wenn ˆB = ˆBÂ, d.h.
wenn der Kommutator [Â, ˆB] verschwindet.
Kommutator:
[Â, ˆB] def = ˆB − ˆBÂ
Rechenregeln: [ˆB,Â] = −[Â, ˆB] , [Â, ˆBĈ] = ˆB[Â,Ĉ]+[Â, ˆB]Ĉ
Ort und Impuls:
[ˆp,ˆx] = i