Theoretische Physik 3, Quantenmechanik - TUM

Der radialsymmetrische harmonische Oszillator
Ĥ = ˆ⃗p 2
2µ + µω2
2 r2 = ˆ⃗p 2
2µ + µω2
2
(
x 2 +y 2 +z 2)
Energieeigenwerte und Eigenfunktionen (in kartesischen
Koordinaten) wurden bereits berechnet (Seiten 27, 28). Zu
gegebenem l besitzt die radiale Schrödingergleichung (normierte)
Lösungen, ϕ n,l (r), n = 0, 1, 2,... mit der expliziten Form
[
2
ϕ n,l =
( √ πβ) 1 2
2 n+l n!
(2n+2l+1)!!
] 1 2
x l+1 (
L l+1 2
n x
2 ) √
e −x2 /2 , x = r β , β =
Dabei sind L α n — die verallgemeinerten Laguerre-Polynome —
Polynome vom Grad n im Argument r 2 /β 2 .
Die zugehörigen Energieeigenwerte sind:
E n,l =
(
2n+l + 3 2
)
ω =
(
N + 3 2
)
ω , N = 2n+l .
µω .