Theoretische Physik 3, Quantenmechanik - TUM

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3. Algebraische Struktur der <strong>Quantenmechanik</strong> Hilbertraum ξ stehe für einen (vollständigen) Satz von Variablen, die ein physikalisches System quantenmechanisch beschreiben. Beispiel: drei wechselwirkende Massenpunkte, ξ ≡ (⃗r 1 ,⃗r 2 ,⃗r 3 ) oder ξ ≡ (⃗p 1 ,⃗p 2 ,⃗p 3 ) oder ξ ≡ (⃗r 1 ,⃗p 2 ,⃗r 3 ), etc. Die Menge der stetigen, fast überall mindestens zweimal differenzierbaren, quadratintegrablen komplexwertigen (Wellen-)Funktionen mit geeigneten Randbedingungen, { ∫ } H = ψ(ξ) : |ψ(ξ)| 2 dξ < ∞ , Randbedingungen , ist ein Vektorraum über C mit höchstens abzählbar vielen linear unabhängingen Vektoren.
Die Verknüpfung ∫ ψ 1 ,ψ 2 ↦→ ψ 1 (ξ) ∗ ψ 2 (ξ)dξ def = 〈ψ 1 |ψ 2 〉 definiert ein unitäres Skalarprodukt mit den Eigenschaften Linearität: 〈ψ 1 |ψ 2 +cψ 3 〉 = 〈ψ 1 |ψ 2 〉+c〈ψ 1 |ψ 3 〉 unitäre Symmetrie: 〈ψ 2 |ψ 1 〉 = 〈ψ 1 |ψ 2 〉 ∗ Positivität: 〈ψ|ψ〉 ≥ 0 , 〈ψ|ψ〉 = 0 ⇐⇒ ψ(ξ) ≡ 0 Die Norm ‖ψ‖ eines Elements ψ von H ist: ‖ψ‖ = √ 〈ψ|ψ〉, und der Abstand zweier Elemente ψ 1 , ψ 2 ist ‖ψ 1 −ψ 2 ‖. H ist vollständig in dem Sinne, dass eine Cauchy-Folge von Elementen in H einen Limes in H besitzt. Einen Vektorraum H mit den obigen Eigenschaften nennt man einen Hilbertraum.
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