Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

14 1 Affine Geometrie
Genauso wie Euklids erste Definition „Ein Punkt ist, was keine Teile hat.“ beruht
unser Ansatz freilich wie die gesamte aktuelle Mathematik auf einem
wenig fundierten Konzept, nämlich dem der Menge (s. dazu z.B. [Hal74]).
Definition 1.1. Eine affine Ebene ist eine Menge, deren Elemente wir Punkte
nennen, zusammen mit einer Menge von Untermengen, sogenannten Geraden, die
den unten stehenden Axiomen A1–A3 genügen. Für einen Punkt P und eine Gerade
l schreiben wir auch P liegt auf l oder l geht durch P für die Eigenschaft P∈l.
A1 Zu je zwei verschiedenen Punkten P, Q gibt es genau eine Gerade, die P und Q
enthält, notiert PQ.
A2 Zu jeder Geraden l und jedem Punkt P, der nicht auf l liegt, gibt es genau eine
Gerade m, auf der P liegt und die keinen Punkt mit l gemeinsam hat.
A3 Es gibt drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
Mit dieser Definition werden zwei Eigenschaften besonders herausgehoben,
für die wir eigene Begriffe einführen möchten:
Definition 1.2. Eine Menge von Punkten heißt kollinear, falls es eine Gerade gibt,
auf der alle Punkte liegen.
Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie entweder identisch sind oder wenn sie
keinen Punkt gemeinsam haben. Notation: l ‖ m. Daher wird Axiome A2 auch
Parallelenaxiom genannt.
Um Beziehungen wie liegt auf und geht durch einheitlicher formulieren zu
können, führen wir einen sehr symmetrischen neuen Begriff ein, der sich,
wie sich später noch herausstellen wird, als sehr nützlich erweisen wird:
Definition 1.3. Gilt für einen Punkt P und eine Gerade g, dass P∈ g, so sagen wir,
P inzidiert mit g und g inzidiert mit P.
Beispiel 1.4 (Die reelle affine Ebene). Die gewöhnliche, aus der euklidischen
Geometrie bekannte, EbeneR 2 , erfüllt die Axiome A1–A3 und ist daher
eine affine Ebene, die reelle affine Ebene. Wie üblich verwenden auch wir
Cartesische Koordinaten, wie in der analytischen Geometrie, um diese Ebene
darzustellen: Ein Punkt P wird dabei durch ein geordnetes Paar (c, d)∈R 2
repräsentiert und eine Gerade besteht aus allen Punkten (x, y), die eine lineare
Gleichung erfüllen, also y = mx+b oder x = a für gewisse a, b, m ∈ R
(Abb. 1.1). Knapper lässt sich dies, wie aus den Grundvorlesungen bekannt,
folgendermaßen mit Hilfe von Vektoren formulieren:
(( ( )) ( )
x a1 n1
− · = 0,
y)
a 2 n 2
wobei·das Skalarprodukt bezeichnet, a∈R 2 ein Aufpunkt der Geraden und
n∈R 2 der normierte Normalenvektor ist. Wie ebenfalls bekannt sein sollte,
ist dann a·n der Abstand der Geraden vom Ursprung. ⊓⊔
— Version vom: 12. Dezember 2008 —