Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

38 2 Projektive Geometrie
Satz 2.23. Sei A∈C n×n eine reelle symmetrische oder hermitesche Matrix. Dann
hat A nur reelle Eigenwerte.
Beweis. Sei A∈C n×n eine hermitesche Matrix und sei A= t A ein Eigenwert
von A und v∈C n \{0} ein Eigenvektor von A zuλ. Also A·v=λ·v. Dann
gilt:
λ〈v, v〉=〈v,λv〉=〈v, Av〉=〈Av, v〉=〈λv, v〉=λ〈v, v〉.
Dies zeigt: (λ−λ)〈v, v〉= 0⇒λ=λ, das heißt:λ∈R.
Die Grundlage für die Klassifikation der Quadriken bildet der folgende Satz.
Wie üblich bezeichnet dort SO(n)⊂O(n) die normale Untergruppe der reellen
orthogonalen Matrizen mit Determinante 1, wobei O(n)={A∈GL(n,R)|
t AA=A t A=id} (d.h. A∈O(n)⇒det(A)∈{±1}).
⊓⊔
Satz 2.24 (Hauptachsentransformation). Sei A∈R n×n symmetrisch. Dann existiert
eine orthogonale Matrix S∈SO(n), so dass
⎛
λ 1 0
t SAS= . .. ,
⎜⎝
⎞⎟ ⎠
0 λ n
wobeiλ i die (zwingenderweise reellen) Eigenwerte der Matrix sind.
Beweis. Seiλ∈R ein Eigenwert und v∈R n ein zugehöriger Eigenvektor mit
Länge‖v‖=1. Sei W= v ⊥ ={w∈R n |〈w, v〉=0} (s. Abb. 2.14). Wir zeigen:
w
v
Abbildung 2.14. Das orthogonale Komplement W= v ⊥ eines Vektors v.
Aw∈W∀w∈W.
Dies zeigt: Aw∈v ⊥ = W.
〈Aw, v〉=〈w, Av〉 (weil A symmetrisch ist)
=〈w,λv〉 (weil v ein Eigenvektor ist)
=λ〈w, v〉 (Skalarprodukt)
=λ·0 (weil w⊥v)
= 0.
— Version vom: 12. Dezember 2008 —