Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

16 1 Affine Geometrie
P
Q
l
S
R
m
PQ
PR
PS
QR
QS
RS
P Q R
S
Abbildung 1.2. Eine affine Ebene mit 4 Punkten. Das linke Bild veranschaulicht sie
durch Punkte und Strecken, das rechte Bild durch die Inzidenzen: ein Kästchen ist
schwarz gefärbt, wenn der Punkt auf der Geraden liegt. Vertauscht man hier schwarze
Kästchen mit 1en und weiße mit 0en, so ergibt sich eine sogenannte Inzidenzmatrix.
1.2 Abbildungen der affinen Ebene
1.2.1 Automorphismen
Wir betrachten nun Abbildungen von der affinen Ebene in sich mit gewissen
Eigenschaften. Dabei beschränken wir uns auf solche Abbildungen, die die
wesentlichen Eigenschaften der affinen Ebene, insbesondere die Kollinearität
von Punkten, beibehalten:
Definition 1.8. Ein AutomorphismusΦeiner affinen EbeneAist eine Permutation
(bijektive Abbildung) der Punkte vonA, die kollineare Punkte auf kollineare
Punkte abbildet.
Wenn keine Verwechselungen möglich sind, bezeichnen wir das Bild eines Punktes
bzw. einer Gerade unter einem Automorphismus durch Hinzufügen eines ′ , beispielsweise
P ′ =Φ(P) für einen Punkt P, um die umständliche SchreibweiseΦ(.) zu
vermeiden.
Eine affine Invariante ist eine Eigenschaft einer Menge von Objekten einer affinen
Ebene, die nach Anwendung eines beliebigen Automorphismus der Ebene erhalten
bleibt.
Zunächst betrachten wir Abbildungen jener affinen Ebenen, die im vorigen
Abschnitt bereits ins Spiel kamen:
Beispiel 1.9 (Permutationen der Ebene mit vier Punkten). Permutieren wir
in der Ebene mit vier Punkten aus Beispiel 1.7 die Buchstaben P, Q, R, S, so
werden dabei Geraden auf Geraden abgebildet und außerdem wird Parallelismus
erhalten. Dies lässt sich leicht nachprüfen; wir betrachten hier nur die
Vertauschung von P und Q: die Geraden PR und QS werden auf QR und PS
abgebildet. Die Menge der Punkte und auch die Menge der Geraden bleibt
bei der Permutation erhalten. Eine solche Permutation der Punkte liefert also
— Version vom: 12. Dezember 2008 —