Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

28 2 Projektive Geometrie
meisten Aussagen, die wir über projektive Ebenen machen werden, auf lineare
Algebra zurückführen können:
Proposition/Definition 2.6. Sei V ein dreidimensionaler Vektorraum über einem
Körper K. Wir betrachten die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von
V und die Menge der zweidimensionalen Untervektorräume von V. Diese bilden die
Punkte bzw. Geraden einer projektiven Ebene, notiertP(V) oder auchP 2 (K), wenn
uns die Unterscheidung zwischen isomorphen V 1 und V 2 nicht wichtig ist..
Beweis. Übungsaufgabe.
⊓⊔
Beispiel 2.7. Für K=F 2 , der Körper mit zwei Elementen, ergibt sich eine
projektive Ebene mit 7 Punkten, die isomorph zur oben angegebenen Ebene
mit 7 Punkten ist, wie sich leicht nachprüfen lässt ⊓⊔
Beispiel 2.8. Ein drei-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper
K=F n mit n=p k , wobei p eine Primzahl und k∈N, besitzt genau
n 2 + n+1 paarweise nicht kollineare Vektoren:
⎧⎛⎞
⎫ ⎞ ⎫ ⎞⎫
1 ⎪⎨
b
⎪⎩
⎜⎝ ⎟⎠ | b, c∈F ⎪⎬
⎧⎪ 0 ⎨
n
c
⎪⎭ ∪ ⎪
⎛⎜ 1
⎩⎝ ⎟⎠ | c∈F ⎪⎬
⎧⎪ 0 ⎨
n0
c
⎪⎭ ∪ ⎪⎬
⎪
⎛⎜ 0
⎩⎝ ⎟⎠
1
⎪⎭ .
Nach der Proposition gibt es also Projektive Ebenen mit n 2 + n+1 Punkten.
n nennt man auch Ordnung der endlichen projektiven Ebene. Es ist ein
noch ungelöstes Problem, ob es eine endliche projektive Ebene von Nicht-
Primzahlpotenz-Ordnung gibt! ⊓⊔
Beispiel 2.9. Für K =R ergibt sich eine reelle projektive Ebene (Abb. 2.5,
siehe [BL06, Nr. 3] für eine Animation). Wir werden sehen, dass diese im
Wesentlichen der vorigen reellen projektiven Ebene entspricht. ⊓⊔
Abbildung 2.5. Einige Objekte inP 2 (R): vier Geraden (also Ursprungsebenen imR 3 )
und deren Schnittpunkte (also Ursprungsgeraden imR 3 ).
— Version vom: 12. Dezember 2008 —