Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

34 2 Projektive Geometrie
Beispiel 2.18. Wir betrachten die beiden Geraden g, g ′ ∈A 2 (R) mit g=x+
y−1, g ′ = x+ y+1. Wir denken uns die affine Ebene eingebettet in denR 3
als die Ebene x 3 = 1 und fragen uns, welchen Schnittpunkt g und g ′ in dem
zugehörigen projektiven RaumP(R 3 ) haben.
Dazu müssen wir zunächst Gleichungen der g und g ′ entsprechenden projektiven
Geraden, h und h ′ , finden. Wir ersetzen also x durch x 1
x 3
und y durch x 2
x 3
wie im Beweis. Um wieder Polynome zu erhalten, multiplizieren wir mit
x 3 und finden h = x 1 + x 2 − x 3 bzw. h ′ = x 1 + x 2 + x 3 . Kurz heißt dies:
h(x 1 , x 2 , x 3 )=x 3·g( x 1
x 3
, x 2
x 3
) und analog für h ′ . Gleichsetzen liefert−x 3 = x 3 ,
also x 3 = 0; insgesamt also x 3 = 0 und x 1 + x 2 = 0, d.h. h∩h ′ = (1 :−1 : 0). ⊓⊔
Beispiel 2.19. Sei k: x 2 + y 2 − 1=0 der Einheitskreis mit Zentrum (0, 0) in
A 2 (R). Eingebettet mit der kanonischen Einbettung inP 2 (R) erhalten wir die
Gleichung ( x 1
x 3
) 2 + ( x 2
x 3
) 2 = 1, also ¯k: x 2 1 + x2 2 − x2 als definierendes Polynom des
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entsprechenden projektiven Objektes, dieses beschreibt einen Doppelkegel
imR 3 . Wählen wir nun andere unendlich ferne Geraden als z=0, so erhalten
wir auch andere affine Objekte (Abb. 2.10):
Abbildung 2.10. Affine Kegelschnitte.
x 1 = 0 ist∞ferne Gerade: D.h., wir müssen einen Schnitt des Doppelkegels
mit einer dazu parallelen Ebene betrachten, z.B. x 1 = 1, um das entsprechende
affine Bild zu bekommen (denn in dieser Ebene gibt es keine
Punkte mit x 1 = 0). Wir erhalten: 1+x 2 2 − x2 = 0, eine Hyperbel.
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x 1 + x 3 = 0 ist∞ferne Gerade: Eine dazu parallele Gerade ist x 1 + x 3 = 1, was
ergibt: x 3 = 1−x 1 , also x 2 1 + x2 2 − (1−x 1) 2 = x 2 2 + 2x 1− 1 ⇐⇒ x 1 = 1 2 (1−x2 2 ).
Das ist eine Parabel.
Wir sehen also, dass wir im Wesentlichen alle affinen Kegelschnitte als affine
Versionen des projektiven Kegelschnittes x 2 1 + x2 2 − x2 erhalten. Später werden
3
wir noch näher auf die Klassifikation der affinen und projektiven Kegelschnitte
eingehen.
⊓⊔
— Version vom: 12. Dezember 2008 —