Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

Vorwort
Beim Spielen mit verschiedenen dynamischen Geometrie–Systemen wird
nach einer Weile klar, dass einige der Systeme sehr anders reagieren als andere
— obwohl eine Konstruktionsvorschrift ein eindeutiges Ergebnis liefern sollte,
scheint es hier mehrere Interpretationsmöglichkeiten zu geben. Insbesondere
für zukünftige Lehrer/innen, die immer wieder auf experimentierfreudige
Schüler treffen werden, erscheint es daher wichtig, solche Phänomene zu verstehen,
damit man/frau im Unterricht kompetent auf Nachfragen reagieren
kann.
Einige Beispiele: Warum passieren in vielen Programmen falsche, unnatürliche
Sprünge, obwohl die Konstruktion nur durch stetiges Ziehen eines Punktes
verändert wird, und warum in manchen anderen nicht? Warum können
gewisse Systeme Ortskurven korrekt darstellen und viele andere nicht? Wie
können manche Programme automatisch nicht–triviale Eigenschaften einer
Konstruktion feststellen (wie beispielsweise: die Höhen jedes Dreiecks schneiden
sich in einem gemeinsamen Punkt)?
Die Vorlesung (zweistündig, mit Übungen) beantwortet solche Fragen und
erläutert, wie die Probleme entstehen und wie sie lösbar sind. Der Schlüssel
dazu ist im Wesentlichen eine gute Kenntnis der reellen und komplexen
projektiven Geometrie. Daher wird die Vorstellung dieses besonders schönen
Bereiches der Geometrie einen großen Teil der Vorlesung einnehmen.
Im Anschluss geben wir noch einige knappe Darstellungen von Gebieten, auf
die man stößt, wenn man die Funktionalitäten der Computer–Programme
benutzt. Dies sind zunächst Fragen der Mächtigkeit von konstruktiver Geometrie,
wie beispielsweise: Welche Punkte können mit Zirkel und Lineal konstruiert
werden? Das genaue Studium dieser Frage wird es uns ermöglichen,
die drei klassischen Probleme der Griechen über die Konstruierbarkeit mit
Zirkel und Lineal zu klären: Würfelverdopplung, Winkeldreiteilung, Quadratur
des Kreises sind tatsächlich nur mit den genannten beiden Hilfsmitteln
nicht möglich. Erlauben wir aber auch Schnitte mit Kurven, die durch Bewe-