Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

18 1 Affine Geometrie
Parallelität zweier Geraden ist also eine affine Invariante.
Proposition 1.13. Die Menge AutA der Automorphismen einer affinen EbeneA
bildet eine Gruppe bzgl. der Hintereinanderausführung.
Beweis. Für Φ,Ψ ∈ AutA müssen wir nur überprüfen, dass sowohl
Φ◦Ψ als auch Φ −1 Geraden auf Geraden abbilden: Sind drei Punkte
P, Q, R ∈ A kollinear, so sind es auchΨ(P),Ψ(Q),Ψ(R) und dann auch
Φ(Ψ(P)),Φ(Ψ(Q)),Φ(Ψ(R)).
Betrachten wir nun die Punkte A=Φ −1 (P), B=Φ −1 (Q), C=Φ −1 (R)∈A.
Diese sind ebenfalls kollinear, da sonst für die Geraden AB und BC gelten
würde: ABBC, also auch PQQR, da P=Φ(A), Q=Φ(B), R=Φ(C). ⊓⊔
1.2.2 Dilatationen
Wir haben schon mehrfach gesehen, dass Parallelität von Geraden eine sehr
wichtige Eigenschaft affiner Ebenen ist. In diesem Unterabschnitt betrachten
wir nun Automorphismen, bei denen Parallelität eine noch stärkere Rolle
spielt:
Definition 1.14. SeiAeine affine Ebene. Eine Dilatation ist ein Automorphismus
Φ: x↦→ x ′ vonA, so dass für je zwei verschiedene Punkte P, Q gilt: PQ‖P ′ Q ′ .
Eine Dilatation bildet also jede Gerade auf eine parallele Gerade ab. Dies mag
zwar auf den ersten Blick wie ein sehr spezieller Fall erscheinen, doch eben
diese Situation kommt in der Praxis häufig vor, beispielsweise in Form einer
Streckung:
Beispiel/Definition 1.15 (Streckungen inA 2 (R)). In der reellen affinen EbeneA
2 (R)={(x, y)|x, y∈R} ist eine Streckung vom Ursprung O=(0, 0) aus
mit Streckungsfaktorλ gegeben durch
(x, y)↦→ (x ′ , y ′ )=(λx,λy).
Dies ist eine Dilatation, denn wenn P und Q zwei Punkte sind, so ist PQ‖ P ′ Q ′ ,
da die auftretenden Dreiecke ähnlich sind, wie sich leicht mit elementarer
Geometrie zeigen lässt (Abb. 1.4). Wir möchten hier aber betonen, dass dieser
Beweis sehr stark die Eigenschaften der reellen Zahlen ausnutzt, beispielsweise
das Konzept von Winkeln in der Ebene. Man kann dies also zumindest
so nicht auf eine allgemeine affine Ebene übertragen. ⊓⊔
Die folgenden Eigenschaften sind wieder leicht nachzuprüfen:
Proposition 1.16. 1. SeiAeine affine Ebene. Die Menge DilA der Dilatationen
vonAbildet eine Gruppe bzgl. Hintereinanderausführung.
— Version vom: 12. Dezember 2008 —