Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

40 2 Projektive Geometrie
(a) ( ˜m=m)
(b) ( ˜m=m+1)
(c) ( ˜m=m+2)
y 2 1
α 2 1
y 2 1
α 2 1
y 2 1
α 2 1
+...+ y2 k
− y2 k+1
−...− y2 m
α 2 α 2 α 2 k k+1
m
+...+ y2 k
− y2 k+1
−...− y2 m
α 2 α 2 α 2 k k+1
m
= 0,
= 1,
+...+ y2 k
− y2 k+1
−...− y2 m
= y
α 2 α 2 α 2 m+1 .
k k+1
m
Hierbei sindα 1 ,...,α m ∈R >0 Konstanten und 0≤k≤m.
Beweis. Nach dem Satz 2.24 über die Hauptachsentransformation∃S∈SO(n),
so dass ⎛
λ 1 0
t SAS= . .. = D
⎜⎝
⎞⎟ ⎠
0 λ n
Ist k die Anzahl der positiven Eigenwerte, m=rang A, dann können wir ohne
Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A.) annehmen, dass
⎛ ⎞
1
α 2 1
. ..
1
A=
α 2 k
− 1
α 2 k+1
.
. ..
− 1 α 2 n
⎜⎝
⎟⎠
Die Einführung neuer Koordinaten x=Sy und eine Translation erhält man
schließlich die Behauptung; siehe [Sch06, S. 124f] für Details. ⊓⊔
Affine Kegelschnitte n=2 haben viele interessante Eigenschaften. Zwei Beispiele:
Bemerkung 2.27. 1. Ellipsen haben zwei sogenannte Brennpunkte (s. Abb. 2.15):
Ein Lichtstrahl, der von einem der beiden Brennpunkte in eine beliebige Richtung
ausgesendet wird, wird an der Ellipse so reflektiert, dass er durch den anderen
Brennpunkt läuft. Diese Eigenschaft, die auch schon der Grieche Archimdes
von rund 2000 Jahren kannte, ist die Grundlage für eine Legende, nach der die
Griechen dies eingesetzt hätten, um eine gegnerische Flotte zu versenken.
— Version vom: 12. Dezember 2008 —