Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

24 2 Projektive Geometrie
Abbildung 2.1. Links: Aus Dürers Buch zur Perspektive (1525), Graphik gefunden
auf www.aip.de. Rechts: Eines von Dürers Selbstportraits, gefunden im WebMuseum
auf www.navigo.com
deren parallele Gleise auf dem Zeichenblatt am Horizont in einem Punkt
treffen. 1
Zum konzeptuell gleichen Ergebnis kommt man, wenn man feststellt, dass
sich zwei Geraden fast immer in genau einem Punkt schneiden und dass
diese Eigenschaft doch am Besten immer gelten sollte. Dies führt nämlich
natürlicherweise dazu, dass man einfach für jede Richtung paralleler Geraden
einen idealen Schnittpunkt „im Unendlichen“ hinzunimmt. Diese Idee
kann man tatsächlich zu einem sinnvollen Konzept ausbauen, wie wir im
folgenden Abschnitt sehen werden.
Wir werden außerdem beweisen, dass beide Zugänge — über die Perspektive
und über die Idee der abstrakten Schönheit der Mathematik — tatsächlich zu
isomorphen Begriffen von projektiven Ebenen führen.
2.1 Die Projektive Ebene als Vervollständigung der Affinen
Wir beschreiben nun zunächst den Zugang zur projektiven Ebene, der versucht,
das abstrakte Konzept von ebener Geometrie möglichst perfekt zu
realisieren, d.h. einfach Schnittpunkte von Geraden hinzuzunehmen, wenn
es keine gibt, damit sich zwei Geraden immer in genau einem Punkt schneiden.
Definition 2.1. SeiAeine affine Ebene. Für jede Gerade l∈Abezeichnen wir mit
[l] das Büschel aller Geraden, die parallel zu l sind. Für jedes Büschel [l] fügen wir
1 . . . sofern die Bahntrasse nicht bereits vor Beendigung der Zeichnung stillgelegt
wurde und die Gleise durch eine profitablere Autobahn ersetzt worden sind. Doch
auch deren Begrenzungen würden sich am Horizont vereinen.
— Version vom: 12. Dezember 2008 —