Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

32 2 Projektive Geometrie
2.3.2 Koordinaten für projektive Geraden
Projektive Geraden imP 2 (R) sind Ursprungsebenen imR 3 , also gegeben
durch eine Gleichung der Form
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0, a i ∈R, wenigstens ein a i 0.
Auch hier können wir wieder nicht unterscheiden zwischen skalaren Vielfachen
solcher Gleichungen:
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 ⇐⇒ (λa 1 )x 1 + (λa 2 )x 2 + (λa 3 )x 3 = 0.
Außerdem ist dies kompatibel mit der Tatsache, dass Punkte nicht zwischen
skalaren Vielfachen unterscheiden können:
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 ⇐⇒ a 1 (λx 1 )+a 2 (λx 2 )+a 3 (λx 3 )=0.
Wir notieren deshalb kurz eine solche Gerade (a 1 : a 2 : a 3 ), analog zur Notation
der Punkte.
Beispiel 2.15. Sei g=(1 : 2 : 4) eine projektive Gerade imP 2 (R). Der Punkt
p=(2 : 1 :−1)∈P 2 (R) liegt auf ihr, denn g| x=p = 2+2·1+4·(−1)= 0. Gleiches
gilt natürlich für den Punkt q=2p=p∈P 2 (R): g| x=q = 4+2·2+4·(−2)=0
und r=λp=p∈P 2 (R),λ0. ⊓⊔
2.3.3 Die reelle projektive Ebene
Mit Hilfe der eben eingeführten Koordinaten zeigen wir nun, dassP 2 (R) und
die Vervollständigung vonA 2 (R) im Wesentlichen das Gleiche liefern:
Proposition 2.16.P 2 (R) und die Vervollständigung vonA 2 (R) sind isomorph:
P 2 (R)S(A 2 (R)).
Beweis. Die Koordinaten vonP 2 (R) bezeichnen wir mit x 1 , x 2 , x 3 , jene von
A 2 (R) mit x, y. Die VervollständigungS(A(R)) enthält die Punkte (x, y) von
A 2 (R) und die unendlich fernen Punkte, die wir mit der Steigung m∈R∪∞
der entsprechenden Parallelenbüschel beschreiben.
Wir geben nun explizit einen Isomorphismus T :P 2 (R)→S(A 2 (R)) an (s.
Abb. 2.9). Sei dazu p=(p 1 : p 2 : p 3 )∈P 2 (R).
1. p 3 0: Wir definieren T(p) als den Punkt (x, y) vonA 2 (R) mit
(
p1
(x, y)= , p )
2
.
p 3 p 3
Dies ist wohldefiniert, da sich fürλp der selbe Bildpunkt ergibt. Auf
diese Weise können wir natürlich jeden Punkt vonA 2 (R) erhalten, z.B.
für p=(x, y, 1).
— Version vom: 12. Dezember 2008 —