Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

22 1 Affine Geometrie
seiψjene Streckung mit Zentrum O mitψ(B)=C, alsoψ(ϕ(A))=C. Dann ist
ϕ(B ′ )=A ′ undψ(C ′ )=B ′ , also insgesamtϕ(ψ(C ′ ))=A ′ . Da aber zwei Streckungen
mit dem gleichen Zentrum kommutieren, folgt für die Streckung
η=ϕ◦ψ mit Zentrum O:η(A)=C undη(C ′ )=A ′ , also AC ′ ‖ CA ′ , daηeine
Dilatation ist. Sind g und g ′ parallel, so kann man in obiger Argumentation
Streckungen mit Translationen vertauschen. ⊓⊔
O
ψ C g
ϕ B
A
C ′ ψ
B ′ ϕ
A ′ g ′
Abbildung 1.7. Ein Spezialfall des Satzes von Pappus.
Der Satz von Desargues inA 2 (R)
Der Satz von Desargues ist ähnlich wichtig für die Projektive Geometrie wie
jener von Pappus, wie wir später sehen werden. Hier zunächst die Version in
der reellen affinen Ebene:
Satz 1.22 (Der Satz von Desargues inA 2 (R)). Seien ABC und A ′ B ′ C ′ zwei
Dreiecke (d.h. alle drei Punkte sind paarweise verschieden) ohne gemeinsame Ecke,
deren Seiten jeweils parallel sind (Abb. 1.8). Dann sind die Geraden AA ′ , BB ′ und
CC ′ entweder parallel oder sie schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt.
O
A
C
A ′
C ′
B
B ′
Abbildung 1.8. Der Satz von Desargues.
Beweis. Übungsaufgabe.
⊓⊔
— Version vom: 12. Dezember 2008 —