Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

30 2 Projektive Geometrie
2. Umgekehrt giltS(A)\l ∞ =A, wobei l ∞ die unendlich ferne Gerade vonAist.
3. Man kann zeigen, dass für eine große Klasse affiner Ebenen sogarS(A)\lA
für jede Gerade l gilt und dass für diese Klasse von Ebenen die Abbildungen
A↦→S(A) undP↦→P\l invers zueinander sind.
Beweis. 1. Übungsaufgabe, 2. folgt aus den Definitionen, 3. [KK96, Kap. 9].
⊓⊔
2.2.3 Die Projektiven Sätze von Pappus und Desargues inP 2 (R)
Häufig werden wir das eben beschriebene Verhältnis von affinen und projektiven
Ebenen benutzen, um Sätze aus der einen Welt mit Hilfe von Sätzen aus
der anderen Welt zu beweisen. Ein erstes Beispiel ist der Satz von Pappus:
Satz 2.12 (von Pappus inP 2 (R)). Seien g und g ′ zwei Geraden einer Projektiven
EbeneP. Seien weiter A, B, C∈P drei verschiedene Punkte auf g und A ′ , B ′ , C ′ drei
verschiedene Punkte auf g ′ . Seien S A = B ′ C∩C ′ B, S B = A ′ C∩C ′ A, S C = AB ′ ∩BA ′
die Schnittpunkte der Diagonalen. Dann sind S A , S B und S C kollinear (Abb. 2.7).
C g
g ′
A
B
S C
S B
S A
A ′ B ′
C ′
Abbildung 2.7. Der (projektive) Satz von Pappus.
Beweis. Wir betrachten die affine EbeneA=P\S A S C ; dort ist die Gerade
S A S C die unendlich ferne Gerade. InAsind also die Geraden B ′ C und C ′ B
parallel genauso wie A ′ B und B ′ A. Jetzt können wir den Spezialfall des affinen
Satzes von Pappus, nämlich Satz 1.21 anwenden und folgern, dass A ′ C und
C ′ A parallel sind. Das heißt aber gerade, dass sie sich auch auf der unendlich
fernen Geraden schneiden. InPheißt dies, dass sich A ′ C und C ′ A auf S A S C
schneiden.
⊓⊔
Analog kann man den Satz von Desargues beweisen:
Satz 2.13 (von Desargues inP 2 (R)). Seien ABC und A ′ B ′ C ′ zwei Dreiecke in der
P 2 (R). (d.h. alle drei Punkte sind jeweils paarweise verschieden) und AA ′ , BB ′ ,
— Version vom: 12. Dezember 2008 —