Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

20 1 Affine Geometrie
Zwei Punkte P, Q und deren Bilder P ′ , Q ′ formen unter einer Translation
also ein Parallelogramm (Abb. 1.5), da PQ‖P ′ Q ′ , da eine Translation eine
Dilatation ist und da außerdem PP ′ ‖ QQ ′ wegen der obigen Proposition.
P
P ′ PQ‖P ′ Q ′ (Dilatation)
Q ′
Q
PP ′ ‖ QQ ′ (Translation)
Abbildung 1.5. Zwei Punkte und deren Bilder unter einer Translation formen eine
Parallelogramm.
Proposition 1.20. Die Menge TranA der Translationen vonAbildet eine Gruppe
bzgl. Hintereinanderausführung. Außerdem gilt für jedesτ ∈ TranA undδ ∈
DilA:δτδ −1 ∈ TranA, d.h. TranA ist ein Normalteiler von DilA, in Zeichen:
TranA ✁ DilA.
Beweis. Wir wissen bereits, dass die Dilatationen eine Gruppe bilden. Daher
ist die Inverse einer Translationτid ebenfalls eine Dilatation; daτaber
keinen Fixpunkt hat, gilt dies natürlich auch fürτ −1 .
Um zu zeigen, dass TranA eine Gruppe ist, müssen wir also nur noch sehen,
dass für zwei Translationenτundσauchτ◦σ nicht nur eine Dilatation,
sondern sogar eine Translation ist. Wir nehmen also an, dassτ◦σ einen
Fixpunkt P hat. Bezeichnen wirσ(P) mit P ′ , so folgt:τ(P ′ )=P. Falls nun Q
ein Punkt ist, der nicht auf PP ′ liegt, so bezeichnen wirσ(Q) mit Q ′ (Abb. 1.6)
und wir müssen zeigen, dass Q ′′ =τ(Q ′ )=Q gilt.
P ′ Q ′
P
τ
σ
Q
l
σ
m
Abbildung 1.6. Konstruktion des Bildpunktes Q ′ unter einer Translation.
Daσeine Translation ist, gilt wegen der vorigen Proposition 1.19: PQ‖P ′ Q ′
und PP ′ ‖ QQ ′ . D.h.: Q ′ = l∩m, wobei P ′ ∋ l‖PQ und Q∋m‖PP ′ . Nun
— Version vom: 12. Dezember 2008 —