Dynamische Geometrie - Mathematik - Universität des Saarlandes

26 2 Projektive Geometrie
Proposition 2.3. Die VervollständigungS(A) einer affinen EbeneAist eine projektive
Ebene.
Beweis. Wir müssen die vier Axiome verifizieren:
P1 Seien P, Q,∈S(A) zwei verschiedene Punkte. Es gibt drei Fälle:
1. P und Q sind gewöhnliche Punkte vonA. Dann liegen P und Q auf
genau einer Geraden vonAund sie liegen nicht auf der unendlich
fernen Geraden vonS(A).
2. Q ist ein gewöhnlicher Punkt vonAund P ein unendlich ferner Punkt,
also P=P [l] für eine Gerade l. Dann liefert A2 eine Parallele m‖l mit
Q∈m, d.h. lm∈[l]. P∪ m ist also eine Gerade durch P=P [l] = P [m]
und Q und offenbar auch die einzige.
3. P und Q sind unendlich ferne Punkte. Dann liegen beide auf der unendlich
fernen Geraden und dies ist nach Definition auch die einzige,
die beide Punkte enthält.
P2 Seien l, m Geraden. Auch hier müssen wir Fälle unterscheiden:
1. l und m sind gewöhnliche Geraden vonS(A). Ist l∦m, so schneiden
sich l und m in einem Punkt vonA. Ist l‖m, so liegt P [l] sowohl auf l
als auch auf m.
2. Ist l eine gewöhnliche Gerade vonS(A) und l ∞ die unendlich ferne
Gerade, so liegt P [l] auf beiden Geraden.
P3 A3 liefert drei nicht kollineare Punkte P, Q, R∈A. Diese sind aber auch
inS(A) nicht kollinear, da die einzige neue Gerade l ∞ ist; diese enthält
aber keinen der Punkte, also auch nicht alle drei.
P4 Jede Gerade vonAenthält wenigstens zwei Punkte; zusätzlich hat jede
gewöhnliche Gerade vonS(A) einen unendlich fernen Punkt. Wir müssen
nur noch sehen, dass es wenigstens drei unendlich ferne Punkte gibt.
Doch man sieht sofort, dass für drei nicht-kollineare Punkte P, Q, R∈A
gilt, dass keine zwei der Verbindungsgeraden parallel sind.
Beispiel 2.4 (Die reelle projektive Ebene). Vervollständigen wir die gewöhnliche
reelle affine Ebene, so erhalten wir die sogenannte reelle projektive Ebene.
Da parallele Geraden in der reellen affinen Ebene die gleiche Steigung besitzen
und da umgekehrt gleiche Steigung Parallelität impliziert, können wir
die unendlich fernen Punkte identifizieren mit einer Steigungs–Koordinate
m, wobei−∞