Skript - Physikzentrum der RWTH Aachen
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Durchswird(ei;ei)aufei2U(1)abgebildet,wobeiwirU(1)mit<br />
schlosseneKurveaufdem2-Torus.WickelnwirdenTorus,beschriebendurch DieeinparametrigeGruppe~U(1)beschreibtgeometrischgeseheneinege-<br />
<strong>der</strong>Hyperladungverknupfen.<br />
dieWinkelundaufdieEbeneab,soerscheintdieseKurvealseineGerade mit<strong>der</strong>Steigung?2=3: 0QQQQQQQQQQQQQQQQQ<br />
0 2 4 6<br />
?2 !<br />
?4 #<br />
AnfangundEndedeshierabgebildetenGeradenstuckssindzuidentizieren. DerWinkeldurchlauftsomitdasIntervall[0;6],bevorsichdieKurve schliet.Diesfuhrtunsaufan<strong>der</strong>eWeisevorAugen,daessichbei~U(1) umeinedreifacheUberlagerung<strong>der</strong>U(1)-GruppemitdenElementenei handelt.InunitarenirreduziblenDarstellungen<strong>der</strong>EichgruppeGnimmtdie<br />
wieausdemVerhaltendesWinkelsfolgt.SobaldYkeinenganzzahligen HyperladungYeinenfestenWertan,nureingeschranktdurchdieBedingung<br />
Werthat,habenwiresstrenggenommennichtmiteinerDarstellung<strong>der</strong> ei6Y=1 o<strong>der</strong> 3Y2Z;<br />
GruppeU(1)=feig,son<strong>der</strong>nmiteinerDarstellung<strong>der</strong>Uberlagerungsgruppe~U(1)zutun.<br />
Lokal,d.h.in<strong>der</strong>Nahe<strong>der</strong>Einheit,konnendieGruppenU(1)und~U(1) identiziertwerden;denndieUberlagungsabbildungsistdortinvertierbar:<br />
AufdemDarstellungsraumC5<strong>der</strong>EichgruppeGistdieHyperladungdurch s?1(ei)=e?i2=31l3 0 ei1l22SU(5): 0<br />
diefolgendespurfreieDiagonalmatrixreprasentiert3: (5)<br />
3DasVorzeichenistdurchKonventionfestgelegt. Y=id ds?1(ei)=0=diag(23;23;23;?1;?1)2su(5):<br />
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