Skript - Physikzentrum der RWTH Aachen

AufdiesenBeweiswollenwirnahereingehen.ZurAbkurzungsetzenwir
Danngilt C=eA=n+B=n D=eA=neB=n
DieTrotter-Formelistbewiesen,wenngezeigtist,dakCn?DnkfurwachsendesngegenNullstrebt.Diesbeweisenwir,indemwirzunachstschreiben
kDkkeA=nkkeB=nkexpf1nkAkgexpf1nkBkg=expf1n(kAk+kBk)g kCkexpf1nkA+Bkgexpf1n(kAk+kBk)g
unddanndieseSummetermweiseabschatzen: Cn?Dn=nXk=1Ck?1(C?D)Dn?k (74)
kCn?DnknkC?Dkexpn?1
nXk=1kCkk?1kC?DkkDkn?k
nkC?Dkexpf(kAk+kBk)) n(kAk+kBk)
Darstellungbesitzen: NunbesitzenCundDkonvergenteEntwicklungennach1n,sodawirdie
DaReinbeschrankterOperatorist,giltkC?Dk=O(n?2)undsomit kCn?Dnk=O(n?1),wasdenBeweisvollendet. C?D=1n2R R=12[B;A]+O(1n): (75)
unterdenBezeichnungendesletztenAbschnittes.Ebensogilt JetztseiA=(s0?s)=2undB=?(s0?s)V,alsoA+B=?(s0?s)H
furdendorteingefuhrtenOperatorTn.ZwarsindAundBindiesemFall Tn?1=?eA=neB=nn
nichtbeschrankt,dieTrotter-FormelgiltdennochunterderVoraussetzung (76)
V(x)>?c,wiemanmitetwasmehrAufwandbeweisenkann,undsomit erhaltenwir Nunhabenwirschongesehen,daderIntegralkerndesOperatorsTsichals einPfadintegraldarstellenlat,undgelangensozudemSchlu: T=lim n!1Tn=e?(s0?s)H (s0>s) (77)
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