Skript - Physikzentrum der RWTH Aachen
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VergleichenwirQmitY,sosehenwir,daQ+Y2Zgilt.DieseEigenschaft istdannauchinallenunitarenirreduziblenDarstellungen<strong>der</strong>EichgruppeG schwachenIsospins.SieistaufdemRaumC5durchdieDiagonalmatrix erfullt,d.h.siegiltauchfurdieQuarksundihreBindungszustande. EineweitereadditiveQuantenzahlistI3,diedritteKomponentedes<br />
vertreten,aus<strong>der</strong>mandieEigenwerteunmittelbarabliest.NunsindY,Q undI3nichtunabhangigvoneinan<strong>der</strong>.Esgilt I3=diag(0;0;0;12;?12)2su(5)<br />
wiemanunmittelbareinsieht.DieseBeziehung5ubertragtsichaufalleProduktdarstellungen,vondenenwirjetzteinigekonstruierenwollen.<br />
Q=I3+12Y;<br />
1.3 DadieEichgruppeGUntergruppe<strong>der</strong>SU(5)ist,agiertsieinnaturlicher DieKonstruktiondesDarstellungsraumesV<br />
WeiseaufdemRaum <strong>der</strong>LeptonenundQuarks<br />
mitUnterraumenC3undC2furdiedenierendenDarstellungen<strong>der</strong>FarbgruppeSU(3)und<strong>der</strong>SU(2)-GruppedesschwachenIsospins.DennochistC5<br />
C5=C3C2<br />
zugrundeliegt: tionunterzubringen.ZudemtragtdieserRaumkeinenaturlicheZ2-Graduie-<br />
rung.EinegeeignetereWahlist<strong>der</strong>lineareRaum,<strong>der</strong><strong>der</strong>auerenAlgebra keingeeigneterRaum,umdarindiefundamentalenFermioneneinerGenera-<br />
DieauereAlgebraubereinemlinearenRaum(hierC5)isteinwichtigesKonzept<strong>der</strong>multilinearenAlgebra6.In<strong>der</strong>PhysikbegegnetunsdiesesKonzept<br />
V=VC5; DimV=25:<br />
C5,<strong>der</strong>Hilbertraum<strong>der</strong>Einteilchenzustande,gerademalfunfFreiheitsgrade. inFormdesFockraumesmitFermi-Statistik.ImvorliegendenFallbeschriebe auassen, MankanndieauereAlgebraalseinedirekteSummelinearerRaume<br />
wobeije<strong>der</strong>Summandeink-fachesaueresProdukt VkC5=C5^C5^^C5(kFaktoren;k=0;1;:::;5)<br />
VC5=V0C5V1C5V5C5;<br />
5MitunterwirddieseRelationdieGell-Mann-Nishijima-Formelgenannt. 6SieheW.Greub,MultilinearAlgebra,2ndEd.,Springer1978 9
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