Skript - Physikzentrum der RWTH Aachen
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GnureineUntergruppevonSU(5)ist,sindallean<strong>der</strong>enTeildarstellungen triviale)Darstellungen:V0g=1undV5g=Detg=1.DadieEichgruppe reduzibel.UmsieinihreirreduziblenBestandteilezerlegenzukonnen,gehen EsgibtunterdenTeildarstellungenVkgenauzweieindimensionale(hier<br />
wirvondemIsomorphismus<br />
SummeineinTensorprodukt.AusgedrucktindenDimensionen:23+2=2322. aus.InWorten:DieauereAlgebra(<strong>der</strong>FunktorV)verwandelteinedirekte V(C3C2)=VC3VC2<br />
durchdieZerlegung ZudenirreduzibleninvariantenUnterraumenvonVkC5gelangenwir<br />
d.h. VC3=P3p=0VpC3; VkC5=X p+q=kVpC3VqC2: VC2=P2q=0VqC2;<br />
Wirerwartendaher,dadieLeptonenundQuarksgenaudenfolgendenirreduziblenDarstellungen<strong>der</strong>EichgruppeGentsprechen:<br />
DieDarstellungVp;qordnetjedemElement(u;v)<strong>der</strong>EichgruppeGden Vp;q=VpVq; OperatorVpuVqvzu.DieZ2-GraduierungvonVC5gibtje<strong>der</strong>Darstellung DimVp;q=p3q2:<br />
Vp;qdieParitat die<strong>der</strong>Helizitat(R/L)desLepton-bzw.Quarkfeldesentspricht. Umzuerkennen,welcheKomponentenvon =(?1)k=(?1)p+q;<br />
beschreiben,mussenwirdieHyperladungYje<strong>der</strong>irreduziblenDarstellung Vp;qbestimmen.Dieserfor<strong>der</strong>teineAnwendung<strong>der</strong>Gleichung(5): (x)Leptonenbzw.Quarks<br />
WirerhaltensodiefundamentaleBeziehung e?iY=Vp;q(s?1(ei)) =Vpe?i2=3Vqei=exp(?i2p=3+iq):<br />
mit<strong>der</strong>enHilfewirleichtentscheidenkonnen,umwelchenFeldtypessich handelt: Y=23p?q (6)<br />
Lepton-Fel<strong>der</strong>:p=0o<strong>der</strong>3(Yistganzzahlig) Quark-Fel<strong>der</strong> :p=1o<strong>der</strong>2(Yistdrittelzahlig). 11
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