Skript - Physikzentrum der RWTH Aachen
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GenausowiemaneingewohnlichesIntegralalsLimeseinerRiemann-Summe vonnTermenfurn!1erklart,gewinntmandasallgemeinePfadintegral 3.2 ApproximationdurchaquidistanteZeiten<br />
aquidistantenUnterteilungdesIntegrationsintervallserleichtert,kannman alsLimeseines3n-dimensionalengewohnlichenIntegralsfurn!1.GenausowiemansichdieBerechnung<strong>der</strong>Riemann-SummedurchWahleiner<br />
Stutzpunktes1;:::;snspezialisieren.EinsolchesApproximationsverfahren sollkanonischgenanntwerden.Wirsetzenalso die3n-dimensionalenIntegraledurcheineaquidistanteWahl<strong>der</strong>zeitlichen<br />
sk=s+k;k=0;:::;n;=s0?s<br />
wird.EineinteressanteSituationentsteht,wenndiezuintegrierendeFunktion undgarantierenso,da<strong>der</strong>ZeitschrittgegenNullstrebt,wennngro n+1<br />
selbstmittelseinesZeitintegralsdeniertist.Etwaso: f(!)=exp(?Zs0 sdtV(!(t)))<br />
Hierwareesnamlichmoglich,dasZeitintegraldurcheineRiemann-Summe (66)<br />
vonendlichvielenKoordinatendesPfades!abhangen: zuapproximieren,umsozuNaherungsfunktionenfnzugelangen,dienur<br />
fn(!)=exp(?nXk=0V(!(sk)))<br />
AufdieseWeiseerhaltenwirdasIntegral<strong>der</strong>FunktionfuberallePfade (67)<br />
(x;s)!(x0;s0): Zdf=lim<br />
n!1Zdfn n!1Zd3xnZd3x1K(x0?xn;)e?V(xn)K(xn?xn?1;)<br />
DieInterpretationdieserFormelgestaltetsichsehreinfach,wennwirzudem Operatorkalkulzuruckkehren.Esisthierfurnurnotig,sichdaranzuerinnern, e?V(x2)K(x2?x1;)e?V(x1)K(x1?x;)e?V(x)<br />
daK(;)<strong>der</strong>IntegralkerndesOperatorse=2war.Wennwirdannnoch denMultiplikationsoperator [V](x)=V(x)(x) 43 (2L2(R2)) (68)
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