Skript - Physikzentrum der RWTH Aachen

AUSGEWAHLTEKAPITEL 

QUANTENFELDTHEORIE DER 

InstitutfurTheoretischePhysik G.Roepstor 

RWTHAachen 

SS01

Inhaltsverzeichnis 1DasStandardmodell 1.1Materie.............................. 1.2DieStrukturderEichgruppe................... 2 

1.4DieStandardbasisfurVC5....................12 1.3DieKonstruktiondesDarstellungsraumesV derLeptonenundQuarks.................... 5 

1.5DasHiggs-FeldunddieYukawa-Kopplung...........16 1.6UnitareCKM-MatrizenderLeptonenundQuarks.......19 9 

2DieBrownscheBewegung 2.2Died-dimensionaleIrrfahrt....................28 2.1DieeindimensionaleZufallsbewegung..............24 2.3ImaginareZeit...........................31 24 

2.4DerWiener-Proze(d=3)....................34 2.4.2GauischeProzesse....................37 2.4.1DieAnalysiszufalligerPfade...............34 

3PfadintegraleinderQuantenmechanik 2.4.3UnabhangigeZuwachse..................38 

3.3DieFeynman-Kac-Formel....................44 3.2ApproximationdurchaquidistanteZeiten............43 3.1DasbedingteWiener-Ma....................40 

3.4ZweiAnwendungen........................49 3.5DieBrownscheRohre.......................49 3.6DieGolden-Thompson-Symanzik-Schranke...........51 

4EuklidischeFeldtheorie: 3.8VondenSpinsystemenzurMehlerschenFormel........59 3.7ZurstatistischenMechanikklassischerSpinsysteme......56 

4.1DaseuklidischeFeldkannkeinOperatorfeldsein........63 4.3DasfreieeuklidischeSkalarfeld..................69 4.2DieeuklidischeZweipunktfunktion...............65 

4.5GauischeFunktionalintegrale..................74 4.4DiestochastischeInterpretation.................71 4.3.1Dien-Punktfunktionen..................69 

5EuklidischeFeldtheorie: 5.2DereuklidischePropagatoraufdemGitter...........81 5.1DieGitterversiondesSkalarfeldes................79 

i

5.2.1DarstellungdurchFourier-Zerlegung..........81 

5.5ModellemitkontinuierlichemPhasenraum...........91 5.4ModellemitdiskretemPhasenraum...............89 5.3DasVariationsprinzip.......................89 5.2.2DarstellungdurchZufallswegeaufdemGitter.....87 

5.7DaseektivePotential......................101 5.6DieeektiveWirkung.......................95 

6QuantisierungderEichtheorien 5.8DieGinsburg-Landau-Gleichungen...............104 6.1DieeuklidischeVersionderMaxwell-Theorie..........109 6.1.2DieallgemeineSituation(~>0).............114 6.1.1DieklassischeSituation(~=0).............109 109 

6.2Nicht-abelscheEichtheorien...................116 6.3DieFaddeev-Popov-Theorie...................118 6.2.1EinigeVorbetrachtungen.................116 

6.4EichtheorienaufdemGitter...................125 6.3.1ErsteStufe:EineZerlegungderZahl1.........118 

6.5DieKunstderSchleifen(WilsonLoops).............129 6.3.2ZweiteStufe:DivisiondurchdasGruppenvolumen...121 

6.5.1StatischeApproximationderYukawa-Kopplung....129 6.3.3DritteStufe:TanzderGeister..............123 

7Fermionen 6.5.2SchleifenintegraleindereuklidischenQED.......131 6.5.3FlachengesetzoderUmfangsgesetz?...........133 

7.2DaseuklidischeDirac-Feld....................137 7.1DasDirac-FeldmitachtKomponenten.............135 7.3Grassmann-Algebren.......................141 135 

7.5FormaleIntegration........................147 7.4FormaleAbleitungen.......................145 

7.5.4Fourier-Laplace-Transformation.............152 7.5.2IntegraleuberA(EF).................149 7.5.3IntegralevomExponentialtyp..............150 7.5.1IntegraleuberA(E)...................147 

7.6FunktionalintegralederQED...................154 7.7GittereichtheorienmitMateriefeldern..............157 7.7.2SU(n)-EichtheoriemitFermionen............158 7.7.1DasSU(n)-Higgs-Modell.................157 

ii

8FunktionaleIntegrationundLokaleAnomalien 8.3ChiraleModelle..........................166 8.2VektorartigeModelle.......................161 8.1Einfuhrung............................160 160 

8.48.4.2DieauereAlgebraundihreZ2-Graduierung......168 

8.4.1DasWunder........................167 8.4.3TechnikenzurBerechnung................170 Anomalie-freieEichtheorien...................167 

8.4.4DiskussiondesResultates................172 

1

DasStandardmodellisteinerenormierbareFeldtheorie,diedieelektroschwa- 

1cheWechselwirkung(dasSalam-Weinberg-Modell)unddiestarkeWechsel- 

wirkung(dieQCD)insichvereinigt.BeidemgegenwartigenStandderex- 

perimentellenResultategibtdieseTheorieeinekorrekteundvollstandige BeschreibungderElementarteilchenphysik.Sieerreichtdiebeindruckende d.h.durchAnpassungihrerfreienParameterandieDaten. UbereinstimmungmitderBeobachtungdurchihrhohesMaanFlexibilitat, 

bosonenunddemHiggs-Bosonunterschieden.Eshandeltsichhierbeiaus- 

schlielichumFermionen,diezuBeginnohneMasseeingefuhrtwerdenund ihreMasseamEndedurchdenHiggs-Mechanismuserhalten.DieFermionen (besser:dieihnenzugeordnetenFelder)werdenindreiGenerationengetrennt, 

ImStandardmodellwirddiesogenannteMaterie(engl.matter)vondenEich- 

1.1 wobeijedeGenerationzweiLeptonenundzweiQuarksenthalt: 

Quarks Leptonen1.Gen.2.Gen.3.Gen.el.Ladung 

e ude sc b t ?1=3 2=3 

0 

EineahnlicheTabelleexistiertfurdieAntiteilchen(besser:dieladungskonjugiertenFelder),wobeidiejeweiligeelektrischeLadungihrVorzeichenandertformieren,wahrenddieQuarksFarb-Triplettsbilden.WirnennenNeutrinos 

sind,d.h.diesichgemadertrivialenDarstellungderFarb-SU(3)trans- 

solcheLeptonen,diekeineelektrischeLadungtragen.AusheutigerSichtgibt WirnennenLeptonensolchefundamentalenFermionen,diefarbneutral 

tenminimalenStandard-Modell,dasendgutigderVergangenheitangehort, warenalleNeutrinosmasselosundlinkshandig(dieAntineutrinosfolglich MassedesElektron-Neutrinosesichersehrkleinist(

artetauftreten.EssinddieYukawa-Kopplungen(AnkopplungandasHiggs- esnurdieEichkopplungen,sowurdejederfermionischeZustanddreifachent- 

fuhren. Generationen,aberauchzuverschiedenenMasseninnerhalbjederGeneration Feld),diedieseEntartungaufhebenundzuverschiedenenMassenindendrei 

tenhat.Mathematischformuliertheitdies,da fundamentalenFermioneneinzufuhren,dasentsprechendvieleKomponen- 

annimmt,derkomplex-linearistundeineTensorprodukt-Strukturbesitzt: ZielderBeschreibungistes,eingemeinsamesDirac-Feld WerteineinemRaum (x)furalle 

mitauchdieLorentz-Transformationenwirken;VisteingeeigneterDarstel- 

lungsraumderEichgruppeGmitSkalarprodukt1.DerRaumC3schlielich beschreibtdiedreiGenerationenunddamitdieEntartungvorEinfuhrung Beschreibungaus.NachWahleinergeeignetenBasis(eI)inVkonnenwir desHiggs-Feldes. (x)inelementareDirac-Felder BeiBeschrankungaufeineeinzigeGenerationreichtderRaumVSzur 

HierbezeichnetSdenublichenSpinor-Raum,indemdie-Matrizenundda- 

C3VS; DimS=4: 

(x)=XIeI I(x)zerlegen, 

wobeijedeselementareFeldeinedenierteHelizitat(RoderL)besitzt,die I(x); I(x)2S; 

ForderungaufzweiKomponentenreduziertsind,handeltessichoenbarum Weyl-Felder.EsgibtdanneineZuordnungvonIndizesIzudenLeptonenund durchdieEigenwerte1von5deniertwird.Dadie QuarksderobigenTabelle,wobeijedesLeptonfeldzweifach(R/L)undjedes I(x)durchdieletzte 

Quarkfeldsechsfach(R/L,3Farben)auftritt.DiesgibtdemRaumVdie Mindestdimension16.BeziehenwirdieAntiteilchenmitindieBeschreibung ein,soerhohtsichdieDimensionauf 

Potenzenvon2spielenoenbareinebesondereRolle.Wirwollendiesspater beiderKonstruktionvonVberucksichtigen. DimV=25=32: 

seZ2-graduiert, MathematischgesehenistderDiracscheSpinorraumSinnaturlicherWei- 

Forderung,dieDarstellungvonGsolleunitarsein,einenSinnhat. 1Mansagtauch,VhabeeinehermitescheStruktur.Sieisterforderlich,weilnursodie S=S+S?; DimS=2 

3

fest,welcheHelizitatdasFeld und VeineZ2-Graduierung,d.h.esgilt InimmtWerteentwederinS+oderinS?an.OenbarlegtderIndexI 

V=V+V? I(x)besitzt.DieseTatsachegibtdemRaum 

davondemTensorproduktVSnurderpositiveTeilraum DieKonstruktionkoppeltdieGraduierungenvonVundSineinerWeise, V=lineareHullevonfeIj5 I= Ig: 

furdenWertebereichvon G{wieauchimmersieaussieht{uminnereSymmetrienhandelt,transformiertsiedieFeldergegebenerHelizitatuntersich.Diesbedeutet,da 

dieDarstellungvonGaufVdieGraduierungrespektiert.Andersformu- 

infragekommt.DaessichbeiderEichgruppe (VS)+=(V+S+)(V?S?) 

Standardmodellsnichtinfragekommt. Wirhabensomiterkannt,daeineirreduzibleDarstellungalsGrundlagedes liert:DieDarstellungistreduzibel;V+undV?sindinvarianteUnterraume. 

Lagrange-DichtebilinearindemDirac-Feld nichtauftreten: EsisteineweithinakzeptierteAnnahme,daderfermionischeAnteilder LF=Re( iID= ): istundMassentermehierbei 

Operator.EsgiltinjedemFall MitID=bezeichnenwireinengeeignetgewahltenverallgemeinertenDirac- (1) 

undenthaltsomitdieEich-wieauchdieYukawa-Kopplungen.GewohnlicheDirac-OperatorenhabenL=0,schlieenalsoYukawa-Kopplungennicht 

=(@+Eichfelder)+Higgs-Felder ID==D=+L=D+L 

werdenspaterdaraufeingehen,daID=D+LdenBegridesZusammenhangeserweitert;IDwirdSuperzusammenhanggenannt,undID=istderihbenenZusammenhang(auchkovarianteAbleitunggenannt)beschreibt.Wir 

ein.Wirerinnerndaran,daderOperatorDeinedurchdieEichgruppegege- 

dieDierenzzumobenstehendenAusdruckeineDivergenzistundnichtzum zugeordneteDirac-Operator. Wirkungsintegralbeitragenkann: Vereinfachendschreibtmanhaug iID= furdieLagrange-Dichte,weil 

iIm( iID= )=i@( 4 ):

AlsEichtheorieliegtdemStandardmodelldieLie-Algebra 1.2 DieStrukturderEichgruppe 

zugrundemitdenfolgendenBedeutungen: LieG=su(3)su(2)u(1) (2) 

su(2)beschreibtdenschwachenIsospin. su(3)beschreibtdieFarbfreiheitsgrade. 

Dieu(1)QderQEDistinderLie-Algebra u(1)beschreibtdieschwacheHyperladung. 

verborgen,wiebereitsimZusammenhangmitdemSalam-Weinberg-Modell diskutiert. u(2)=su(2)u(1) 

Lie-GruppenmitdergleichenLie-Algebra.Esistoftdarangedachtworden,dieGruppeSU(5)alsEichgruppeeinerTheoriedergroenVereinigung 

Obgleichdurch(2)dieEichgruppeGlokal(inderNahederEinheit)festgelegtist,bleibtihreglobaleStrukturunbestimmt.Esgibtimmermehrere 

(grandunedtheory:GUT)einzufuhren,mitwenigErfolgallerdings,weil darindasProtoninstabilwurde.EineschwacherekoniktfreieAnnahmeist diefolgende: DieEichgruppeGdesStandardmodellsisteineUntergruppevonSU(5). Siebestehtausallen55-MatrizenderForm u0 DerEinfachheithalberwerdenwirdieElementederGruppeGalsPaare(u;v)einfuhren.Esistleichteinzusehen,dadieLie-AlgebravonGdie 

Einbettung gewunschteStruktur(2)besitzt. DieFarb-SU(3)identizierenwiralsUntergruppevonGvermogeder 

0v; u2U(3);v2U(2); DetuDetv=1: 

DieGruppeU(2)derelektroschwachenTheoriehingegenistkeineUntergruppe.IhreVerknupfungmitGerreichenwirdurchdenHomomorphismus 

j:SU(3)!G;u7!(u;1l2): 

s:G!U(2);(u;v)7!v: 5

WirerhaltensoeineexakteSequenzvonGruppen: 

InWorten:DieSU(3)isteinNormalteiler2vonGunddieU(2)derQuotient 1?!SU(3)j 

G=SU(3). ?!Gs ?!U(2)?!1: pe,unddieHyperladungYistmitdemZentrum EineTheorie,dievonLeptonenalleinausgeht,hatdieU(2)alsEichgrup- 

ist.DasBildandertsich,sobaldQuarkshinzugefugtwerden.DieGruppe dieserGruppeverknupft,sodaYganzzahligfuralleleptonischeZustande U(1)=fei1l2j0

Durchswird(ei;ei)aufei2U(1)abgebildet,wobeiwirU(1)mit 

schlosseneKurveaufdem2-Torus.WickelnwirdenTorus,beschriebendurch DieeinparametrigeGruppe~U(1)beschreibtgeometrischgeseheneinege- 

derHyperladungverknupfen. 

dieWinkelundaufdieEbeneab,soerscheintdieseKurvealseineGerade mitderSteigung?2=3: 0QQQQQQQQQQQQQQQQQ 

0 2 4 6 

?2 ! 

?4 # 

AnfangundEndedeshierabgebildetenGeradenstuckssindzuidentizieren. DerWinkeldurchlauftsomitdasIntervall[0;6],bevorsichdieKurve schliet.DiesfuhrtunsaufandereWeisevorAugen,daessichbei~U(1) umeinedreifacheUberlagerungderU(1)-GruppemitdenElementenei handelt.InunitarenirreduziblenDarstellungenderEichgruppeGnimmtdie 

wieausdemVerhaltendesWinkelsfolgt.SobaldYkeinenganzzahligen HyperladungYeinenfestenWertan,nureingeschranktdurchdieBedingung 

Werthat,habenwiresstrenggenommennichtmiteinerDarstellungder ei6Y=1 oder 3Y2Z; 

GruppeU(1)=feig,sondernmiteinerDarstellungderUberlagerungsgruppe~U(1)zutun. 

Lokal,d.h.inderNahederEinheit,konnendieGruppenU(1)und~U(1) identiziertwerden;denndieUberlagungsabbildungsistdortinvertierbar: 

AufdemDarstellungsraumC5derEichgruppeGistdieHyperladungdurch s?1(ei)=e?i2=31l3 0 ei1l22SU(5): 0 

diefolgendespurfreieDiagonalmatrixreprasentiert3: (5) 

3DasVorzeichenistdurchKonventionfestgelegt. Y=id ds?1(ei)=0=diag(23;23;23;?1;?1)2su(5): 

7

nachspontanerSymmetriebrechungnurdieUntergruppe ImleptonischenSektordesStandardmodellsmitU(2)alsEichgruppebleibt 

alsresidualeEichgruppeerhalten,diewirmitderelektrischenLadungQ U(1)Q=10ei2U(2) 

0 

verknupfen.DadieU(1)QfurdenleptonischenSektoreineSymmetriegruppe sondernihredreifacheUberlagerung darstellt,sinddortalleLadungenganzzahlig. SobaldwirdieQuarksindieBeschreibungeinbeziehen,istnichtdieU(1)Q 

dieeigentlicheSymmetriegruppe.Siebeschreibtebenfallseinegeschlossene Kurveaufdem2-Torus: ~U(1)Q=ndiag(ei;ei;ei;1;ei)3+=0mod2o2SU(5) 

0PPPPPPPPPPPPPPPPP 

0 2 4 6 

?2 # ! 

dieelektrischeLadungQWerteannimmt,diederBedingung DieFolgeist,dainunitarenirreduziblenDarstellungenderEichgruppeG 

unterliegen.DieUberlagerungsabbildung ei6Q=1 ~U(1)Qs oder 3Q2Z 

bildetdiag(ei;ei;ei;1;ei)aufdiag(1;ei)abundkannlokalinvertiert werden,indemman=?=3setzt.AufdemDarstellungsraumC5der ?!U(1)Q 

EichgruppeGistdieelektrischeLadungdurchdiefolgendespurfreieDiagonalmatrixreprasentiert4: 

grundsatzlichinEinheitenderelektrischenElementarladunggemessen. 4DasVorzeichenistdurchwiederumdurchKonventionfestgelegt.DieLadungQwird Q=id ds?1(diag(1;ei))=0=diag(13;13;13;0;?1)2su(5): 

8

VergleichenwirQmitY,sosehenwir,daQ+Y2Zgilt.DieseEigenschaft istdannauchinallenunitarenirreduziblenDarstellungenderEichgruppeG schwachenIsospins.SieistaufdemRaumC5durchdieDiagonalmatrix erfullt,d.h.siegiltauchfurdieQuarksundihreBindungszustande. EineweitereadditiveQuantenzahlistI3,diedritteKomponentedes 

vertreten,ausdermandieEigenwerteunmittelbarabliest.NunsindY,Q undI3nichtunabhangigvoneinander.Esgilt I3=diag(0;0;0;12;?12)2su(5) 

wiemanunmittelbareinsieht.DieseBeziehung5ubertragtsichaufalleProduktdarstellungen,vondenenwirjetzteinigekonstruierenwollen. 

Q=I3+12Y; 

1.3 DadieEichgruppeGUntergruppederSU(5)ist,agiertsieinnaturlicher DieKonstruktiondesDarstellungsraumesV 

WeiseaufdemRaum derLeptonenundQuarks 

mitUnterraumenC3undC2furdiedenierendenDarstellungenderFarbgruppeSU(3)undderSU(2)-GruppedesschwachenIsospins.DennochistC5 

C5=C3C2 

zugrundeliegt: tionunterzubringen.ZudemtragtdieserRaumkeinenaturlicheZ2-Graduie- 

rung.EinegeeignetereWahlistderlineareRaum,derderauerenAlgebra keingeeigneterRaum,umdarindiefundamentalenFermioneneinerGenera- 

DieauereAlgebraubereinemlinearenRaum(hierC5)isteinwichtigesKonzeptdermultilinearenAlgebra6.InderPhysikbegegnetunsdiesesKonzept 

V=VC5; DimV=25: 

C5,derHilbertraumderEinteilchenzustande,gerademalfunfFreiheitsgrade. inFormdesFockraumesmitFermi-Statistik.ImvorliegendenFallbeschriebe auassen, MankanndieauereAlgebraalseinedirekteSummelinearerRaume 

wobeijederSummandeink-fachesaueresProdukt VkC5=C5^C5^^C5(kFaktoren;k=0;1;:::;5) 

VC5=V0C5V1C5V5C5; 

5MitunterwirddieseRelationdieGell-Mann-Nishijima-Formelgenannt. 6SieheW.Greub,MultilinearAlgebra,2ndEd.,Springer1978 9

darstelltmitderVereinbarungV0C5=C.AufgrunddieserKonstruktiongilt 

DieauereAlgebraistinnaturlicherWeiseZ2-graduiert, DimVkC5=k5; XkDimVkC5=25: 

mitpositivenundnegativenUnterraumen,diedurchdiegeradenbzw.ungeradenPotenzengebildetwerden: 

V+C5=V0C5V2C5V4C5 Manbestatigtleicht,daDimV+C5=DimV?C5=24 

VC5=V+C5V?C5; 

V?C5=V1C5V3C5V5C5: 

raumesher.DieunitareWirkungderGruppeGaufC5kannzueinerunitaren erweitertwerden.DiesenVorgangkennenwirvonderKonstruktiondesFock- 

giltḊasublicheSkalarproduktinC5kannzueinemSkalarproduktinVC5 WirkungaufVC5erweitertwerden.DiedadurcherhalteneDarstellungwird Diagramm mitVbezeichnet.Jedesg2GgibtsomitAnlazueinemkommutativen 

?y g 

wobeidiesenkrechtenPfeilediekanonischenEinbettungenbeschreiben(C5 VC5?!VCn 

^g ?y 

UnterraumderauerenAlgebra.DieDarstellungVistsomitreduzibelund zerfalltinTeildarstellungenVk, wirdmitV1C5identiziert). UnterderWirkungvonGwirdjedePotenzVkC5zueineminvarianten 

wobeiVkg=g^g^^g(kFaktoren)giltunddieseineKurzschreibweise V=V0V1V5; furdieWirkung 

darstellt. Vkg(c1^c2^^ck)=gc1^gc2^^gck (c1;:::;ck2C5;g2G) 

10

GnureineUntergruppevonSU(5)ist,sindalleanderenTeildarstellungen triviale)Darstellungen:V0g=1undV5g=Detg=1.DadieEichgruppe reduzibel.UmsieinihreirreduziblenBestandteilezerlegenzukonnen,gehen EsgibtunterdenTeildarstellungenVkgenauzweieindimensionale(hier 

wirvondemIsomorphismus 

SummeineinTensorprodukt.AusgedrucktindenDimensionen:23+2=2322. aus.InWorten:DieauereAlgebra(derFunktorV)verwandelteinedirekte V(C3C2)=VC3VC2 

durchdieZerlegung ZudenirreduzibleninvariantenUnterraumenvonVkC5gelangenwir 

d.h. VC3=P3p=0VpC3; VkC5=X p+q=kVpC3VqC2: VC2=P2q=0VqC2; 

Wirerwartendaher,dadieLeptonenundQuarksgenaudenfolgendenirreduziblenDarstellungenderEichgruppeGentsprechen: 

DieDarstellungVp;qordnetjedemElement(u;v)derEichgruppeGden Vp;q=VpVq; OperatorVpuVqvzu.DieZ2-GraduierungvonVC5gibtjederDarstellung DimVp;q=p3q2: 

Vp;qdieParitat diederHelizitat(R/L)desLepton-bzw.Quarkfeldesentspricht. Umzuerkennen,welcheKomponentenvon =(?1)k=(?1)p+q; 

beschreiben,mussenwirdieHyperladungYjederirreduziblenDarstellung Vp;qbestimmen.DieserforderteineAnwendungderGleichung(5): (x)Leptonenbzw.Quarks 

WirerhaltensodiefundamentaleBeziehung e?iY=Vp;q(s?1(ei)) =Vpe?i2=3Vqei=exp(?i2p=3+iq): 

mitderenHilfewirleichtentscheidenkonnen,umwelchenFeldtypessich handelt: Y=23p?q (6) 

Lepton-Felder:p=0oder3(Yistganzzahlig) Quark-Felder :p=1oder2(Yistdrittelzahlig). 11

VonbesondererBedeutungistdiefolgendeBeobachtung.Indervonuns gewahltenDarstellungVderGruppeGtretennurzweiTypenvonDarstellungenderIsospingruppeSU(2)(UntergruppevonG)auf: 

DietrivialeDarstellung(q=0oder2;I=I3=0).Teilchenoder DieFundamentaldarstellung(q=1,I=12;I3=12).Teilchenoder FelderdieserArtheienDubletts. FelderdieserArtheienSingletts. 

InallenFallengiltderZusammenhangQ=I3+12Y,aufdenwirschonfruher 

VC2entsprechen.IhreInterpretationistwiefolgt(beachtedak=p+q)): hingewiesenhaben. durchdreiParitaten,diedenZ2-GraduierungenderRaumeVC5,VC3,and Weyl-Spinoren,diealsKomponentenvon auftreten,sindcharakterisiert 

k=gerade:rechtshandig p=gerade:Materie k=ungerade:linkshandig 

DadieLadungskonjugationaufVC5durchkomplexeKonjugationwirkt, q=gerade:Singlett p=ungerade:Antimaterie 

fuhrtsiedieDarstellung[p;q]indieDarstellung[3?p;2?q]uber.Sie q=ungerade:Dublett. 

DublettswiederinDublettsuber. VorzeichenvonY,I3undQum,fuhrtaberSinglettswiederinSingletts, vertauschtalsolinksundrechts,MaterieundAntimaterie,undkehrtdie 

chen.ZunachstfuhrenwirdieMengeallerDarstellungsmatrizenein: AbschlieendwollenwiraufeinenbesonderenUmstandaufmerksamma- 

Mit(VG)0bezeichnenwirdieKommutante,d.h.dieAlgebraallerOperatoren aufdemDarstellungsraumVC5,diemitjedemElementderMengeVGkommutieren.DasBesonderederGruppeGbestehtdarin,daessichbei(VG)stellungenVp;q(4Wertefurp,3Wertefurq)sindirreduzibelundpaarweise 

umeinekommutativeAlgebraderDimension12handelt.Denndie12Dar- 

inaquivalent.AufgrunddesSchurschenLemmasnimmtjedesA2(VG)0dort konstanteWertean,diesamtlichunabhangigsind.DieFreiheiten,diewirin Ahaben,werdensichspateralswesentlicherweisen:Siegarantiereneine ausreichendeMengevonfreienParameterndesStandardmodells. 1.4 DerRaumC5besitztnichtnureinkanonischesSkalarproduktsondernauch einekanonischeOrthonormalbasis(ei)5i=1,sodajederBasisvektoreidie DieStandardbasisfurVC5 

VG=fVgjg2Gg: 

12

Komponenten(ei)j=ij(j=1;:::;5)hat.DiesinduzierteineOrthonormalbasiseIinderauerenAlgebraVC5.Sieistgegebendurch 

wobeiIalleTeilmengenvonf1;2;3;4;5gdurchlauft,dieleereMenge;eingeschlossen.GesetztwirhabeneinIgewahlt,sosinddiezugehorigencharakteristischenExponentenk;p;qleichtzubestimmen:kistdieAnzahlaller 

ElementeinI,pistdieAnzahlderausf1;2;3ggewahltenElementeinI,q istdieAnzahlderausf4;5ggewahltenElementeinI.Anstellevonkwerden wirauchjIjschreibenunddasKomplementvonIinf1;2;3;4;5gmitIc mitihrenp;q-Werten.JedochhabenwirIanStellevoneIangegeben: bezeichnen. InderfolgendenTabellesindalle32Basivektorenaufgelistetzusammen 

eI=ei1^êik2VkC5; I=fi1;:::ikg;i1

p=0 Y q=0q=20 -1 q=1 

p=2 -1 p=0 Q q=0q=2 q=1 

p=1 4/3 -2/3 1/3 1/3 p=2 0 0 2/3 p=3 2/3 2 -4/3-1/3-1/3 

-1/32/3-1/3 

0 1 1 p=1 p=3 1/3 1 -2/31/3-2/3 

NachdieserZuweisungvonLadungenndenwirauchdieZuordnungzu 0 1 0 

denentsprechendenWeyl-SpinorendererstenGeneration: 1.Gen.q=0q=2 p=0 eR eR eL q=1 

p=2 ?u2R?d2R?u2L?d2L u1R d1R u1L d1L eL 

p=1 u3R dc2L dc1L d3R uc2L uc1L dc1R?uc1R dc2R?uc2R 

u3L d3L (8) 

p=3 dc3L ecL uc3L ceL dc3R?uc3R ecR?ceR 

14

EntsprechendeZuordnungenexistierenfurdiezweiteunddritteGeneration: 2.Gen.q=0q=2 p=0 R R L q=1 

p=2 ?c2R?s2R?c2L?s2L c1R s1R c1L s1L L 3.Gen.q=0q=2 p=0 q=1 

p=1 c3R sc2L sc1L s3R cc2L cc1L sc1R?cc1R sc2R?cc2R 

c3L s3L p=2 ?t2R?b2R?t2L?b2L R t1R b1R R L t1L b1L L 

p=3 sc3L cL cL cc3L sc3R?cc3R bc1L t3R b3R tc1L bc1R?tc1R t3L b3L 

cR?cR p=1 p=3 bc2L bc3L cL cL tc2L tc3L bc2R?tc2R bc3R?tc3R 

HierstehendieSymbolemitihrenVorzeichenfurdieKomponenten cR?cR 

ZeilenderTabelle(8)sindz.B.sozuinterpretieren: Dirac-Feldes ,wobeiIausderTabelle(7)abzulesenist.Dieerstenvier Ides 

;=eR 23=u1R 13=?u2R 45=eR 2345=d1R 1345=?d2R 4=eL 234=u1L 134=?u2L 5=eL 235=d1L 

JedeTabelleistsymmetrischaufgebaut.DieobereHalftebeschreibtMaterie, 12=u3R 1245=d3R 124=u3L 125=d3L 135=?d2L 

dieuntereHalfteAntimaterie.QuarkfelderhabeneinenFarbindexi,z.B. 

Auassung:DieDarstellungen3(mitp=1)und3(mitp=2),beideFundamentaldarstellungenderFarb-SU(3),habenihreRollenvertauscht.Dies 

ZugleicherkennenwireineleichteAnderunggegenuberdertraditionellen uiR;uiL;diR;diL (i=1;2;3): 

hatjedochkeinenphysikalischenEekt. nentevon hendeWeyl-Spinor besondereSorgfaltbeiderBezeichnunggeboten.DieswollenwiramBeispiel ZujedemWeyl-Spinor auftritt.DadieLadungskonjugationdieChiralitatandert,ist cI,derebenfallsinderTabelleunddamitalsKompo- 

IexistiertderdurchLadungskonjugationentste- 

desd-Quarkserlautern: dcL:=(dc)L=(dR)c; 15dcR:=(dc)R=(dL)c:

EinigeFeldertretenindenTabellenmiteinemnegativenVorzeichenauf. DerGrundhierfuristreinalgebraischer(nichtphysikalischer)Natur.Die Vorzeichensindsogewahlt,dadiefolgendeBedingungerfulltist: 

wobeiIdasVorzeichenderjenigenPermutationist,diefI;Icgindienormale Ordnungf1;2;3;4;5guberfuhrt,alsoetwa 

cI= Ic 

GleichzeitigwirdhierdurcheinerbekannteRegelRechnunggetragen:Mit 13=sgn13245 

(e;e)L,einemlinkshandigenSU(2)-Dublett,ist,nachAusfuhrungeinerLadungskonjugation, 

(ec;?ce)R=(eL;?eL)c 

12345=?1: 

einrechtshandigesSU(2)-Dublett. 1.5 DerverallgemeinerteDirac-OperatorID==D=+LenthaltbereitsdasHiggs- FeldzusammenmitvielenanderenParameternindemOperatorL,derfrei DasHiggs-FeldunddieYukawa-Kopplung 

DieersteEinschrankung Einschrankungenuntersuchen,denenderOperatorLdortunterliegt. von-MatrizenistunddeshalbwieeinSkalaraufdenSpinorraumSwirkt. SeineWirkungbeschranktsichaufdenRaumC3VC5.Wirwollendie 

selbstkonjugiertist,diezweiteEinschrankung kommtvonderForderung,daderDierentialoperatoriID=(ebensowiei@=) L=?L 

vonderForderung,da(verallgemeinerte)Dirac-Operatorenimmerungerade Operatorensind,alsodieParitatderVektoren,aufdiesiewirken,umkehren. C3VC5L ?!C3VC5 (9) 

ImeinfachstenFall,wennderDirac-OperatoraufdemRaumSwirktund dieStruktur@hat,istdiesdiefolgendeEigenschaftder-Matrizen: 

alleindurchdie5-Matrixgegeben,sondernvonkompliziertererStruktur, ImvorliegendenFallistdieZ2-Graduierung(unddamitdieParitat)nicht 5+5=0: 

16

namlichdurchdenDarstellungsraumderEichgruppemitbestimmt: (C3VC5S)=C3(VC5S) 

DaLtrivialaufdenRaumSwirktundsoseineParitaterhalt,andertL (VC5S)+=(V+C5S+)(V?C5S?) 

zwangslaugdieParitatinVC5wiein(9)angegeben. (VC5S)?=(V?C5S+)(V+C5S?) 

Operatorsbestimmt,sobaldderOperatorLfestgelegtist: DerHiggs-SektordesStandardmodellsistdurchdieFormdesDiracwirkungmitdenFermionenbeinhaltet.DerGrundfurdenFaktor12aufder 

HierhabenwirnurdenTeildesHiggs-Sektorsaufgefuhrt,diedieWechsel- 

LHiggs=12iL : 

rechtigtauchdasladungskonjugierteFeld AnlazuidentischenAusdruckenindemWirkungsintegral.Wennwiralso rechtenSeiteliegtdarin,dainunseremFormalismusiID= 12bekommt,weildarinmitjedemElementarfeld cIauftritt.BeideFeldergeben Izugleichundgleichbe- 

denVorfaktor 

lerdingsvermiedenwerden,wennwirwirunsbei erreichenwollen,istderFaktor12unausweichlich.DieserFaktorkannal- 

UbereinstimmungmitdemkonventionellenAnsatzfurdieLagrange-Dichte 

furdievierMateriefeldermitdenLadungenQ=0;?1;23;?13(jedesFeldein p=0;2beschranken. FurdieweitereDiskussionisteshilfreich,einesuggestiveBezeichnung aufKomponentenmit 

avor-Triplett)einzufuhren: n=(e;;) e=(e;;) u=(u;c;t) 

daderhierdurchgegebeneBeitragzurLagrange-DichtediefolgendeForm DasStandardmodellbenutzteinenspeziellenAnsatzfurdenOperatorL,so d=(d;s;b): 

hat: LHiggs=nRAn(nL0?eL+)+(nL0?eL+)AnnR +eRAe(eL0+nL+)+(eL0+nL+)AeeR 

Hierinbezeichnet(+;0)einSU(2)-DublettmitY=1aus(skalaren)Higgs- +uRAu(uL0?dL+)+(uL0?dL+)AuuR 

Feldern.DieBezeichnungmachtdeutlich,da+dieLadungQ=1tragt +dRAd(dL0+uL+)+(dL0+uL+)AddR: 

17

und0neutralist,diespontaneSymmetriebrechungalsoein`Kondensat' h0i6=0hervorruft.IndenAnsatzfurLgehendaruberhinausvierkomplexe 33-MatrizenAn,Ae,Au,Adein,dieaufdieavor-Freiheitsgradewirken, alsoalsOperatorenaufdenRaumC3zuinterpretierensind.Esgibtbislang keinuberzeugendesArgumentoderPrinzip,dasdieseMatrizeninirgendeinerWeiseeinschrankenkonnte:Siesindfreiwahlbarundbestimmendie 

Yukawa-Kopplungen.Jedochsindnichtalle432=36komplexenParameter physikalischrelevant,dawirdieFermi-Felderunitartransformierenkonnen. Dichte.Sienutztaus,dasichmitHilfedesHiggs-Feldesvierverschiedene SU(2)-Singlettskonstruierenlassen: DieobigeKonstruktiongewahrleistetlokaleEichinvarianzderLagrangens=AnnR+nL0?eL+ 

us=AuuR+uL0?dL+ es=AeeR+eL0+nL+ (Q=?1) (Q=0) 

WirfassensiealstransformierteDirac-Felderauf.DieLagrange-Dichtedes ds=AddR+dL0+uL+ (Q=?13) (Q=23) 

Higgs-SektorskannnachEinfuhrungdieserFeldernunkurzergeschrieben 

InsbesonderelatsichdieEichinvarianzderrechtenSeitesehrvielleichter werden,wodurchihreStrukturbessersichtbarwird: 

uberprufen.ManmachtsichdieKorrektheitderneuenSchreibweiseleicht LHiggs=nsns+eses+usus+dsds: 

amBeispieldesneutralenDirac-Feldesklar: nsns=nsRnsL+nsLnsR 

DerHiggs-Kibble-MechanismusgibteinebewahrteBeschreibungderspontanenBrechungderlokalenEichsymmetrie.Zugleicheliminierterdreireelle 

=nRAn(nL0?eL+)+(nL0?eL+)AnnR: =AnnR(nL0?eL+)+(nL0?eL+)AnnR 

FreiheitsgradedesHiggs-FeldesundubertragtdieseaufdiemassivenEichfelder.DanachhabenwirinallenFormelndieErsetzung 

vorzunehmen,wobeiH(x)dasneutrale`physikalische'Higgs-Feldundvdas reelleKondensatbeschreibt.SpontaneSymmetriebrechungfuhrtzurMassenerzeugung.HierbeitretenvierkomplexeMassenmatrizenderFermionen 

+(x)=0; 0(x)=(H(x)+v)=p2 

auf:Mn=vAn=p2;Me=vAe=p2;Mu=vAu=p2;Md=vAd=p2: 18

IhrEinuzeigtsichindemfolgendenBeitragzurLagrange-Dichte: Massenterme=nRMnnL+nLMnnR +eRMeeL+eLMeeR +uRMuuL+uLMuuR 

demSpektrum: DieMassenderbeobachtetenfundamentalenFermionenergebensichaus +dRMddL+dLMddR 

spec(MnMn)=fm2e;m2;m2g spec(MuMu)=fm2u;m2c;m2tg spec(MdMd)=fm2d;m2s;m2bg spec(MeMe)=fm2e;m2;m2g 

BeziehungendieserMassenuntereinanderoderBeschrankungen,dieihnen 

fursolcheUnterschiede? sichummindestens12Groenordnungenunterscheiden.WoliegtderGrund insbesonderedeshalb,weildiekleinsteMassemeunddiegroteMassemt auzuerlegensind,gibtesindieserTheorienicht.Dasistsehrunbefriedigend, 

keinenGrundgibt{,gehendieimExperimentbeobachtbarenFermionen FallsdievierMassenmatrizennichtvonvornhereindiagonalsind{wofures 1.6 UnitareCKM-MatrizenderLeptonenundQuarks 

durcheineavor-Mischung{beschriebendurcheineunitareTransformation {ausdenvonunsgewahltenBasisfeldernhervor.DenneinbekannterSatz durcheinebiunitareTransformationdiagonalisierenlat: derAlgebrasagt,dasichjedederkomplexenMatrizenMn,Me,Mu,Md Mn=UnLM0nUnR; Mu=UuLM0uUuR; Me=UeLM0eUeR; M0n=diag(me;m;m) 

Md=UdLM0dUdR; M0u=diag(mu;mc;mt) M0d=diag(md;ms;mb) M0e=diag(me;m;m) 

Dieslegtnahe,allefundamentalenFermi-Felderunitarzutransformieren,so dadieneuenFelderdenMasseneigenzustandenentsprechen: n0R=UnRnR 

d0R=UdRdR u0R=UuRuR e0R=UeReR n0L=UnLnL 

d0L=UdLdL u0L=UuLuL e0L=UeLeL 

19

Hierdurchwerdenneue(orthonormierte)Basenimavor-RaumC3eingefuhrt, diedentatsachlichbeobachtetenTeilchenentsprechen. schreibungdieYukawa-WechselwirkungmitdemHiggs-FeldH(x): DieTransformationzuneuenFeldernvereinfachtzugleichauchdieBe- 

LYukawa=XFGFFFH LHiggs=LYukawa+Massenterme 

wobeiFdieSymbole DieSummewirduberallefundamentalenDirac-FelderF=FR+FLgefuhrt, GF=mFp2=v 

e 

durchlauft.Entscheidendist,dadieKopplungskonstanteGFproportional ude sc 

derMassemFdesFermionsist.DiepartielleBreitefurdenZerfallH!FF bt 

istdaherproportionalm2F.EineunmittelbareKopplungdesHiggs-Teilchens andieEichbosonenexistiertnicht.DerZerfallH!2geschiehtubereine virtuelleProduktionvonFF-Paaren.DieMassedes(bislangnichtnachgewiesenen)Higgs-TeilchenswirdimBereich100-200GeVerwartetwirkung,dainihnenFelderverschiedenerLadungverknupftwerden.Die 

alleubrigenTermederLagrange-DichtedesStandardmodellsbisaufeine bemerkenswerteAnderungdergeladenenStromederschwachenWechsel- 

DieTransformationzudenMasse-EigenzustandenhatkeinenEinuauf 

unddieendgultigeGestaltaufgrundderTransformationist ursprunglicheGestaltdieserStromeist 

j+=n0Le00L+u0Ld00L j+=nLeL+uLdL j?=(j+) j?=(j+) 

mitdenBezeichnungen d00L=VdCKMd0L; e00L=VeCKMe0L; VeCKM=UnLUeL 

werdennachihrenEntdeckernCabbibo,Kobayashi,undMaskawaalsCKM- ZweiunitareMatrizenmitphysikalischerRelevanztretenhierbeiauf.Sie VdCKM=UuLUdL: 

Matrizenbezeichnet: VdCKM=CKM-MatrixderQuarks: VeCKM=CKM-MatrixderLeptonen 20

unddarindiegeladenenStromeausdrucken. benutzend,dieFeldern0undu0zuneuenFeldernn00undu00transformieren reineKonvention.Ebensogutkonntenwir,diekonjugiertenCKM-Matrizen DawirdieFeldere0undd0zuneuenFelderne00undd00transformieren,ist 

transformationenallerFeldereliminierenlassen7.Esbleibenvierphysikalisch enthalt9reelleParameter.FunfdavonsindPhasen,diesichdurchPhasen- 

ParameterausdemExperimentzubestimmen.Eineunitare33-Matrix EsbestehtderWunsch,dieCKM-Matrizenzuparametrisierenunddie 

relevanteParameter(Winkel):1;2;3;: DieerstendreisinddenEuler-WinkelneinerRotationR2SO(3)vergleichbar,derWinkelbeschreibtdieAbweichungvonderreellenGestaltder 

CKM-Matrix,diewiralseinProduktvonvierunitarenMatrizenschreiben: mit V1=0@cos1 sin10 VCKM=V2VV1V3 

?sin1cos10 

0 1 1 A V2=0@10cos2?sin2 

0sin2 0 0 

V3=0@1 0 0 

1 A 

DadieAntiteilchenmitderkonjugiertkomplexenCKM-Matrixverknupft 0?sin3cos3 1 A V=0@10 01 00?ei 0 1 A 

sind,wechseltunterderCP-OperationderWinkelseinVorzeichen.Eine Abweichungvon istverantwortlichfurdieCP-VerletzunginderschwachenWechselwirkung. EinetheoretischeVorhersagefurdieGroevonstehtnochaus. DieCKM-MatrixderQuarksschreibtmanauchinderForm =0(mod) 

7Allgemein,wennnGenerationenexistieren,istdieCKM-MatrixVeinElementder VdCKM=0@VudVusVub VcdVcsVcb VtdVtsVtb 1 A 

GruppeU(n).Diesesistnichteindeutig,weilVundV0alsphysikalischaquivalentgelten, wennesDiagonalmatrizenD;D02U(n)gibtmitDV=V0D0.DieAquivalenzrelation eliminiert2n?1voninsgesamtn2reellenParametern.SomithatdieCKM-Matrixnur (n?1)2relevanteParameter(Winkel).Vondiesensindn(n?1)=2verallgemeinerteEuler- Winkel,d.h.ParameterderGruppeSO(n).Esbleiben(n?1)(n?2)=2Winkel,diefur dasVerhaltenV6=V,alsofurdieCP-Verletzungausschlaggebendsind. 21

wodurchsofortersichtlichist,welchemVertexeinbestimmtesMatrixelement zuzuordnenist.HierzuzweiBeispiele: 1.DieGroevonVudbestimmtdenZerfalldesNeutrons, 

DennimQuarkbildgiltn=(ddu)undderZerfallverlauftuberein virtuellesW?-Eichboson:d!uW?. n!pe?e: 

2.DieGroevonVusbestimmtdenZerfalldergeladenenK-Mesonen, 

DennimQuarkbildgiltK+=(su)undderZerfallverlauftuberein z.B. 

virtuellesW+-Eichboson:su!W+. K+!+: 

DieCKM-MatrixderLeptonenschreibenwirso: VeCKM=0@V11V12V13 

ImRahmendesMinimalenStandardmodells(MSM)wurdeangenommen, V31V32V33 V21V22V23 1 A 

daalleNeutrinomassengleichNullsind.EineEntartungme=m=m reichtbereitsaus,umeineneue`physikalische'BasisvonNeutrinofeldern durchdieTransformationn0=(VeCKM)neinzufuhrenmitdemErgebnis, dadiegeladenenStromenumehranstellederCKM-MatrixVeCKMdieEin- 

heitsmatrix1l3enthalten.MitanderenWorten,imMSMgabeskeineavor- anderndenWechselwirkungenderLeptonen. 

nenzahlL=Le+L+L,aberkeineseparateErhaltungvonLe,LundL Massen-EntartungbeidenNeutrinos.Einenicht-diagonaleCKM-Matrixder LeptonenzwingtunszurErkenntnis,daeszwareineErhaltungderLepto- 

BestehendeExperimentedeutenaufeineVerletzungderangenommenen 

gibt.DerZerfalldesMuonsetwaverlauftdanachubervierProzesse: 

? -V22 t??? W? V11 

??? t -e 

e? ? - V22 t??? W? V21 

??? t - 

e? 

22

? -V12 t??? W? eV11 

??? t -e 

e? ? - V12 t??? W? eV21 

??? t - 

e? 

DieviermoglichenEndzustandelassensichauchdurchNeutrino-Oszillationen 

dieErde,imwesentlichenaufderBasisderDiagramme erklaren. UbergangeeaufdemWegeSonne-ErdeoderbeimDurchgangdurch SinddieMassenmeundmsehrnahebeieinander,soerwartetman 

- V21 t 

W+e? 

V11 t -e e- V11 t 

W+e? 

V21 t - 

Fazit:Flavor-anderndeProzesseimStandardmodellwerdendurch(undnur durch)dieWechselwirkungmitdenW-Bosonenhervorgerufen. 

23

2 DieBrownscheBewegung approacharepedagogical,inasmuch Themainadvantagesofadiscrete asoneisabletocircumventvariousconceptualdicultiesinherent 

tothecontinuousapproach.Itisalsonotwithoutapurelyscienticinterest... 

ZufallsbewegungenvonmikroskopischenTeilchenineinerFlussigkeit,wiesie zumerstenmalvondembritischenBotanikerBrown1827beobachtetwurden, MarcKac 

gabenAnlazurEntwicklungeinermathematischenDisziplin,derTheorie derBrownschenBewegung,mitungeahnterTragweitefurdiegesamtePhysik. DieheutigenAnwendungenreichenvonderAstronomiebiszurPhysikder Elementarteilchen. 2.1 MandenkeaneinTeilchen,dassichentlangderx-Achsebewegt,soda esinderZeiteinheiteinenSchrittnachrechtsodernachlinksmacht DieeindimensionaleZufallsbewegung 

auchdieZeitdiskret(diskontinuierlich).DaruberhinausistderRaumquasieindimensional,namlichdurcheineFolgevonaquidistantenPunktenersetzt. 

mitderSchrittweiteh.InunseremModellsindalsosowohlderRaumals 

gleich,alsogleich12,unddamitistallgemeindieWahrscheinlichkeitfurden dieWahrscheinlichkeitenfurdenRechtsschrittunddenLinksschritteinander UbergangvomPlatzx=jhzumPlatzx=ihwahrendderZeitt=durch WirktkeinauererEinu,der\rechts"vor\links"bevorzugt,sosind 

dieFunktion P(ih?jh;)= 12ji?jj=1 

folgen,umeinenstochastischenProze,genauer,umeineMarkov-Kettemit beschrieben.Eshandeltsichhier,wollenwirdemublichenSprachgebrauch 0sonst (i;j2Z) (10) 

abzahlbarvielenZustanden.DerProzeist 1.homogen:PhangtnurvonderDierenzi?jab. 2.isotrop:PhangtnichtvonderRichtungimRaumab,d.h.PistinvariantgegenuberderErsetzung(i;j)!(?i;?j). 

24

AllgemeinkannmaneineMarkov-KettedurcheinPaar(P;p)charakterisieren,wobeiP=(Pij)die\Ubergangsmatrix"undp=(pi)dieAnfangsverteilungbeschreibt:piistdieWahrscheinlichkeit,dasTeilchenzurZeitt=0 

imPunktx=ihgleichzusetzen,unddieMatrixPhatdieKomponenten undPiPij=1.InunsererSituationistderZustandmitdemAufenthalt imZustandunden.Esgiltimmer0pi1,Pipi=1,0Pij1 

DieseMatrixistbeidseitigunendlich:?1

Esistleichtzusehen,dadieRekursionsformel n+1 k=nk+n k?1 

chung furdieBinomialkoezienten(PascalschesDreieck!)mitderDierenzenglei- 

identischist,wobeiwirx=(i?j)hundt=ngesetzthaben.DieGleichung (16)kannwiefolgtumgeschriebenwerden: P(x;t+)=12P(x+h;t)+12P(x?h;t) (16) 

AuchdiesisteineDierenzengleichung,dieaberschondieNahezueiner P(x;t+)?P(x;t) =h2 2P(x+h;t)?2P(x;t)+P(x?h;t) 

Dierentialgleichungerkennenlat.EntsprechendunsererAuassungsind h2 (17) 

namlichsowohlhalsauchmikroskopischeGroen.Einemakroskopische BeschreibungderZufallsbewegungerzielenwirdurchdenGrenzubergang h!0,!0,wobeidieDiusionskonstante 

konstantgehaltenwird.IndiesemLimeswerdenxundtzukontinuierlichen D=h2 

Variablen:x2R,t2R+.DieGleichung(17)gehtindie(eindimensionale) 2 

Diusionsgleichunguber8:@@tP(x;t)=D@2 DieseGleichungundihremehrdimensionalenVariantensinddieBasisder EinsteinschenTheoriederBrownschenBewegung.DieArtdesGrenzubergangeslaterkennen:DieinstantaneGeschwindigkeit,namlichderQuotient 

@x2P(x;t) (18) 

h=,besitztkeinenLimes.VielmehrstrebtderQuotientuberalleWerte. dies,dadiePfadederBrownschenBewegungnichtdierentierbareFunktionenderZeitsind.EinebedeutendeLeistungvonEinsteinwardieAbleitunchenkeineGeschwindigkeitzuordnenkann.Mathematischgesehenbedeutet 

DiesesVerhaltenistdafurverantwortlich,damandemBrownschenTeillichenFaktorshumnormiertwerden,derberucksichtigt,dasPiPij=1indieBedingung 

derBeziehungD=2kBT=f(kB=Boltzmann-Konstante,T=Temperatur,f RdxP(x;t)=1ubergeht. 8BeidemUbergangzumKontinuummudieFunktionP(x;t)mitHilfeeineszusatz- 

26

kroskopischeGroenzuruckzufuhren9.FurunsereZweckeistdieseBeziehung =Reibungskonstante),dieesermoglichte,dieDiusionskonstanteDaufma- 

P(x;t)undderKonstantenD.Ergebnisse,diebeiderDiskussionderWarmeleitungerzieltwurden,lassensichsomitubertragen.ZumBeispielkenntman 

DieDiusionsgleichungistformalidentischmitderWarmeleitungsgleichung.DerUnterschiedliegtlediglichinderInterpretationderFunktion 

jedochnichtvonInteresse. 

dieLosung P 0(x;t)= 2pDtexp?x2 1 4Dt 

desAnfangswertproblemsP0(x;0)=(x)(dasBrownscheTeilchenstartet imUrsprung).DasklassischeTheoremvonLaplace-DeMoivre(Konvergenz (t>0) (19) 

derBinomialverteilunggegendieGau-Verteilung)sorgtdafur,daimKonlichkeitPtritttinuumslimesdieGau-FunktionP0andieStellederUbergangswahrschein- 

limX x1

2.2 WirverallgemeinerndieBetrachtungendesvorigenAbschnittesundkommen nunzuderZufallsbewegungeinesTeilchensaufdemd-dimensionalenkubischenGitter(Zh)dmitderGitterkonstantenh.EinesolcheIrrfahrtkonnte 

{aufeinemzweidimensionalenGitter{etwadenfolgendenVerlaufnehmen: ````````````````````` 

````````````````````` 

t 

````````````````````` 

````````````````````` 

t 

Died-dimensionaleIrrfahrt 

BetrachtenwirzeitlicheEntwicklungendieserArtjedochausgroerFerne undlassenwirdemTeilchengenugendZeit,seinIrrfahrtdurchdenRaum fortzusetzen,sobietetsicheinBild,dasdieGitterstrukturkaumnocherkennenlat.JefeinerdasGitter,umsochaotischerdieBewegung: 

28

keit{furalleRichtungengleich{ist(2d)?1.ImeindimensionalenFallwares gendesGitterseinenSchrittderLangehauszufuhren.DieWahrscheinlich- 

bequem,dieMatrixnotationfurdenUbergangzuverwenden.ImmehrdimensionalenFallerweistsichdieOperatornotationalswesentlichgunstiger,d.h. 

InderZeiteinheithatdasTeilchendieFreiheit,ineineder2dRichtun- 

linearenOperatorP: anstellederUbergangsmatrixbenutzenwirnundendurchsieinduzierten 

DieOrtsvariablexisthiernurdiskreterWertefahig:x2(Zh)d;ekistder [Pf](x)=1 2ddXk=1ff(x+hek)+f(x?hek)g (23) 

EinheitsvektorinRichtungderktenKoordinatenachse,also(ek)i=ik.Ist 0f(x)1undPxf(x)=1,sokannfalseineVerteilungsfunktion furdenAufenthaltdesBrownschenTeilchenzurZeittgedeutetwerden. jedochnichtnurbequem,sondernausmathematischenGrundengeradezu IndiesemFallwarePfdieentsprechendeFunktionzurZeitt+.Esist zwingend,hiereinengroerenRaumvonFunktionenfzuzulassen,soda etwadenHilbertraumH=ffjPxjf(x)j2

DasSpektrumdesOperatorsPistsomitkontinuierlich.Durch 

wirdP(x?x0;n)zurWahrscheinlichkeitfurdenUbergangx0!xwahrend [Pnf](x)=Xx0P(x?x0;n)f(x0) (n2N) (28) 

einesZeitintervallsderLangen.Explizithabenwir: P(x;n)=h 2dZBdpeipx(p)n 

schnitt,sowohldieGitterkonstantehwieauchdenZeitschrittsogegen DerKontinuumslimesbestehtnundarin,dawir,wieimvorigenAb- 

(29) 

Nullstrebenlassen,dadabeidieDiusionskonstante D=h2 

lichganzRdumfat. konstantgehaltenwird.DieBrillouin-Zonewachstmonoton,bissieschlie- 

2d (30) 

WirndenfurkleineWertevonh(groeWertevonn=t=): (p)n=exp(nlog =exptlog1?h2 1ddXi=1cospih!) 

=exp?Dtkpk2+O(h2) 2dkpk2+O(h4) 

mitkpk2=Pip2i.DieWahrscheinlichkeitproVolumen,h?dP(x;t),strebt daherimKontinuumslimesgegendieDichte (t>0) 

P0(x;t)=(2)?dZdpeipxe?Dtkpk2 =(4Dt)?d=2exp?kxk2 4Dt 

wieptanwachst.Genaubetrachtet,istP0(x;t)dieWahrscheinlichkeitsdichtefurdenAufenthaltdesBrownschenTeilchens,wennbekanntist,daes 

zurZeitt=0imUrsprungstartete.AlsmittlerequadratischeAuslenkung, abhangigvont,bezeichnetmandenErwartungswertvonkxk2: hkxk2it=Zdxkxk2P0(x;t)=2dDt 30 

Wiemansieht,handeltessichhierbeiumeineGau-Verteilung,derenBreite (t>0) (31) 

(32)

DieProportionalitatmittistcharakteristisch.BeiBeobachtungenunterdem 

eineeingeschrankteRotationssymmetriebesitzt,stelltderKontinuumslimes stantebestimmen. Mikroskop(eektiv:d=2)latsichaufdieseWeiseleichtdieDiusionskon- 

dievolleRotationssymmetriedesRdwiederher,indemdieDichteP0(x;t) eineFunktionvondeseuklidischenAbstandeskxkdesPunktesxvomUrsprungist.DiesistfurGrenzprozessedieserArtkeineswegsselbstverstandlich 

undmualseinGeschenkbetrachtetwerden.Esistleicht,Gegenbeispiele aus: zukonstruieren.Angenommen,dieSpektralfunktionaufdemGittersaheso 

WirmachendiefolgendeBeobachtung:ObwohldaskubischeGitternur 

Gitters.ImKontinuumslimesentstehtjedocheinungewohnlicherAusdruck, DieseFunktionistinvariantunterallenSpiegelungenundRotationendes (p)=1?fd?1Pdi=1jsinpihjg2 

(D0=limh2=(d2)=2D=d),derdieerwarteteRotationssymmetrievermissenlat. 

lim(p)n=expf?D0t(Pijpij)2g 

Gau-FunktionP0(x;t)died-dimensionaleDiusionsgleichungerfullt: KehrenwirzumResultat(31)zuruck.Manuberzeugtsichleicht,dadie 

Hierbezeichnetdend-dimensionalenLaplace-Operator.Unsinteressiert darandieformaleAhnlichkeitmitderSchrodinger-Gleichungeinesfreien @@tP0(x;t)=DP0(x;t) (33) 

Teilchens:WirgelangenvonderstatistischenMechanikzurQuantenmechanik,reinformalbetrachtet,durchdieEinfuhrungeinerimaginarenZeit. 

geschriebenwerden,daschondurchdiebloeSchreibweisedieEinfuhrung DieSchrodinger-GleichungfureinfreiesTeilchenderMassem=1kannso 2.3 ImaginareZeit 

derVariablenitanstellevontnahegelegtwird: 12 =@ 

ZeitvariableitinallenAusdruckenbenutzen,konnenwiretwadieLosung IndemwirbeiquantenmechanischenRechnungenkonsequentdieimaginare @(it) (34) 

desAnfangswertproblemsinderForm (x;it)=Zd3x0K(x?x0;it) 31 (x0;0) (35)

angeben10,wobei 

derIntegralkerndesunitarenOperatorseit=2ist,derimFallederQuantenmechanikdiezeitlicheEvolutionvonZustandenbeschreibt: 

3(x) t=0 (36) K(x;it)=(2it)?3=2exp(?(2it)?1x2)t6=0 

DasErstaunlicheangesichtsdiesererstenkurzenListevonFormelnist,da (x;it)=[eit=2](x) (x;0)=(x) (t2R) (38) (37) 

tatsachlichanallenPlatzendieimaginareVariableitinnaturlicherWeise auftritt,soalsobiundtfurimmeruntrennbarverbundensind.Esistauch diesdieGultigkeiteinerGleichung,diederChapman-Kolmogorov-Gleichung einparametrigeunitareGruppebeschreiben.FurdenIntegralkernbedeutet volliganalogist,namlich einebekannteTatsache,da,indemwirtvariieren,dieOperatoreneit=2eine 

GewisseUnterschiedegiltesallerdingsimAugezubehalten: Zd3x0K(x?x0;it)K(x0?x00;it0)=K(x?x00;it+it0) (39) 

DieZeittistnichtaufdieHalbachseR+alleinbeschrankt;allereellen Wertetretengleichberechtigtauf.DieZeitrichtungistumkehrbar.Eine 

DerIntegralkernK(x;it)istnichtpositiv,sondernkomplex.Erhat derQuantenmechaniknichtableitbar. Richtung,inderdieZeitablauft,istschondeshalbausderStruktur 

EinebemerkenswerteEigenschaftdesKernesK,dieinderStreutheorievon gensatzzurDiusionsgleichung,besitztwellenartigeLosungen. einenoszillatorischenCharakter.DieSchrodinger-Gleichung,imGe- 

ausschlaggebenderBedeutungist,weilsiefurdiezeitlicheKonvergenzder StreuzustandeimWechselwirkungsbildverantwortlichist,kommtinderfolgendenFormelzumAusdruck: 

DiedarausresultierendeEigenschaft jK(x;it)j=j2tj?3=2 (t6=0) (40) 

lichmutenwirimZugederneuenAuassungaucheinneuesFunktionssymbolbenutzen. 10Esistzubetonen,da,wofruher j (x;it)jZd3x0jK(x?x0;it)jj (x;t)stand,jetzt (x0;0)j=j2tj?3=2Zd3x0j (x;it)geschriebenwird.Eigent- 

(x0;0)j(41) 

32

isthiercharakteristischfurdieDimensiond=3.Allgemeingesprochen,in einerd-dimensionalenQuantenmechaniknamlich,strebtj mansieht,dieKonvergenzdesrechtenIntegralsvoraus.DerExponent-3/2 istunterdemNamenZerieendesWellenpaketesbekannt.Siesetzt,wie 

gegenNull,sobald schenderDiusionsgleichung(indreiDimensionen)undderSchrodinger- WirkommennunzuunseremeigentlichenThema,derBeziehungzwi- 

(x;0)absolutintegrabelist. (x;it)jwiejtj?d=2 

Gleichung,undmachendazufolgendeFeststellung: lytischenFunktion durchdasIntegral DieLosung (x;it)derSchrodinger-GleichungistRandwerteinerana- 

(x;z),deniertinderHalbebene0undgegeben 

mit K(x;z)=(2z)?3=2exp?x2 (x;z)=Zd3x0K(x?x0;z) 

2z: (x0;0) (43) (42) 

dieSituationderQuantenmechanik,stellt

2.DerIntegralkernselbstiststriktpositiv:K(x;s)>0.Aus(x)0 wobeidasrechteGleichheitszeichennurfur=0angenommenwird. 

3.DerIntegralkernistnormiert:(2)?3=2Rd3xK(x;s)=1.Dieshatzur folgtdeshalbstets[es=2](x)=Rd3x0K(x?x0;s)(x0)0.Mansagt, 

Konsequenz,dadiekonstanteFunktion(x)=1stationarist. dieHalbgruppees=2erhaltdiePositivitat. 

FeldtheorieeineimaginareZeitvariableit,diestatistischeMechanikhingegen fassungvertreten.Jedoch,angesichtsderpseudo-euklidischenStrukturdes einereelleZeitvariables.MankanngenausogutauchdieumgekehrteAuf- 

DerhiervorgetragenenAuassungzufolgebenutzenQuantentheorieund 

rienahegelegt,beiderix0=x4gesetztundmithindiegewohnlicheZeitx0 zugunsteneinerreinimaginarenZeitx4aufgegebenwurde.EsistinderTat Minkowski-RaumeswurdeschonfruhzeitigeineBeschreibungderFeldtheo- 

nichtsanderessindalsanalytischeFortsetzungenvonLosungenderDiusionsgleichungunddadieDiusionsgleichungdiezeitlicheEvolutionfur 

neuemLebenerwecken,dieIdeederanalytischenFortsetzungbenutzend. dieserzweiGenerationenalte,oftgeschmahteStandpunkt,denwirhierzu 

denstatistischenAufenthalteinesBrownschenTeilchensbeschreibt,bleibt Nachdemnunklargewordenist,daLosungenderSchrodinger-Gleichung 

chaniknutzbarmachenkann.DieEinfuhrungdesPfadintegrals,dieunser Zielist,basiertaufderKonstruktiondesWiener-Maes,unddiesesverlangt zuvoreineDiskussiondesWiener-Prozesses. zuklaren,wiemandieBrownschenPfadefurdieZweckederQuantenme- 

2.4.1DieAnalysiszufalligerPfade EinBrownschesTeilchenmitderDiusionskonstantenD=12startezurZeit DerWiener-Proze(d=3) 

Zeitpunkts>0isteinebestimmteZufallsvariable,diewirmitXsbezeichnen.Esistnichtmoglich(d.h.ohneVerwirrungzustiften),denOrteinfach 

mitxoderxszubezeichnen,weildasSymbolximmereinenbestimmtenOrt meint,alsoeinfestesoderauchvariablesEreigniskennzeichnet12.AllePunkte x2R3sindebennurmoglicheWerte,diedieZufallsvariableXsannehmen 

s=0imPunktx=02R3.DerOrtdiesesTeilchenszueinemspateren 

PfadisteineFunktion!:R+!R3;s7!!(s),undesgiltXs(!)=!(s). derElementarereignisse:diesistderRaumallerBrownschenPfade!.Jederindividuelle kann.Einwirkliches,alsofeststellbaresodermebaresEreignis,demeine 12InderSprachedermathematischenStochastikistXseineFunktionaufdemRaum 

34

AirgendeinemebareTeilmengedesR3bezeichnet.WennwirdenzufalligenBrownschenPfadzeichnerischveranschaulichen,sobedeuteteinsolches 

Ereignis,daderPfaddurchdasFensterAzumZeitpunktshindurchgeht: Raum sA 

Zeit! 

endlicheWahrscheinlichkeitzugeordnetwerdenkann,lautet:Xs2A,wobei 

DieZufallsvariableXsgiltalsbekannt,sobaldfurjedesAR3dieWahrscheinlichkeitP(Xs2A)deniertist.DieVorschrift,diejederMengeAdie 

WahrscheinlichkeitP(Xs2A)zuordnet,heitdieVerteilungvonXs.Jede 

erlautert, solcheVerteilungwirdaucheinWahrscheinlichkeitsma,kurzeinW-Ma aufdemRaumR3genannt. ImFallderBrownschenPfademitD=12gilt,wieimAbschnitt1.2 

mitderimAbschnitt1.3angegebenenDichteK(x;s).DadieseDichteinsbesondereeineGau-Funktionist,sagtman,XsseiGauischverteiltund 

P(Xs2A)=ZAd3xK(x;s) (46) 

nenntXseineGauischeZufallsvariable. ordnet,nenntmaneinenstochastischenProze.EinsolcherProzeistdann deniert,wenneineVorschriftformuliertist,dieWahrscheinlichkeiteines allgemeinenEreignisseszuberechnen.EinallgemeinesEreignishatdieForm EineAbbildungs7!Xs,diejedems2R+eineZufallsvariableXszu- 

mualsoeineAntwortgebenaufdieFragemitwelcherWahrscheinlichkeit mit0

Raum s 1A1 A2 A3 

s2 s3 snAnZeit! 

ZufallsvariablenXs1;:::;Xsn.DieAbbildungA1An7!P(Xs12 bezeichnen.EshandeltsichhierbeiumdiegemeinsameVerteilungdern A1;:::;Xsn2An)wirddanneinen-dimensionaleVerteilungdesProzesses Esistublich,dieseWahrscheinlichkeitmitP(Xs12A1;:::;Xsn2An)zu 

sionalenVerteilungendieForm genannt. DerstochastischeProzeXsheitWiener-Proze13,wenndien-dimen- 

P(Xs12A1;:::;Xsn2An)= ZAnd3xnZA2d3x2ZA1d3x1K(xn?xn?1;sn?sn?1) 

und=0sonst.DieDichteK(x;s)istdie(1.35)angegebeneFunktion.Wir habenundwennfurdieAnfangsverteilunggilt:P(X02A)=1fallsA30 K(x2?x1;s2?s1)K(x1;s1) (47) 

festgelegt.InhaltlichdrucktdieFormel(1.39)folgendesaus:dieKenntni daruber,welchenOrtx1dasTeilchenzurZeits1erreichthat,reichtaus, umdenweiterenVerlaufderBewegungimIntervall[s1;s2]mitHilfeder habenunshieraufdieDimensiond=3unddieDiusionskonstanteD=12 

derWeg,dendasTeilchenbiszumErreichenseinerPositionzurZeits1 genommenhat,istirrelevantfurdieweitereBewegung(Nurdergegenwartige Zustand,nichtseineVergangenheit,beeinutdieZukunft).Mansagtauch, Ubergangswahrscheinlichkeitzubestimmen.Unddiesisthierbeiwesentlich: 

Markov-Prozesse.Markov-Prozessesindsomitsehreinfachstrukturiert.Wie derProzehabekeinGedachtnis,undnenntProzessemitdieserEigenschaft auchimmerK(x;s)aussehenmag,einMarkov-Prozeistbereitsvollstandig 13SobenanntnachdemMathematikerNorbertWiener. 

36

durchdiebedingteWahrscheinlichkeit 

x)bezeichnetmanallgemeindieWahrscheinlichkeitfurdasEreignisXs02A unddurchdieAnfangsverteilungP(X02A)festgelegt.MitP(Xs02AjXs= P(Xs02AjXs=x)=ZAd3x0K(x0?x;s0?s) (s0>s) (48) 

unterderVoraussetzungXs=x:dasTeilchenstartetezurZeitsinx.Ein FunktionderDierenzs0?sist.DerWiener-Prozeisthomogen. Markov-Prozeheitzeitlichhomogen,wennP(Xs02AjXs=x)nureine 

dieneueSchreibweiseihreStrukturzuerhellen.Esseialsonfestgewahlt 2.4.2GauischeProzesse EsistmoglichdieFormel(1.39)sehrvielkompakterzuschreibenunddurch undx=fx1;x2;:::;xngT2R3nderMultivektoreinesElementarereignisses. Wirschreibenauchdx=d3x1d3x2d3xn.Durch xTQx=x21 s1+(x2?x1)2 s2?s1++(xn?xn?1)2 

selbstisteine3n3n-Matrix.Sieistreell,symmetrischundpositiv.Man (0

1.QkonnteirgendeinenichtsingularepositiveMatrixsein.Dannwurde sprechen.SindallemultidimensionalenVerteilungeneinesstochastischenProzessesGauisch,soheitereinGau-Proze.Indiesem 

manimmernochvoneiner3n-dimensionalenGauischenVerteilung 

2.DieTeilmengeAR3nkonnteeinebeliebige(mebare)Mengesein, SinneistderWiener-ProzeeinspeziellerGau-Proze. 

diesemFallistdasEreignisfXs1;Xs2;:::;Xsng2Anichtmehrmit tisch.DieRechtfertigungfurdieseVerallgemeinerungliegtdarin,da einemEreignisderArtXs12A1undXs22A2und:::Xsn2Aniden- 

alsoeine,diesichnichtalseincartesischesProduktdarstellenlat.In 

maneinebeliebigeMengeAimmeralsVereinigungdisjunkterMengenschreibenkann,wobeijededieserMengenfursichgenommenein 

2.4.3UnabhangigeZuwachse cartesischesProduktdarstellt(Parkettierung). 

WirkommennunzueinereinfachenAnwendungderFormel(51)furn=2. EsseiGR3einbeliebigesGebietund 

sionalenRaumvorstellen,dessenBasisdieMengeGist.DieBerechnungdes WirkonnenunsAalseinenbeidseitigunendlichenZylinderimsechsdimen- 

A=fx1;x2jx2?x12GgR6 (52) 

WertesvonP(fXs1;Xs2g2A)beantwortetdieFrage:MitwelcherWahrscheinlichkeitnimmtderZuwachsx2?x1entlangdesBrownschenPfadeschrift(51)liefertdieAntwort: 

zwischendenZeitens1unds2einenWertindemGebietGan?DieVor- 

undausnutzten,daRd3x1K(x1;s1)=1ist.DasverbleibendeIntegralist wobeiwirdieSubstitutiony=x2?x1(anstellevonx2)vorgenommenhaben, P(Xs2?Xs12G)=ZGd3yK(y;s2?s1) (53) 

unsgelaug(siehe(1.38)),unddamitgiltdieBeziehung 

sobald0s1s2.DasErgebnisinWorten:DieZufallsvariablenXs2?Xs1 undXs2?s1besitzendiegleicheVerteilung14.DerVersuch,dieGeschwindigkeitdesBrownschenTeilchensalsZufallsvariableeinzufuhren,scheitert.Sei 

14Warnung:Diessagtnicht,daXs2?Xs1=Xs2?s1gilt. 

P(Xs2?Xs12G)=P(Xs2?s12G) (54) 

38

namlichVs()=?1(Xs+?Xs)mits>0;>0.DasEreignisVs()2G istmitdemEreignisXs+?Xs2Gidentisch.WirberechnenseineWahrscheinlichkeit: 

DieDichte[=(2)]3=2exp(?v2=2)wirdfur!0immeracherundbreiter: P(Vs()2G)=(2)?3=2ZGd3xe?(2)?1x2= 23=2ZGd3ve?v2=2 

EsexistiertkeineGrenzverteilung.FurdasBrownscheExperimentbedeutet dies,dadiegenaherteGeschwindigkeitVs()beliebiggroeWertemitimmer groererWahrscheinlichkeitannimmt.SeietwacdieLichtgeschwindigkeit,so gibteseinderart,daP(jVs()j>c)>1?gilt:DieWahrscheinlichkeit, dadieGeschwindigkeitdesBrownschenTeilchensdemBetragenachgroer alsdieLichtgeschwindigkeitist,kommtdemWert1beliebignahe,sofern mandieZeitdierenzfurdieMessungnurbeliebigkleinmacht.DerWiener- ProzestelltsomiteineIdealisierungdar,die{allzuernstgenommen{sogar 

derGrundformel(51)folgt wichtigephysikalischePrinzipienverletzt. AR3ndurchdieBedingungenxi?xi?12Gi,i=2;:::;n,deniert.Aus WirwollendaseingangsbetrachteteBeispielverallgemeinern.Esseijetzt 

(0

3.1 3 PfadintegraleinderQuantenmechanik 

WirwollennunnichtmehreinzelnezufalligePfade,sondernMengensolcher PfadebetrachtenundihneneinMazuordnen,sodaeinzelnePfadedas DasbedingteWiener-Ma 

demeinzelnePunktedasVolumenNullbesitzen. GewichtNullbekommen,analogderSituationeineseuklidischenRaumes,in 

punktderPfadesindfestvorgegeben: R3mit!(s)=xund!(s0)=x0(0

DierechteSeitezeigteinerechtengeBeziehungzurbedingtenWahrscheinlichkeit,wiesieimWiener-Prozeauftrat.Esgiltnamlich 

VariiertmanAuberallecartesischenProdukteA1An,soerhaltman P(fXs1;:::;Xsng2AjXs=x;Xs0=x0)=(A) 

einerzeugendesSystem15vonTeilmengenA.DasMalatsich () (60) 

aufallemebarenMengenfortsetzen.EswirddasbedingteWiener-Ma genannt.DieGrundmengeunddasMahangenvonx;x0;s;s0ab.Will mandieseAbhangigkeitbetonen,soschreibtman 

MitHilfedesMaesdeniertmandasPfadintegral =x0;s0 x;s =x0;s0 x;s (61) 

fur\geeignete"Funktionenf:!R.EinesolcheFunktionistetwadie charakteristischeFunktioneinerMengeA,wiewirsieobenbetrachteten: I(f)=Zd(!)f(!)=Z(x;s)!(x0;s0)d(!)f(!) (62) 

IndiesemFallistdasPfadintegralsehreinfachzuberechnen, fA(!)=1!2A 

Zd(!)fA(!)=(A); 

0sonst 

weilwirhiernurdieDenitiondesMaesbenutzten.DieFunktionfAist inderTatsehrspeziell.MankannsieselbstwiederalseinProduktvon (63) 

charakteristischenFunktionenschreiben: 

mit B(x)=1x2B fA(!)=nYi=1Ai(!(si)) (64) 

underkennen,dafAnurvonendlichenvielenKoordinatendesPfades! abhangt,namlichdenPositionen!(s1);:::;!(sn). 0sonst (BR3) 

abzahlbareVereinigungensolcherBasismengen. 15EinebeliebigemebareMengeentstehtdurch(uneingeschrankte)Durchschnitteund 41

eektivennumerischenAlgorithmus.Wennjedochf,wieindemBeispiel, gralzubestimmen,seiesvermogeeinerexplizitenFormeloderdurcheinen nurvonendlichenvielenKoordinatendesPfadesabhangt,reduziertsichdas FureineallgemeineFunktionfistesnahezuunmoglich,dasPfadinte- 

PfadintegralimmeraufeinendlichdimensionalesIntegral16.DiesenVorgang wollenwirnunnaherbeschreiben.WirxierendieZeitpunktesi,variieren aberdieMengenAiinA=A1An.DurchendlicheSuperpositionen 

gralsfolgt: von3nVariablenkannsogeschriebenwerden.AusderLinearitatdesInte- 

g=PAcAfAmitreellenKoezientencAentstehenstuckweisekonstante 

Zdg=XAcA(A) 

Funktionenvon!(s1);:::;!(sn),undjedestuckweisekonstanteFunktion 

=XAcAZAnd3xnZA1d3x1K(x0?xn;s0?sn)K(x1?x;s1?s) =Zd3xnZd3x1XAcAnYi=1Ai(xi)K(x0?xn;s0?sn)K(x1?x;s1?s) 

JedestetigeFunktionfvon3nVariablenkanndurchstuckweisekonstante Funktionenapproximiertwerden.DurcheinenGrenzuberganggewinnenwir =Zd3xnZd3x1g(x1;:::;xn)K(x0?xn;s0?sn)K(x1?x;s1?s) 

deshalbdiefolgendeAussage: vonendlichvielenKoordinatendesPfades!abhangt,undsinddiesdiePositionenxi=!(si)2R3zudenZeitensi,sogiltRdf= 

Zd3xnZd3x1f(x1;:::;xn)K(x0?xn;s0?sn)K(x1?x;s1?s)(65) 

IstdiezuintegrierendeFunktionf:!Rsobeschaen,dasienur 

unterderAnnahmes

GenausowiemaneingewohnlichesIntegralalsLimeseinerRiemann-Summe vonnTermenfurn!1erklart,gewinntmandasallgemeinePfadintegral 3.2 ApproximationdurchaquidistanteZeiten 

aquidistantenUnterteilungdesIntegrationsintervallserleichtert,kannman alsLimeseines3n-dimensionalengewohnlichenIntegralsfurn!1.GenausowiemansichdieBerechnungderRiemann-SummedurchWahleiner 

Stutzpunktes1;:::;snspezialisieren.EinsolchesApproximationsverfahren sollkanonischgenanntwerden.Wirsetzenalso die3n-dimensionalenIntegraledurcheineaquidistanteWahlderzeitlichen 

sk=s+k;k=0;:::;n;=s0?s 

wird.EineinteressanteSituationentsteht,wenndiezuintegrierendeFunktion undgarantierenso,daderZeitschrittgegenNullstrebt,wennngro n+1 

selbstmittelseinesZeitintegralsdeniertist.Etwaso: f(!)=exp(?Zs0 sdtV(!(t))) 

Hierwareesnamlichmoglich,dasZeitintegraldurcheineRiemann-Summe (66) 

vonendlichvielenKoordinatendesPfades!abhangen: zuapproximieren,umsozuNaherungsfunktionenfnzugelangen,dienur 

fn(!)=exp(?nXk=0V(!(sk))) 

AufdieseWeiseerhaltenwirdasIntegralderFunktionfuberallePfade (67) 

(x;s)!(x0;s0): Zdf=lim 

n!1Zdfn n!1Zd3xnZd3x1K(x0?xn;)e?V(xn)K(xn?xn?1;) 

DieInterpretationdieserFormelgestaltetsichsehreinfach,wennwirzudem Operatorkalkulzuruckkehren.Esisthierfurnurnotig,sichdaranzuerinnern, e?V(x2)K(x2?x1;)e?V(x1)K(x1?x;)e?V(x) 

daK(;)derIntegralkerndesOperatorse=2war.Wennwirdannnoch denMultiplikationsoperator [V](x)=V(x)(x) 43 (2L2(R2)) (68)

einfuhrenundalso[e?V](x)=e?V(x)(x)gilt,soerkennenwirleicht,da 

denIntegralkern furjedesn1derOperatorTn=?e=2e?Vn+1 

Tn(x0;x)=Z(x;s)!(x0;s0)d(!)fn(!) (70) (69) 

mesT=limTnexistiertunddaruberhinausauchnoch besitzt.Wennwirjetztnochglaubhaftmachenkonnen,daderOperatorli- 

hergestellt,beidemeinTeilchensichindemPotentialV(x)bewegt.Vorsicht gilt,sowareeinZusammenhangmiteinemquantenmechanischenProblem T=e?(s0?s)H H=?12+V (71) 

geeigneteBedingungenmuerreichtwerden,dadieFunktionexp(?V(x)) nirgendwoimRaumzustarkanwachst.DiesistaufjedenFallgewahrleistet, istgeboten:nichtjedesPotentialfuhrtaufeinsinnvollesPfadintegral.Durch wenndasPotentialvonuntenbeschranktist:V(x)>?c.Notfallsmudas Potentialregularisiertwerden,bevoresineinPfadintegraleingesetztwird. 

DasProblem,dassichunsstellt,kannallgemeinsoformuliertwerde:Gegeben 3.3 zweiOperatorenAundB,welchenLimesbesitztdieFolge DieFeynman-Kac-Formel 

furn!1?KommutierendieOperatorenmiteinander,soistdieFolge unabhangigvonn,namlichgleicheA+B,unddieswarezugleichauchihr ?eA=neB=nn (72) 

Limes.NunkannmaninderTatuntersehrallgemeinenVoraussetzungen dieGultigkeitderTrotter-Produktformel eA+B=lim n!1?eA=neB=nn 

beweisen,ohneda[A;B]=0erfulltseinmu. (73) 

BbeschrankteOperatorensind: DereinfachsteBeweisbenutztdieVoraussetzung,dasowohlAalsauch 

kBk=sup kAk=sup kk=1kAk

AufdiesenBeweiswollenwirnahereingehen.ZurAbkurzungsetzenwir 

Danngilt C=eA=n+B=n D=eA=neB=n 

DieTrotter-Formelistbewiesen,wenngezeigtist,dakCn?DnkfurwachsendesngegenNullstrebt.Diesbeweisenwir,indemwirzunachstschreiben 

kDkkeA=nkkeB=nkexpf1nkAkgexpf1nkBkg=expf1n(kAk+kBk)g kCkexpf1nkA+Bkgexpf1n(kAk+kBk)g 

unddanndieseSummetermweiseabschatzen: Cn?Dn=nXk=1Ck?1(C?D)Dn?k (74) 

kCn?DnknkC?Dkexpn?1 

nXk=1kCkk?1kC?DkkDkn?k 

nkC?Dkexpf(kAk+kBk)) n(kAk+kBk) 

Darstellungbesitzen: NunbesitzenCundDkonvergenteEntwicklungennach1n,sodawirdie 

DaReinbeschrankterOperatorist,giltkC?Dk=O(n?2)undsomit kCn?Dnk=O(n?1),wasdenBeweisvollendet. C?D=1n2R R=12[B;A]+O(1n): (75) 

unterdenBezeichnungendesletztenAbschnittes.Ebensogilt JetztseiA=(s0?s)=2undB=?(s0?s)V,alsoA+B=?(s0?s)H 

furdendorteingefuhrtenOperatorTn.ZwarsindAundBindiesemFall Tn?1=?eA=neB=nn 

nichtbeschrankt,dieTrotter-FormelgiltdennochunterderVoraussetzung (76) 

V(x)>?c,wiemanmitetwasmehrAufwandbeweisenkann,undsomit erhaltenwir Nunhabenwirschongesehen,daderIntegralkerndesOperatorsTsichals einPfadintegraldarstellenlat,undgelangensozudemSchlu: T=lim n!1Tn=e?(s0?s)H (s0>s) (77) 

45

gralkern OperatorH=?12+VbesitztderOperatore?(s0?s)Hmits0>sdenInte- 

TheoremFureinvonuntenbeschranktesPotentialV(x)unddenHamilton- e ?(s0?s)H(x0;x)=Z(x;s)!(x0;s0)d(!)exp(?Zs0 sdtV(!(t))) (78) 

(Feynman-Kac-Formel).DasPfadintegralerstrecktsichuberalleBrownschen \Ubergangsamplitude"undschreibenhierfursuggestiv Pfadevon(x;s)nach(x0;s0). WashieralsIntegralkernbezeichnetwurde,nennenmancheAutorendie 

werden,ohnedamanzueinemnumerischenVerfahrengreifenmu.Davon GewohnlicheeindimensionaleIntegralekonneninvielenFallenausgewertet hx0;s0jx;si:=e?(s0?s)H(x0;x) (79) 

tiondaseinzigemethodischeWerkzeug,umzukonkretenZahlenzugelangen. ExpliziteAusdruckefurPfadintegralesindeineRaritat,undschlimmernoch, nurselteningeschlossenerFormangebbar;hieristoftdienumerischeIntegra- 

zeugendieumfangreichenIntegraltafeln.MehrdimensionaleIntegralesind 

resPfadintegralerhaltmanfurdenFalldesharmonischenOszillatorsind Dimensionen(MehlerscheFormel).DieallgemeinublicheHerleitungmacht auchdienumerischenStandardverfahrenversagen.Eingeschlossenangebba- 

dieAbkurzung=k(s0?s)benutzend: MehlerscheFormelmitderPfadintegralmethodeherleiten.Dorterhaltenwir, jedochnichtvondemPfadintegralGebrauch,sondernbenutztdieOperatortechnik17.Furd=3undV(x)=12k2x2werdenwirimAbschnitt2.4die 

Z(x;s)!(x0;s0)d(!)exp(?12k2Zs0 sdt!(t)2) 

DieFormellaterkennen,da{wiezuerwartenwar{dielinkeSeiteals =2sinh3=2exp?k(x2+x02) 

k 2tanh+kxx0 sinh 

FunktionvoneineanalytischeFortsetzungindieHalbebene0gestattet.SingularitatentreenwirentlangderimaginarenAchse. 

17DieMethodeistinGlimm/JaeQuantumPhysics,Ch.1.5dargestellt. 

(80) 

46

Hhabeeinen(eindeutigennormierten)Grundzustand0(x)mitderEnergie nichterforderlich,jasogarhinderlich.EinBeispiel:derHamilton-Operator E0.DasubrigeSpektrumbeginnebeiE1>E0.Wirinteressierenunsfur FurmancheFragenistdieanalytischeFortsetzungzuimaginarenZeiten 

beidesdurchdasStudiumdesasymptotischenVerhaltenseinesPfadintegrals furgroereelleZeiten: dieGroevonE0unddieGestaltderWellenfunktion0(x).Wirgewinnen 

EineentsprechendeasymptotischeDarstellungexistiertnichtbeiBenutzung imaginarer(d.h.physikalischer)Zeiten. hx0;s0jx;si=0(x0)0(x)e?(s0?s)E0+O(e?(s0?s)E1) s0?s!1(81) 

Potential.Alsogiltinsbesondere dasPotentialvonobenbeschranktist;+1istjaeinzulassigerWertfurdas einenichtnegativeGroeist.SieistsogarstriktpositivindenBereichen,wo DieDenitiondesPfadintegralsgarantiert,dadieUbergangsamplitude 

Punkten,indenendasPotentialnichtdenWert+1annimmt.Diesalles furallex;x0.In(82)konnenwirdasZeichendurch>ersetzeninsolchen 0(x0)0(x)0 sagt,danachKorrekturdurcheinekonstantePhasesogar0(x)0gilt, genauer: 

InWorten: 0(x)=0 0(x)>0 falls V(x)=+1 V(x)

WennessoschweristPfadintegralezuberechnen,welcheVorteileundwelchenwissenschaftlichenWerthatdanndieDarstellungquantenmechanischer 

Groen,dienurdurcheinenExistenzbeweisundsonstnichtsgegebensind. GroendurchsolcheIntegrale?DerHauptvorteilliegtwohldarin,daIntegralesichbesserapproximieren,umformenundabschatzenlassenlassenalserMethodenstecktnochindenKinderschuhen.AufeinerGrorechenanlage 

neuartigenumerischeVerfahren(Monte-Carlo-Methoden)zuihrerAuswertungeinzusetzen.DiemathematischeAnalysedesKonvergenzverhaltensdie- 

NichtzuletzteronetdieDarstellungdurchPfadintegraledieMoglichkeit, 

konnensolcheVerfahrenjedochsehrezientsein,unddieLeistungsfahigkeit wirdsichinnaherZukunftbetrachtlichsteigernlassen,sodaesbaldBibliotheksprogrammefurquantenmechanischeRechnungenaufderBasisder 

BrownschenBewegunggebenwird. denMassenm1;:::;mnunterdemEinuvonRelativkraftenundaueren KraftenlassensichmitdergleichenMethodebehandeln.Ineinemsolchen chensineinemauerenPotentialdiskutiert.ProblemevonnTeilchenmit WirhabendieFeynman-Kac-FormelnurfurdenFalleineseinzelnenTeil- 

Fallgehtmanzweckmaigvoneinem,demProblemangepatenanisotropen 3n-dimensionalenWiener-Prozeaus,derzurDiusionsgleichung 

gehort.Hieristessinnvoll,denMultivektorx=fx1;:::;xngT2R3nund @@sf(x;s)=nXk=11 2miif(x;s) (87) 

eineMassenmatrixMdurch 

einzufuhren.DemSystemisteineinzigesPotentialV(x)undeinktives x TMx=nXk=1mkx2k 

BrownschenTeilchenin3nRaumdimensionenzugeordnet,dessenPropagator diefolgendeGau-Funktionist: KM(x;s)=detM2s12exp?xTMx 2s 

Zahl;wirkonntensiezuD=12normieren.AngesichtseinesProblemsvonn InunserenfruherenBetrachtungenwardieDiusionskonstanteDeineeinzige (88) 

nDiusionskonstanten(2mk)?1zutun.AnderauerenFormderFeynman- TeilchenerscheintDdurchdieMatrix12M?1ersetzt,undwirhabenesmit Kac-Formelandertsichjedochuberhauptnichts. 48

DieNutzlichkeitderFeynman-Kac-FormelsollanBeispielendemonstriert 3.4 werden.Zuerstzeigenwir,wiederOperatorformalismusderQuantenmechanikinderLageist,bestimmteFragen,dieinnerhalbderTheorieder 

BrownschenBewegungselbstentstehen,denitivzubeantworten.EinzweitesBespielsolldannerlautern,wieumgekehrtausdemPfadintegraleine 

ZweiAnwendungen 

3.5 interessanteUngleichungfurdieQuantenmechanikgewonnenwerdenkann. 

scheinlichkeitbestimmen,mitderesdieRaumzeit-Rohrejxja;s

normiertenEigenfunktionensind setzen.DerHamilton-OperatorH=?12+Vbesitzteinreindiskretes SpektrumbestehendausdenEnergiewertenEn`=122nà?2.Diezugehorigen n`m(x)=c?1=2 cn`=Za 0r2drj`(n`r=a)2 0n`j`(n`r=a)Y`m(;)jxj0.IhreNullstellenhabenwirmitn`bezeichnet: (n=1;2;:::;`=0;1;:::;m=?`m`;r;undsinddiePolarko- 

Wirsetzent=s0?sundgewinnensodieDarstellung j`(n`)=0 0

SieenthalteineVariantedesJacobischenThetafunktion.DiesesErgebnisist zuvergleichenmitderunbehindertenIrrfahrt: 

einerZeitspannetnochnichtabsorbiertwurde.StartetdasTeilchenamRand FolglichistPa(r;t)dieWahrscheinlichkeit,dadasBrownscheTeilchennach P1(r;t)=Zd3x0e?tH0(x0;x)=Zd3x0K(x0?x;t)=1 

klingtdieWahrscheinlichkeitexponentiellmitderZeitab,namlichwiee?t=, wobei=2(a=)2=1=E10dieLebensdauerdarstellt.Fureineallgemeine erreichtdieWahrscheinlichkeitbeifestemtihrMaximum.InjedemFall (r=a),sohatesuberhauptkeineUberlebenschance:Pa(a;t)=0.Furr=0 

DiusionskonstanteDerhaltenwirdieLebensdauer 

DieDiskussionlatzugleichdenallgemeinenSachverhalterkennen: =a2 2D (95) 

Problems. giedesGrundzustandeseineszugeordnetenquantenmechanischen einemGebietmitabsorbierendenRandernistdieinverseEner- 

DieLebensdauereinesBrownschenTeilchensfurdieBewegungin 

DieLosungeinesdynamischenProblems(Lebensdauer)ergibtsichsomitaus 

3.6 derLosungeinesstatischenProblems(Energie). 

WirbenotigeneinekurzeVorbetrachtungreinmathematischerArtuberkonvexeFunktionen. 

DieGolden-Thompson-Symanzik-Schranke 

51

EinereelleFunktionf(u)mitu2IRheitkonvexineinemIntervallI,wenn gilt: furalleu;u02Iund01.AusdiesereinfachenEigenschaftfolgtdurch Induktion f(u+(1?)u0)f(u)+(1?)f(u0) 

furalleui2Iund0i1,sodaPi=1.IndemwirvonSummenzu Integralenubergehen,erhaltenwirdieUngleichungvonJensen f(Xiui)Xif(ui) 

gultigfurjedeintegrierbareFunktiong:R+!Iundalles>0. f1sZs 0dtg(t)1sZs 0dtf(g(t)) 

HierdurchtritteinegewisseVereinfachungein: mandaringenauuberdiejenigenPfadeintegriert,dieimUrsprungbeginnen. Vektor?xistesmoglich,dieFeynman-Kac-Formelsozuschreiben,da DurcheineeinfacheTranslationallerPfade!:(x;0)!(x+a;s)umden 

e?sH(x+a;x)=Z(0;0)!(a;s)d(!)exp?Zs 0dtV(x+!(t)) 

UmdieUngleichungvonJensenanzuwenden,setzenwirf(u)=e?uund g(t)=sV(x+!(t)).Alsogilt (96) 

exp?Zs 0dtV(x+!(t))1sZs 0dte?sV(x+!(t)) 

genwertenEn,n=0;1;2;:::,dienach+1streben.EineGroe,dieunseine Nunwollenwirannehmen,daHeinreindiskretesSpektrumbesitztmitEi- 

(97) 

FunktiondieserEigenwerte),istdieSpurdesOperatorse?sH: kompletteAuskunftuberalleEigenwertegibt(gewissermaendieerzeugende 

ZugleichgiltSpure?sH=Rd3xe?sH(x;x).DiesesIntegralschatzenwirdurch Spure?sH=1Xn=0e?sEn 

hendenIntegrale: dieJensen-UngleichungnachobenabundanderndieReihenfolgederentste- 

Spure?sHZd3xZ(0;0)!(0;s)d(!)1sZs 

52 0dte?sV(x+!(t))

=Z(0;0)!(0;s)d(!)1sZs 0dtZd3xe?sV(x+!(t)) 

=K(0;s)Zd3xe?sV(x) 0dtZd3xe?sV(x) 

mitdemErgebnis 

(Golden-Thompson-Symanzik-Ungleichung).WirtestendieGutedieserSchrankeandemBeispieldesharmonischenOszillatorsH=?12+12k2x2.Die 

(s>0) (98) Spure?sH(2s)?3=2Zd3xe?sV(x) 

EigenwertesindE(n1;n2;n3)=(n1+n2+n3+3=2)k(ni0),soda 

AlsobereSchrankeerhaltenwirgema(98): Spure?sH=(1Xn=0e?(n+1=2)sk)3=[2sinh(sk=2)]?3 

Wiemansieht,beruhtdieGTS-UngleichunginderspeziellenSituationdes (2s)?3=2Zd3xe?sk2x2=2=(sk)?3 

harmonischenOszillatorsaufdersehreinfachenundoensichtlichenUngleichungusinhufuru=sk=2.DieSchrankewirdumsoschlechter,jegroer 

WeisedieImpulsvariablep2R3einfuhrt,kannmanderGTS-Ungleichung (98)eineuberraschendeneueFormgeben: sist. Indemman(2s)?3=2=(2)?3Rd3pexpf?12sp2gschreibtundaufdiese 

Spure?sH(2)?3Zd3pd3qe?s^H(p;q) 

Mad3pd3q.DurchWiedereinfuhrungvon~undh=2~entstehtdann mitderklassischenHamilton-Funktion^H(p;q)=12p2+V(q)unddemLiouville- (99) 

(sbesitztdieDimension(Energie)?1).DasdimensionsloseMah?3d3pd3q Spure?sHh?3Zd3pd3qe?s^H(p;q) 

mitdasPhasenraumvolumeneinesklassischenTeilchensinEinheitenvon (100) 

h3. 53

derEinfachheit.AngesichtseinesHamilton-OperatorsHfurnTeilchenmit denMassenmiunddemPotentialV(x)mitx=fx1;:::;xng2R3nbenutzen wirdieMassenmatrixM,wieaufSeite24eingefuhrt,unddenallgemeinen DievorstehendenBetrachtungengalteneinemeinzelnenTeilchenausGrunden 

e?sHeinSpurklasse-Operator,sogiltmitdemgleichenArgumentwieoben PropagatorKM(x;s)fureinBrownschesTeilchenin3nDimensionen.Ist 

mitdx=d3x1d3xn.IneinermehrexplizitenSchreibweise: Spure?sHKM(0;s)Zdxe?sV(x) (101) 

(verallgemeinerteGTS-Ungleichung).AuchinderallgemeinenSituation Spure?sHdetM2s12Zdxe?sV(x) 

konnenwirdieDeterminantedurcheinGau-Integralersetzen,umsodie (102) 

PotentialzurklassischenHamilton-Funktionerganztwird: kinetischeEnergieinErscheinungtretenzulassen,diesodanndurchdas Spure?sHh?3nZdpdqe?s^H(p;q) dpdq= nYi=1d3pid3qi (103) 

Vorsichtistgeboten,fallsessichhierbeiumnidentischeTeilchenhandelt. ^H(p;q)= nXi=1p2i 

DenndieSpurbeziehtsichimmeraufdenHilbertraumallerZustande,ohne 2mi+V(q1;:::;qn) (104) 

RucksichtaufEinschrankungen,dieunsderBose-oderFermi-Charakterder Teilchenauferlegt.BezeichnenwirmitSpure?sHdieSpurbezuglichdes Unterraumesallersymmetrischen(+)bzw.antisymmetrischen({)Zustande, sofolgtausderInvarianzvonHunterPermutationenderTeilchenvariablen undsomit Spure?H1 Spure?sHSpure?sH 

h3nZdpdqe?^H(p;q)=:^Zn() (106) (105) 

AnwendungeninderstatistischenMechanikhinzuweisen,beidenenTdie HierhabenwirsdurchdieVariable=(kBT)?1ersetzt,umaufmogliche RollederTemperaturubernimmt.DasW-Ma dn(p;q)=^Z?1 nh?3ndpdqe?^H(p;q) 54

denierteinenZustanddesklassischenVielkorpersystemsausnidentischen Teilchen,denmandaskanonischeEnsemblenennt.DieNormierungskonstante^Zn()istalsdieklassischeZustandssumme(engl.partitionfunction) 

bekannt.MandeniertauchquantenmechanischeZustandssummen: 

lichsindZustandssummeneingeeignetesHilfsmittelzurKonstruktionther- 

DieUngleichung(106)vergleichtalsoZustandsummenmiteinander.Bekannt- 

Zn;()=Spure?H (107) 

modynamischerFunktionen(alleKonstruktionen,dieaufderZustandssum- 

mebasieren,machenkeinenUnterschiedzwischenBose-,Fermi-undklassi- 

schenSystemen).WirdenierendiefreieEnergieFnunddiefreieEnergie proTeilchen,f,(auchHelmholtz-Energiegenannt)durch 

e?Fn;()=Zn;() e?^Fn()=^Zn() f=lim ^f=lim n!1n?1^Fn() 

underhaltendieUngleichungf()^f()alsFolgevon(106).EineanderefundamentalethermodynamischeFunktionistdieEntropieproTeilchen 

n!1n?1Fn;() 

Legendre-TransformiertederFunktionf()denierbar: s(E)inAbhangigkeitvonderEnergieE.SieistinallenSituationenalsdie 

s(E)=sup ^s(E)=sup fE?^f()g fE?f()g (108) 

AusderUngleichungfurdieHelmholtz-Energienfolgtschlielichs(E) (109) 

^s(E):SowohlfureinBose-alsaucheinFermi-GaswirddiequantenmechanischeEntropiedurchdieklassischeEntropiebeigleicher 

mussen.AlleAbschatzungendurchdieklassischenGroenwerdenumso UberdieNaturderWechselwirkunghabenwirnahezunichtsannehmen Energiemajorisiert. 

NahedesabsolutenNullpunktesspielenQuanteneektediegroteRolle. schlechter,jeniedrigerdieTemperaturTbzw.dieEnergieEist.Inder 

55

FormelzurstatistischenMechanikaufzuzeigen.Hierbeikommenklassische 3.7 UnserZielindiesemAbschnittwirdsein,dieBeziehungderFeynman-Kac- ZurstatistischenMechanikklassischerSpinsysteme 

feld.Der\Spin"jedocherweistsichalseinerechtungewohnlicheZustands- 

ferromagnetischeSpinsystemeaufeinemeindimensionalenGitterindasBlick- 

sindeindimensional,weilnurdieZeitachseineinsolchesGitterverwandelt variableundtragtdiesenNamennurausGrundenderAnalogiezuentspre- 

chendenModellenderFestkorperphysik.DiehierzudiskutierendenGitter wird. TeilstuckederLange,wieimAbschnitt2.2.1besprochen:s0?s=(n+1). UnserModellsolleinN-TeilchensystemmitderMassenmatrixMunddem PotentialVsein.Wirsetzen=fx1;:::;xNgT2R3NundbenutzenPfade AusgangspunktisteineAufteilungdesZeitintervalls[s;s0]inn+1gleiche 

einesktivenBrownschenTeilchensin3NDimensionenmitdemPropagator 

sodafurdieUbergangsamplitudegilt: KM(;s)=detM 2s12exp?TM 2s; (110) 

mitdenRandbedingungen0=;n+1=0 

h0;s0j;si=lim n!1ZdnZd1nYj=0KM(j+1?j;)e?V(j) (111) 

OhnePotentialerhaltenwirselbstverstandlich (112) 

DieGrundideeist,diein(111)enthalteneVorschriftn!1alsdenthermodynamischenLimes(=UbergangzueinemunendlichgroenVolumen)eines 

h0;s0j;si=KM(0?;s0?s) (113) 

interpretierenwirals\Zustandssumme"desendlichausgedehntenSystems. Spingittersaufzufassen,bestehendausden\Gitterpunkten"i=0;1;2;:::;n+ n+1auffesteWertegesetztsind.Das3nN-dimensionaleIntegralin(111) DasKonstruktionsprinzipwirdklarer,wennwir(111)andersschreiben: 1undbesetztmitden\Spinvariablen"i2R3N,wobeidieRandspins0und 

h0;s0j;si=lim n!1Ze?In(1;:::;n)nYi=1det?M 56 21=2di (114)

mit 

DurchdieSchreibweiseistbereitsangedeutet,dawirvialseinezeitlichdiskreteVersionderGeschwindigkeitdesBrownschenTeilchenszumZeitpunkt 

s+iauassen,demwirdaruberhinausdiekinetischeEnergie12vTiMvizuord- 

SinnestrebtdeshalbIngegendasZeitintegralderklassischenEnergieunseres Ausgangssystems, I(!)=lim n!1In=Zs0 

I n(1;:::;n)=nXi=012vTiMvi+V(i) vi=i+1?i (115) 

nen.ImLimesn!1strebtderZeitschrittgegenNull.Ineinemformalen 

pretieren.Esistunsjedochverwehrt,denLimesn!1anInselbstaus- 

zufuhren,weileintypischerPfadderBrownschenBewegungkeineAbleitung _!besitzt.ZudembesitztdasMa nYi=1det?M keinenLimes18furn!1.Esistalsowesentlichsicherer,anstelledesWir- 

21=2di 

undI(!)lieesichalsdieklassischeWirkungentlangdesPfades!inter- 

sdtf12_!(t)TM_!(t)+V(!(t))g; (116) 

kungsintegralseineWirkungssummeEnzudenieren,dieinjedemFallwohl- 

deniertist.Dawirdannabergenotigtsind,einenfestenZeitschritt(hier=1) zuwahlen,erweistessichalsnotwendig,einevariableKopplungskonstante einzufuhren: En()=n+1 

IndemwirnamlichXi=0V(i)+nXi=012(i+1?i)TM(i+1?i); (117) 

setzen,erzielenwirdieIdentitatnEn(n)=In+V(0).FurgroeWerte vonnistderZusatztermV(0)vernachlassigbar. ?1 n=1=2 n==s0?s n+1; (118) 

Spinvariableni.DerersteTermisteineSummeubergleichlautendeBeitrage terpretationgeben:En()seidieEnergieeinesktivenSpinsystemsmitden 18EsexistiertkeineAnalogondesLebesgue-Maes(d.h.keintranslationsinvariantes 

DemAusdruck(117)konnenundwollenwirjetzteinevolligneueIn- 

Ma)inRaumenunendlicherDimension.57

meuberdieGitterkantenaufgefatwerdenundbeschreibtdie\Zweikorper- 

krafte"desSpinsystems.WennmanvondenRandpunkten0undn+1des undGitterkantenkommen,uberallimGittergleich:dasunendlichausgedehnteSystemisttranslationsinvariant.DieseTatsachespiegeltdiezeitliche 

verlorengehen,wenndasN-KorperpotentialV()zeitabhangigware. HomogenitatdesquantenmechanischenAusgangssystemswiederundwurde 

TermdagegenstellteineSummeuberEnergiendar,beidenenjeweilszwei benachbarteSpinsbeteiligtsind.DieserTermkannfolglichalseineSum- 

derindividuellenSpins,alsoeineSummeuberdieGitterpunkte.Derzweite 

Gitterabsieht,sinddieBeitragezurEnergie,dievondenGitterpunkten 

unabhangigvomGitterpunkt{inderZustandssummeberucksichtigtwerden dasunssagt,mitwelchemGewichtdieverschiedenenWertedesSpins{ nichtvollstandig.WirbenotigennochdieVorgabedesa-priori-Maesd(), IndessenistdieBeschreibungdesSpinsystemsdurchAngabederEnergien 

sollen.Esliegtnahe,hierfurdasLebesgue-Mazuwahlen,d.h.wirsetzen d()=d.DieZustandsummeunterdenRandbedingungen(112)hatjetzt dieForm 

DiesistnachEinsetzenvonnundnschonfastderAusdrucklinksin (114).Eristlediglichandersnormiert.VolligeGleichheitentsteht,wennwir Zn(;;;0)=Ze?En()nYi=1di (119) 

(113)underhalten denQuotientenzweierUbergangsamplitudenbilden,indemwireinmaldas gewunschtePotentialV,zumanderenV=0einsetzen.Sodannbeachtenwir 

h0;s0j;si=KM(0?;s0?s)lim n!1Zn(n;n;;0) Zn(n;0;;0) (120) 

DieUbergangsamplitudewirdbeidieserVorschriftdurcheinenthermodynamischenLimesaneinemSpinsystemkonstruiert,beidemabergleichzeitig 

dieParameterundvolumenabhangiggewahltwerdenmussen,damitder LimesdasGewunschteleistet.ZwarwurdedieFormel(120)auseinemPfadintegralherausentwickelt,derendgultigeAusdruckvermeidetjedochdas 

wirdasN-Korperproblemverknupfthaben,nocheinemalvorAugen,sostellenwirfestmusḢaltenwirunsdiewichtigstenAussagenuberdasSpinsystem,mitdem 

PfadintegralundbenutztanseinerStelledenthermodynamischenFormalis- 

58

1.DasSpinmodellbesitztnureineNachste-Nachbar-WechselwirkungzwischendenSpins,namlichdieEnergie?TiMi+1.AlleanderenAnteile 

2.DasSpinmodellisttranslationsinvariantundgehortzurKlassederferromagnetischenModelle;denndieMassenmatrixMistgrundsatzlicschendemSpinandemeinenEndeund0andemanderenEndedes 

Gittersinterpolieren. 

derEnergiesindlokalerNatur,d.h.siehangennurvonjeweilseinem Gitterplatzab. 

Siemussenallerdings,durchdieRandbedingungengezwungen,zwi- 

positiv.BenachbarteSpinstendierendazu,sichparallelauszurichten. 

0= J] JJJq 1 BMBBBq 

2 

0 1 2q6 

... n?1 

n?1n q6 qn n+1 q n+1=0 

EindimensionaleModelledieserArthabenihrenkritischenPunktbeider TypischeKongurationeinerferromagnetischenSpinkette 

TemperaturNull(=1).DeshalbgibtesinihnenkeinenPhasenubergang struktionderquantenmechanischenUbergangsamplitudestrebtdasSpinmo- 

dellgegenseinenkritischenPunkt.NurdortbestehtdieAquivalenzbeider Modelle.DerGrenzprozeistauerstdelikat.DenndreierleiDingepassieren imeigentlichenSinne.Nungiltlimnn=1,unddiesbedeutet:BeiderKon- 

aufeinanderabgestimmt,dasiedieQuantenmechanikdesN-Korpersystems ergeben. und(3)dieKopplunggehtgegenNull.DiesedreiGrenzprozessesindso gleichzeitig:(1)dasGitterwirdunendlichgro,(2)strebtnachUnendlich 

UmdieTragfahigkeitderimvorigenAbschnittdargestelltenIdeenzudemonstrieren,wollenwirjetztalseinBeispieldenharmonischenOszillator 

3.8 VondenSpinsystemenzurMehlerschenFormel 

H=?12+12k2x2.IhmentsprichteinSpinsystem,dessenZustandssummefureinGitterf0;1;:::;n+1gderLangen+1ein3n-dimensionales 

indreiDimensionenmitderneuenMethodebehandelnundsetzenalso 

59

Zn(;;x;x0)=Zd3x1Zd3xne?En() GauischesIntegralist: 

En()=12nXi=0(xi+1?xi)2+12k2n+1 Xi=0x2i (x0=x;xn+1=x0) (121) 

mitx=fx1;:::;xngTunda=fx;0;:::;0;x0gT.Diehierbeiauftretende 3n3n-MatrixQlatsichaufeinfacheWeisedurcheineahnlichgestaltete =12xTQx?aTx+12(1+k2)aTa (x;a2R3n) (122) 

nn-MatrixRunddie33-Einheitsmatrix1ausdrucken:Q=R1. 

Q= 0 B@ 2c1?1 ?12c1... ......?1 ?12c1 1 CA R= 0 B@ ?12c... 2c?1 ......?1 ?12c 1 CA 

gestalten. ueingefuhrt,mitdessenHilfediefolgendenFormelnsichbesonderseinfach Hierhabenwirc=coshu=1+12k2gesetztunddadurcheinenParameter EsisteineelementareAufgabe,dasGauischeIntegralauszufuhren: 

FurdiedarinauftretendeDeterminantegiltoensichtlich Zn(;;x;x0)=detQ 2?1=2expf?12aT(2c?1?Q?1)ag (123) 

EsbleibtdasProblem,dn:=detRzubestimmen.EntwickelnwirdieDeter- 

detQ 2=23n(detR)3 

minantevonRnachderletztenZeile,sogelangenwirzudemRekursions- 

schema 

stantenaundbwerdendurchdiebeidenAnfangsbedingungenbestimmt: DieDierenzengleichungwirddurchdn=aenu+be?nugelostunddieKon- 

d0=1;d1=2coshu; dn+1+dn?1=2dncoshu (124) 

DiesfuhrtzuderLosung a+b=1 aeu+be?u=2coshu d n=detR=sinh(n+1)u 60sinhu 

(125)

Weiterwirdvonunsverlangt,denVektory=Q?1azubestimmen.Wirlosen zudiesemZweckdasGleichungssystemQy=aaquivalentmit 2ykcoshu=8

n:=(n+1)(s0?s)?1und=n:=(n+1)?2(s0?s)2gesetztwird.Mit =k(s0?s)kannmandasVerhaltenvonu;vundwfurgroeWertevonn bequemschreiben: 

ManerhaltalsofurdasVerhaltnisderbeidenZustandssummen: (n+1)u! (n+1)v! tanh (n+1)w! sinh 

n!1Zn(n;n;x;x0) limZn(n;0;x;x0)=h 

sinhi3=2expn?k(x2+x02) expn?k(x?x0)2sinho 2tanh+kxx0 

DasErgebnishatmannurnochmitK(x0?x;s0?s)zumultiplizieren,um 2o (130) 

dieUbergangsamplitudedesharmonischenOszillatorszuerhalten: hx0;s0jx;si= k(s0?s)= 2sinh3=2exp?k(x2+x02) k 2tanh+kxx0 sinh 

(MehlerscheFormel).DiesesResultatwurdevonunsbereitsfruher(siehe (2.24))zitiert. EsistnichtohneInteressezuerfahren,welchefreieEnergieproGitterplatzdasSpinsystembesitzt.DieRechnungdazuistdenkbareinfach: 

(131) 

(2sinh(u=2)=1=2k>0).DiefreieEnergieisterwartungsgemaunabhangig f(;)=?lim n!1(n)?1logZn(;;x;x0)=32?1u+log2 

vondenRandbedingungen(unabhangigvonxundx0).ImGrenzfallverschwindenderKopplungndenwir: 

(132) 

WirkonnensieausderfreienEnergiedurcheinenGrenzprozegewinnen: DieGrundzustandsenergiedesquantenmechanischenOszillatorsistE0=32k. f(;0)=32?1log2 (133) 

EinVergleichderFormeln(2.25),(2.64)und(2.76)lehrt,dadieseRelation E0=lim 2!1 !1 !0 f(;)?f(;0) (134) 

nichtaufdenharmonischenOszillatorbeschrankt,sondernallgemeinerNatur ist. 62

4DieKontinuumsformulierung 

EuklidischeFeldtheorie: 

verstehennochverdienen.Wirsollten wunderbaresGeschenk,daswirweder sichalsuberalleMaeneektiv,ein DieSprachederMathematikerweist 

dafurdankbarseinundhoen,dasie auchbeizukunftigenForschungenihreGultigkeitbehaltunddasiesich 

{inFreudundinLeid,zuunserem VergnugenwievielleichtauchzuunsererVerwirrung{aufvieleWissenszweigeausdehnt. 

4.1 DaseuklidischeFeldkannkeinOperatorfeldsein E.Wigner(1960) 

FureinenVektorxdesMinkowski-RaumesM4schreibtmannachWahleines Koordinatensystemsx=fx0;x1;x2;x3g=fx0;xgunderhalteinekonkrete Formfurdiepseudo-euklidischeStrukturvonM4,indemmansetzt: SeitderEntdeckungderBedeutungdieserStrukturfurdiePhysikdurch LorentzundPoincareundderAusformungderTheoriedurchEinsteinund x2=(x0)2?(x1)2?(x2)2?(x3)2=(x0)2?x2 

MinkowskihabensichdiePhysikerimmerwiederdavonfaszinierenlassen, wieleichtmandurcheineeinfacheErsetzungix0!x4diepseudo-euklidische manvonVektorenx=fx1;x2;x3;x4g=fx;x4g2E4ausgeht,furderen StrukturineinegewohnlicheeuklidischeStrukturverwandelnkann,beider Normquadratmannunschreibt: BisaufeinVorzeichenstimmenx2undx2uberein,undderunmittelbarer VorteildereuklidischenFormulierungliegtaufderHand:Manmunicht x2=(x1)2+(x2)2+(x3)2+(x4)2=x2+(x4)2 

mehrzwischenko-undkontravariantenKomponentenunterscheiden,soda x=xfur=1;:::;4gilt.Indessen,dieErsetzungistreinformalundhat eherdenCharaktereinesSpielesmitgezinktenKarten.DieRaumeM4und E4sindverschieden,undesgibtkeinesinnvolleWeisesiezuidentizieren. komplexeVariablez=x4+ix0zubetrachten{wirhabendiesenStandpunktbereitsimAbschnitt1.3vertretenundmitErfolgangewandt{,wobei 

DieAngelegenheiterhieltneuenAuftrieb,alsmanlernte,dieZeitalsein 

63

x0weiterhindieRollederanthropischenZeitubernimmt:dasistdieZeit, mieden,vonderphysikalischenZeitusprechen,weildieserBegriunklar benutzen,eineFormderAnschauungalsoimSinnevonKant.Hieristver- 

diewirMenschenzurBeschreibungunsererUmweltundderVorgangedarin 

einerphysikalischenTheoriedieZeitalseinekomplexeVariableeinzufuhren. Diesistimmerdannsinnvoll,wennesderVereinfachungdientoderdieFormulierungeinerkonsistentenTheorieuberhaupterstermoglicht.Schreiben 

undmoglicherweisekontextabhangigist.SohabenwiretwadieFreiheit,in 

ist.SieistabernichtsdestowenigereinephysikalischeVariabledieserTheorie19. 

Esseinun(x)irgendeinOperatorfelduberdemMinkowski-Raum,z.B. Kontinuums,weilsiederunmittelbarenmenschlichenAnschauungentzogen wirdannz=x4+ix0,soistx4eineverborgeneVariabledesRaum-ZeiteinSkalarfeld.Danngilt(x0;x)=eix0H(0;x)e?ix0H 

wobeiHderHamilton-OperatorderTheorieist.EinenaiveundindieIrre fuhrendeIdeeist,hierindieErsetzungix0!x4vorzunehmen,umsozu (135) 

einemeuklidischenFeld(x)zugelangen: 

ZwargiltH0,jedochistHnachobenunbeschranktundwirhabendas folgendeDilemma:giltx4>0,soistderOperatorex4Hnichtdeniert;gilt (x;x4)=ex4H(x;0)e?x4H (136) 

x40.DaindieserDarstellungsowohlpositivewienegative 2!a(p)e?ipx+by(p)eipx ; (137) 

EinfuhrungeinerkomplexenZeitnureinen\mathematischenTrick"darstellt,dazuersonnen,umeinigeRechnungen(Pfadintegrationenetc.)ausfuhrenzukonnenundumFormeln 

19IchmochteganzentschiedenderoftgeauertenAuassungentgegentreten,dadie einenSinnzugeben,diesonstundenierbarblieben.Dashiee,solcheRechnungenund 

undexp(?x4H)zugleichbesitzen,wennHunbeschranktist. dieihnenzugrundeliegendeTheoriehattennureinenformalenCharakter,undallesbliebe nureinunverbindlichesmathematischesSpiel. traumdeniertundbeschrankt.DieseEigenschaftkonnennichtdieOperatorenexp(x4H) 20GemeintistdasFolgende.DerunitareOperatorexp(ix0H)istuberallaufdemHilber- 

64

mitreellemx4vorzunehmen.DennentwederwirddadurchderersteTeildes scheFeldalseinOperatorfeldindieFeldtheorieeinfuhrenzukonnen,soda Integralssinnlos(furx40). esmitseinemPartner,demFeldinderMinkowski-Darstellung,durcheine analytischeFortsetzunginderZeitverbundenist.Nichteinmaldiewohlver- 

DiekurzeDiskussionhatgezeigt,damannichthoenkann,daseukliditrautenfreienFelderlassensichinnaturlicherWeisezuanalytischenFunktionenvoneinerkomplexenVariablenz=x4+ix0erweitern21.Dienachsten 

AbschnittewerdendieFragebeantworten,wiewirdaseuklidischeFeldnun wirklichaufzufassenhaben.DabeihabenwirdieWahlzwischenzweiMoglichkeiten: 

DaseuklidischeFeldisteineZufallsvariable,oderbesser,einZufallsfeld, 

DaseuklidischeFeldistdieverallgemeinerteSpinvariableeinesvierdi- 

alsoeinverallgemeinerterstochastischerProze.DiessolldiestochastischeAuassunggenanntwerdenmensionalenferromagnetischenGittermodels.DamitwirdesalseinSystemderstatistischenMechanikamkritischenPunktbetrachtet.Dies 

InabgewandelterFormbegegnetenunsbeideAuassungenbereitsimKapitel wollenwirdiestatistischeAuassungnennen. 2imZusammenhangmitderFeynman-Kac-Formel.DiePfadintegralmetho- 

vonFeynmanundKacfuhrtunsaufdieFunktionalintegralederFeldtheorie. eineDiskretisierungdesPfadintegrals.EineVerallgemeinerungdesAnsatzes stischeAuassung,d.h.dieBeschreibungdurchSpingitterentstanddurch destandfurdiestochastischeAuassungderQuantenmechanik.Diestati- 

AuchdieseIntegralehabeninR.FeynmanihrengeistigenVater. 4.2 DieanalytischeFortsetzungdesMinkowski-FeldeszueinemeuklidischenFeld kannnichtgelingen.UnsereAbsichtistvielmehr,VakuumerwartungswerteeinesProduktesvonFeldoperatoren{diesog.n-Punktfunktionen,oder 

Wightman-Funktionen{analytischfortzusetzen.Diesogewonneneneuklidi- 

DieeuklidischeZweipunktfunktion 

theorie,sondernumMittelwerteimSinneder(kommutativen)Wahrschein- 

lichkeitstheorie. 21Konkret:ErwartungswertederForm(;(x))mitausdemDenitionsbereichdes handeltessichallerdingsnichtumErwartungswerteimSinnederOperatorschaften,dieeserlauben,siewiederalsErwartungswertezudeuten.Hierbeschenn-Funktionen,diesog.Schwinger-Funktionen,habenbesondereEigen- 

Operatorfeldessindi.allg.nichtanalytischinderZeit. 65

dasfolgendeArgumentaufalleFelder,dieEichfeldereingeschlossen,zutrit. DieZweipunktfunktionW(x?y)=(;(x)(y)) 

kretzubleiben,konntemanhierbeianeinreellesSkalarfelddenken,obwohl Essei(x)irgendeinOperatorfelduberdemMinkowski-Raum.Umkon- 

x?yabundkannalsein\Matrixelement"desEvolutionsoperatorse?itHmit hangtwegenderTranslationsinvarianzdesVakuumsnurvonderDierenz (138) 

vornehmen,konnenwirvereinfachendschreiben: t=x0?y0aufgefatwerden.IndemwirdieErsetzungx!12x,y!?12x 

inx1;x2;x3,warum?)besitzt.FurdieanalytischeFunktionbenutztmanein Hierdurchwirdklar,daW(x)eineanalytischeFortsetzunginx0(nichtaber W(x)=((0;12x);e?ix0H(0;?12x)) (139) 

neuesFunktionssymbol, 

undkannsomitbehaupten,dadieursprunglicheFunktionW(x)Randwert S(x;z)=((0;12x);e?zH(0;?12x)) z=x4+ix0 x4>0; (141) (140) 

eineranalytischenFunktionist: 

chevielerSchwierigkeitenderMinkowski-FormulierungderFeldtheorieist. DieseRandwerteexistierennurimSinneeinerDistribution,wasdieUrsa- 

W(x0;x)=lim x4#0S(x;x4+ix0) 

senPunktengewinnenwirdienicht-singulareeuklidischeZweipunktfunktion HingegenliegendiereellenPunktez=x4>0imAnalytizitatsgebiet.Indie- 

S(x)=S(x;x4)(Schwinger-Funktion).EineSingularitathabenwirallenfalls zuerwarten,wennx4gegenNullstrebt.Tatsachlichbegegnenwirdorteinem Pol,sobaldx=0ist. derKlein-Gordon-Gleichung.DieZweipunktfunktioneinessolchenFeldesist Beispiel.(x)seieinreellesSkalarfeldderMassem,mithineineLosung 

(!=pm2+p2),undsomitndenwir W(x)=+(x;m)=1 (2)3Zd3p 2!ei(px?!x0) (142) 

S(x;m)=1 (2)3Zd3p 66 2!eipx?!x4 (143)

AllerdingsgiltdieseDarstellungnurfurx4>0.WirwunschenunsdieDarklidischenZweipunktfunktionoenbart.Diesgelingtso.ZunachstfuhrenwistellungdurcheinvierdimensionalesIntegral,dasdieO(4)-Invarianzdereu- 

eineneuklidischenImpulsp=fp1;p2;p3;p4g=fp;p4gein,furdessenQuadratwirp2=P(p)2schreiben.Sodannbehauptenwir: 

Lemma 

Beweis.BetrachtedieFunktionf(u)=(u2?!2)?1e?ux4.Sieistanalytisch 2!e?!x4=1 1 2Z1 ?1dp4eip4x4 

inderHalbebeneu=p0?ip4,p0>0mitAusnahmederStelleu=!, p2+m2 (144) 

Residuensatz: (siehedieAbbildung)inderkomplexenu-Ebene,soerhaltenwirnachdem wof(u)einenPolbesitzt.Integrierenwirnunf(u)entlangdesWegesC 

2iZCduf(u)=Resu=!f(u)=1 1 2!e?!x4 

?ip4 (145) 

s! -C 

p0 

durfenalsodenIntegrationswegsodeformieren,daerparallelzurimaginarenAchseimAbstandp0verlauft,falls0

habenwirendgultig:S(x;m)= 

FuhrenwirschlielichdaseuklidischeProduktpx=Ppxein,so 

(2)4Zd4pexp(ipx) 1 

MankannaberauchS(x;m)durchdiemodizierteBesselfunktionK1ausdrucken: 

p2+m2 (146) 

DieFormel(146)zeigteineaualligeVerwandtschaftzwischenderSchwinger- S(x;m)=(2)?2mjxj?1K1(mjxj)m>0 

FunktionS(x;m)undderFeynman-Funktion (2)?2jxj?2 m=0 jxj=px2(147) 

F(x;m)=1 (2)4Zd4pexp(?ipx) 

durcheineanalytischeFortsetzunginderEnergieauseinanderhervorgehen: einerMinkowski-Feldtheorie.Manmachtsichschnellklar,da?p2undp2 p2?m2+i0 

BilduberdieWeise,wieWightman-FunktionenundFeynman-Funktionen miteinanderverknupftsind,ohnedadabeivondermehrdeutigenVorschrift dieanalytischeFortsetzungvon~S(p;m).Insgesamterhaltenwirdasfolgende dieFourier-Transformierte~F(p;m)ist{abgesehenvoneinemVorzeichen{ 

derZeitordnungGebrauchgemachtwird: Wightman-Funktion imOrtsraum analyt.F. Schwinger-Funktion imOrtsraum 

Feynman-Funktion analyt.F. Schwinger-Funktion x?yFourier-Tr. 

WirnotiereneinigeEigenschaftenderSchwinger-Funktion: imImpulsraum ! 

1.ObwohldieFunktionS(x;m)nurfurpositiveZeiten(x4>0)deniert imImpulsraum 

wurde,konnenwirsiezueinersymmetrischenFunktionaufdergesamtenreellenZeitachseerweitern.HierbeiwirdallerdingsderUrsprung 

deseuklidischenRaumeszueinemsingularenPunkt.InderNahediesesPunktesverhaltsichdieFunktionwie1=x2.DieSingularitatist 

integrabel. 68

3.DieSchwinger-FunktionistinvariantuntereuklidischenRotationen. 2.DieSchwinger-Funktionistreellundpositiv.EbensoistdieFourier- Transformiertereellundpositiv. 

4.S(x;m)istdieGreenscheFunktionfurdenDierentialoperator?+ lungen). DieGruppeO(4)trittandieStellederLorentz-Gruppe(mitSpiege- 

m2,d.h.esgilt wobeidenvierdimensionalenLaplace-Operatorbezeichnet.DieeuklidischeFormulierunghatunshiereinenelliptischenDierentialoperator 

(?+m2)S(x;m)=4(x) (148) 

nunkeinei-VorschriftmehrzurInvertierungvon?+m2:derinverse OperatoristeindeutigundbesitztdenIntegralkernS(x?x0;m). beschert;derKlein-Gordon-Operatorwarhyperbolisch.Wirbenotigen 

5.DieSchwinger-FunktionzerfalltexponentiellfurgroeAbstandevom Ursprung(fallsm>0): 

InsbesondereexistiertdasIntegralRd4xS(x;m)=m?2. S(x;m)! (2mjxj)3=2expf?mjxjg m2=2 jxj!1 (149) 

4.3.1Dien-Punktfunktionen InderMinkowski-FormulierungkanneinreellesSkalarfeld(x)durchdie 

DasfreieeuklidischeSkalarfeld 

Gesamtheitseinern-Punktfunktionen(Wightman-Funktionen) 

deniertwerden.DerOperatorcharakterdesFeldesunddiequantenmechanischeNaturderTheorieauertsichin[(x);(x0)]6=0.AusdiesemGrunde 

Wn(x1;:::;xn)=(;(x1)(xn)); (150) 

sinddieWightman-FunktionennichtsymmetrischunterPermutationenihrer Argumente:dieserschwertdieKonstruktioneineserzeugendenFunktionals, ausdemsiegewonnenwerdenkonnten. allerseiner-Funktionen(GreenschenFunktionen) EineandereWeise,dasFeldzudenieren,geschiehtdurchdieAngabe n(x1;:::;xn)=(;T((x1)(xn))) 69 (151)

DieseFunktionensindsymmetrischundbesitzendaserzeugendeFunktional 

mit(j)=Rd4x(x)j(x)undj(x)reell.Handeltessichdabeiumeinfreies F(j)=(;Texpfi(j)g)=1+1Xn=1in n!(;(j)n) (152) 

FeldderMassem,soistdaserzeugendeFunktionalbereitsvollstandigdurch dieerstenbeiden-Funktionen,1(x)=(;(x))=cund2(x;y)= iF(x?y;m),bestimmt22: logF(j)=icI(j)?12iF(jj;m) I(j)=Zd4xj(x) (153) 

der-FunktioneninderfolgendenArt: Furc=0istdieseCharakterisierungaquivalenteinerrekursivenDenition F(jj;m)=Zd4xZd4yj(x)F(x?y;m)j(y) (154) 

n(x1;:::;xn)=n?1 2(x1;x2)=iF(x1?x2;m) 1(x1)=0 

(DerHutûbereinerVariablenbedeutet:dieseVariablewurdeeliminiert). Xk=1n?2(x1;:::;^xk;:::;xn?1)iF(xk?xn;m)(155) 

FurdieWightman-FunktionenexistierteinSchemaahnlicherArt: 

Wn(x1;:::;xn)=n?1 W2(x1;x2)=+(x1?x2;m) W1(x1)=0 

DiesenFormelnentnimmtman,daWneineanalytischeFortsetzunginallen Xk=1Wn?2(x1;:::;^xk;:::;xn?1)+(xk?xn;m)(156) Zeitvariablenx01;:::;x0nbesitzt,weildie+-FunktioneinesolcheFortsetzunggestattet.WirkonnensomitzukomplexenVariablenzk=x4k+ix0k 

derpunktiertenkomplexenEbeneCnf0gubergehen.IndenreellenPunkten deszugehorigeneuklidischenFeldes: zk=x4kerhaltenwirdanndien-Punktfunktionen(Schwinger-Funktionen) 

22SiehedasKapitel6.6derVorlesungQFTI. Sn(x1;:::;xn)=Wn(x1;:::;xn)ix0k!x4k (157) 

70

FurdieeuklidischenFunktionenexistiertsomitdasRekursionsschema 

Sn(x1;:::;xn)=n?1 S2(x1;x2)=S(x1?x2;m) S1(x1)=0 

undausS(?x;m)=S(x;m)folgt,daSchwinger-Funktionengrundsatzlich Xk=1Sn?2(x1;:::;^xk;:::;xn?1)S(xk?xn;m)(158) 

TatsachegibtunswiederumdieMoglichkeit,dieGesamtheitderFunktionen symmetrischsindgegenuberPermutationenihrerArgumente.Diesewichtige SnauseinemerzeugendenFunktionalabzuleiten(wirerlaubenwiederc6=0): logSffg=icI(f)?12S(ff;m) I(f)=Zd4xf(x) (159) 

S(ff;m)=Zd4xZd4yf(x)S(x?y;m)f(y) 

Sffg=1+1Xn=1in =(f;(?+m2)?1f) n!Zd4x1Zd4xnSn(x1;:::;xn)f(x1)f(xn) (160) 

AuchhiersollfwiedereinereelleFunktionsein.MannenntSffgdas Schwinger-FunktionaldeseuklidischenFeldes.DaS(ff;m)0gilt(und =0nurfurf=0),istSffgeinGauischesFunktional. 4.4 alsKorrelationsfunktionenimSinnederStochastikzudeuten.DieIdeeist Dadieeuklidischenn-Punktfunktionensymmetrischsind,istesmoglich,sie DiestochastischeInterpretation 

gilt:h(x)i=c also,daseuklidischeFeld(x)alseineZufallsvariableeinzufuhren,soda 

scheinlichkeitstheoriegemeint.AllehoherenKorrelationsfunktionenh(x1)(xn)i MithiwaredannderMittelwertoderErwartungswertmSinnederWahr- 

h(x)(y)i?h(x)ih(y)i=S(x?y;m) (161) 

lieensichdarausrekursivberechnen.EineSchwierigkeithatdieseAuassungjedoch:FallsinderFormel(161)x=ygesetztwird,erhaltenwirden 

singularenAusdruckS(0;m)=1.Wirsind,ahnlichwieinderOperatorfeldtheorie,auchhiergezwungen,einGlattungsverfahrenanzuwenden,um 

demeuklidischenFelddensingularenCharakterzunehmen. 71

alsdieeigentlichenZufallsvariablen.DieseAuassungzeigtkeinerleiProbleme,KorrelationsfunktionenderArth(f1)(fn)isindwohldeniert. 

WirwahlenalsoeinengeeignetenRaumvonTestfunktionenf:E4!R undbetrachtennunmehrnurnochdieintegriertenGroen(f)=Rd4x(x)f(x) 

wicklungderExponentialfunktionkonnendieKorrelationsfunktionenn-ter Grund:dieSingularitat1=x2istinvierDimensionenintegrabel.DurchEnt- 

OrdnungausdemerzeugendenFunktional 

gewonnenwerden.UnsereVorschriftenerlaubendieBerechnungvonbeliebigenKorrelationen,wirkennenjedochnochnichtdiezugrundeliegenden 

loghexpfi(f)gi=icI(f)?12(f;(?+m2)?1f) (162) 

mitdemeuklidischenFeldverknupftenn-dimensionalenGauischenVerteilungen.WirsetzenzurVereinfachungc=0.DieallgemeineSituationc6=0 

latsichimmerdurcheineeinfacheTranslationdesFeldesdarausherstellen. variierendenreellenParametert.WirerhaltensodieDarstellung DerFalln=1.ImerzeugendenFunktionalersetzenwirfdurchtfund 

Verteilungen(W-Mae).UnsernachstesZielistdeshalbdieKonstruktionder 

mita=(f;(?+m2)?1f);istdasgesuchteW-Ma,dasdieVerteilung hexpfit(f)gi=e?at2=2=Zd()eit 

der\Mewerte"von(f)beschreibt.DiemoglichenWerte,diedieseZufallsvariableannehmenkann,liegenaufderreellenAchse,weilwirvoneinem 

reellenSkalarfeldausgingen.DieoensichtlicheLosunglautet: 

(163) 

DieKonstanteaubernimmthierbeidieRollederVarianzderVerteilung. d()=d(2a)?1=2e?(2a)?12 

Pnk=1tkfkmitlinearunabhangigenTestfunktionenfkundvariierendiereellenParametertk: 

hexpfiPktk(fk)gi=exp(?12nX j;k=1tjtkajk) DerallgemeineFall.ImerzeugendenFunktionalersetzenwirfdurch (164) 

(fj;(?+m2)?1fk)=ajk (165) 

EsseiAdienn-MatrixmitdenElementenajk.Sieistsymmetrischund striktpositiv(0istkeinEigenwert);dennesgiltPtjtkajk=(f;(?+ (166) 

m2)?1f)0,unddieserAusdruckverschwindetnurfurf=0,alsofur tk=0,weildasSystem(fk)linearunabhangigvorausgesetztwar.Mit 72

en,daswirausderGleichung DiegemeinsameVerteilungdieserWertewirddurcheinW-Mabeschrie- 

1;:::;nbezeichnenwirdiemoglichen\Mewerte"von(f1);:::;(fn). 

zubestimmenhaben.EineFourier-TransformationlostdasProblem,undwir nden(beachtedetA>0): hexpfiPtk(fk)gi=Rd(1;:::;n)expfiPtkkg (167) 

Ergebnis:allen-dimensionalenVerteilungensindGauisch. d(1;:::;n)=[det(2A)]?1=2exp(?12nX 

FassenwirdenInhaltdervorstehendenmathematischenAnalyseinWorte j;k=1jk(A?1)jk)nYk=1dk(168) 

undstellendieallgemeineSituationc6=0wiederher,sokonnenwirsagen: DasfreieeuklidischeFeld(x)isteinverallgemeinerterGau- ProzeuberdemeuklidischenRaumE4mitdemMittelwerth(x)i= c(Kondensat)undderKovarianz 

DiehierinangesprocheneVerallgemeinerunggeschiehtaufzweiWeisen: (euklidischerPropagator). h(x)(y)i?h(x)ih(y)i=(?+m2)?1(x;y)=S(x?y;m) 

1.DieHalbachseR+,dienormalerweiseindieFormulierungeinesstochastischenProzessesalswesentlichesStrukturelementeingehtundinhaltlichalsdieSZeitnterpretiertwird,istindereuklidischenFeldtheorie 

2.DiesingulareNaturdesFeldesmachtesnotwendig,nurdiemitTest- 

ersetztwordendurchdenRaumE4. funktionenfintegriertenGroen(f)alsdieeigentlichenZufallsva- 

riablenaufzufassen.Esistbequem(nichtzwingend)fausdemRaum 

undf7!(f)diezugehorigelineareAbbildungvonTestfunktioneninZufallsvariablen.SchlielichexistiereeinlinearerOperatorK,soda 

AllgemeinerSprachgebrauch:Essei(x)einverallgemeinerterGau-Proze S(E4)(Schwartz-Raum)zuwahlen. 

Kovarianzoperator.ManerzieltsomiteinesinnvolleVerallgemeinerungdes dieKovarianzdesProzessesist(fundgsindbeliebig).DannheitKder h(f)(g)i?h(f)ih(g)i=(f;Kg) (169) 

BegrisderKovarianzmatrixeinerstochastischenVariablenmitWertenim Rn.DerProzeheitzentriert,fallsh(f)i=0furallefgilt.DerKovarianzoperatordeseuklidischenFeldesist(?+m2)?1.DasFeldistzentriert, 

wenndasKondensatverschwindet:c=0. 73

oneinesFunktionalintegralsspeziellerArt,mitdessenHilfedasSchwinger- 4.5 DieUberlegungendesvorigenAbschnittesgebenAnlazuderKonstrukti- 

GauischeFunktionalintegrale 

nutzen,demRaumS(E4)angehoren.Diesisteinreell-linearerRaum.Die ElementedesDualraumesS0(E4)heienDistributionen.JedeDistribution einbaren,dadiezulassigenTestfunktionen,diewirfurdieGlattungbe- 

FunktionaldesfreieneuklidischenFeldesausgedrucktwerdenkann.Wirver- 

,indenenwirdieVerallgemeinerungderBrownschenPfadeerkennen.Die 2S0(E4)istsomiteinlinearesFunktional(f)=Rd4x(x)f(x),dasje- 

typischeDistributionistnichteinerglattenFunktionaquivalent.Ahnliches demf2S(E4)einereelleZahlzuordnet.DaszukonstruierendeFunktional- 

integralistvomGauischenTypunderstrecktsichuberalleDistributionen galtfurdieBrownschenPfade.UndnunzurKonstruktionselbst. seinDualraum,denwirunsalsTeilraumvonS0(E4)denken.NachWahl einerBasis(fk)k=1;:::;ninF,sodajedesf2FalsPnk=1tkfkdarstellbar ist,konnenwirdiereellenKoeziententkalsdieKoordinatendesVektorsf EsseiFeinbeliebigern-dimensionalerUnterraumvonS(E4)undF0 

auassen.EsexistiertdannimmereinedualeBasis(f0k)k=1;:::;ninF0,soda kundf2FmitdenKoordinatentkfolgt:(f)=Ptkk.DieFourier- Zerlegung f0j(fk)=jkgilt.FureinenVektor=Pnk=1kf0k2F0mitdenKoordinaten 

wiesieimvorigenAbschnittvorgenommenwurde,leistetsomitdasfolgende: sieerzeugtaufjedemTeilraumF02S0(E4)endlicherDimensioneinW-Ma hexpfiXtk(fk)gi=Zd(1;:::;n)expfiXtkkg; (170) 

Situationgegebenist,einW-Maaufdem1-dimensionalenRaumS0(E4) (f)mitf2F.EsisteineTatsache,daimmerdann,wenneinesolche vorliegt. .DiesesMabeschreibtdiegemeinsameVerteilungallerZufallsvariablen 

Fourier-Transformierte(dascharakteristischeFunktionaldesMaes)durch DannistihreinzentriertesGauischesMaaufS0(E4)zugeordnet,dessen Esseialso(f;Kf)einestriktpositivequadratischeFormaufS(E4). Zd()expfi(f)g=expf?12(f;Kf)g mesF2S(E4)mitdimF=n

schreiben,unddieseDarstellunghatGultigkeitfurallef=Ptkfk2F, indemZd()expfi(f)g=Zd(1;:::;n)expfiXtkkg ajk=(fj;Kfk) =expf?12Xtjtkajkg (174) (173) (172) 

GauischesFunktionalintegral(=IntegraluberFunktionale)indemvorgenanntenSinnegebnisunabhangigvonderWahlderBasisist. 

DasSchwinger-FunktionaldeseuklidischenFeldesschreibenwirnunals NaturlichisteineSchreibweisewie(171)nurdeshalbsinnvoll,weildasEr- 

mitdemKovarianzoperatorK=(?+m2)?1.Gilth(x)i=0,soistdas Mazentriert.DieseSituationlatsichimmerdurcheineVerschiebung hexpfi(f)gi=Zd()expfi(f)g=expficI(f)?12(f;Kf)g (175) 

!+cherstellen.EshilftderAnschauung,wennmansichDistributionen (x),uberdieintegriertwird,als\Pfade"desFeldes(x)imRaumE4 vorstellt.DasIntegral(175)realisiert,wasFeynmananstrebteundsumover historiesnannte.Setztmandarinf=Ptkfkundentwickeltnacht1;:::;tn, soentstehtdieGleichung 

lichenn-dimensionalenIntegralaquivalent.Manschreibtauch SobalddieTestfunktionenfkxiertsind,istdierechteSeiteeinemgewohn- 

h(f1)(fn)i=Zd()(f1)(fn) (176) 

DochdiesistnurmehreinesymbolischeDarstellungdern-Punktfunktion. DierechteSeitewirderstzueinemgewohnlichenIntegral,wennwirsiezuvormitTestfunktionenf1(x1)fn(xn)integrieren,d.h.wennwirzuder 

Schreibweise(176)zuruckkehren. formalgenanntwerdenmussen.SoschreibtderPhysiker{inAnlehnungan bekannteFormelnfurdieGau-Integrationbeinn-Matrizen{ AndereSchreibweisensindinGebrauch,dieineinemnochstarkerenMae 

h(x1)(xn)i=Zd()(x1)(xn) (177) 

DieKonstantecseisogewahlt,dadasManormiertist:Rd()=1.Diese "Denitionststrengbetrachtetunsinnig.DenndieFormel(178)enthaltdrei d()=cDexpf?12(;(?+m2))g Groen,diefursichgenommeneinzelnnichtexistieren: 75

DieKonstantec?1=RDexpf?12(;(?+m2))gisteinesinnloseGroe;c2istformalidentischmitderDeterminantedesOperators 

niertwerden. trum,undeineDeterminantekannineinersolchenSituationnichtde- (?+m2)=(2).DieserOperatorbesitzteinreinkontinuierlichesSpek- 

DasLebesgue-MaDkannaufS0(E4)genausowenigdeniertwerden,wieaufjedemanderen1-dimensionalenVektorraum. 

FurfastalleDistributionenist(;(?+m2))einenichtdenierbare DennochkannmanvonderSchreibweise(178)legitimenGebrauchmachen, fallsfestgelegtwird,danurdasProduktderdreiFaktorenzusammengenommeneinenwohldeniertenmathematischenSinnbekommt.Wirtreen 

Groe(manmachedieProbemit(x)=4(x)oder(x4)!). 

deshalbfurunsereZweckediefolgende 

76

Vereinbarung: DieDarstellungd()=cDexpf?12(;K?1)g desnormiertenMaesseigleichbedeutendmit Zd()expfi(f)g=expf?12(f;Kf)g 

(179) 

falls(f;Kf)einestriktpositivequadratischeFormist. (180) 

reellenFeldes(x).EinepartielleIntegrationbringtdiesesIntegralindie istnichtsanderesalsdasWirkungsintegraleinesklassischen(euklidischen) Standardform:12(;K?1)=12Zd4x"Xf@(x)g2+m2(x)2# 

ZuruckzumfreienSkalarfeld.HiergiltK?1=?+m2,und12(;K?1) 

DieseBeobachtungistderAusgangspunktfurVerallgemeinerungen.Eine (181) 

durcheinWirkungsintegralderForm naheliegendeErweiterungbestehtdarin,selbstwechselwirkendeSkalarfelder 

Wfg=Zd4x"12Xf@(x)g2+U((x))# 

einzufuhrenundversuchsweisedieeuklidischenn-Punktfunktionendieser (182) 

TheoriedurchFunktionalintegralederForm h(x1)(xn)i=RDe?Wfg(x1)(xn) RDe?W() vonderparabelformigenGestaltzulat.SolcheAbweichungenbeschreiben auszudrucken.HierbeiistU:R!Rein\Potential",dasAbweichungen (183) 

dieArtderSelbstwechselwirkung.SpezischeModelledieserArtsind: 4-ModellU(r)=12m2r2+r4(>0) 

Sinus-Gordon-ModellU(r)=12m2r2+(cos(r)?1) Higgs-ModellU(r)=?122r2+r4(>0) 

77

DieSchwierigkeitenderDarstellung(183)liegenaufderHand.DadieFunktionalintegralenichtmehrGauischsind,istunklar,wiemansiedenierensoll,undungewi,obsieuberhauptdenierbarsind.DerUmgangmit 

ProblematikderRenormierungausdertraditionellenFeldtheoriebegegnet nicht-GauischenFunktionalintegralenistkeinleichtesGeschaft:dieganze einemerneut.EineeleganteUmschiungdieserKlippenistbisheutenicht HierbeiwirddasKontinuumE4durcheinendlichesGitterersetzt.ZweihinquenteBenutzungderstatistischenInterpretationdeseuklidischenFeldes. 

gelungen.AberesgibteinenaussichtsreichenVersuch,namlich:diekonse- 

DieRechnungenaufdemendlichenGitterlassensichimPrinzipmechanisch durcheinenComputerausfuhren.VordieAufgabegestellt,Grenzprozesse tereinandergeschalteteGrenzprozesse(thermodynamischerLimesundKonti- 

nuumslimes)fuhrenzudengewunschtenn-PunktfunktionenderFeldtheorie. auszufuhren,versagtsogardieSpitzentechnologie. 

78

5DieGitterformulierung 

EuklidischeFeldtheorie: Bewise,discretize! 

5.1 DieGitterversiondesSkalarfeldes MarcKac 

FureinreellesSkalarfeldseidieeuklidischeWirkungdurch W()=Zd4x"12Xf@(x)g2+U((x))# 

zugelangen,bestehtdarin,damandenRaumE4durcheinperiodischesGitter(ZN)4ersetzt.HierbeihabenwirdieGitterkonstantegleich1gesetzt.Die 

gegeben.EineWeise,zuwohldeniertenAusdruckenfurdien-Punktfunktionen (184) 

zenZahlenmoduloNbetrachtet:sieenthaltgenauNElemente,dieman endimmerdurcheineSkalentransformationerreichen.MitZN=Z=(NZ) bezeichnetmandieRestklassengruppe,dieentsteht,wennmandiegan- 

EinfuhrungeinerdimensionsbehaftetenGitterkonstantenalatsichanschlie- 

N=0modNgilt,istdasGitterperiodischmitdergleichenPeriodeNinallenvierRichtungendesRaumes(wirhattenauchvierverschiedenePerioden 

wahlenkonnen).EinsolchesGitterlatsichnichtindenE4,sondernnur sichgewohnlichdurchdieZahlen0;1;:::;N?1reprasentiertdenkt.Da 

Translationen.AufdieseWeiserettetmaneinenTeildereuklidischenBewegungsgruppedesE4zeichnen.EinGitterpunktxbesitztKomponentenmitxi2f0;1;:::;N?1g 

(i=1;:::;4).FunktionenaufdemGittersindproblemlossummierbar,z.B. existiertPxa4f(ax)immerundapproximiertdasIntegralRd4xf(x)fur DastoroidaleGitterbesitztN4Gitterpunkte,diewirmitx;yusw.be- 

periodischesGitterwahlt,istbekanntlichseineSymmetrieunterdiskreten deshalbvoneinemtoroidalenGitter.DerGrund,warummaneinallseitig indenvierdimensionalenTorusTor4=(Rmod1)4einbetten.Manspricht 

genugendgroesNundhinreichendkleinesa.DieWirkungdeseuklidischen SkalarfeldeserhaltaufdemGitterdieForm W()=Xx " 12Xif@i(x)g2+U((x))# 

Ableitungverstehenwollen.UnterdenverschiedenenOptionenwahlenwir Wirhabenunsnurdaruberzuverstandigen,waswirunterderpartiellen (185) 

den\Vorwarts"-Dierenzenquotienten: [@i](x):=(x+ei)?(x) 79 (186)

Richtungderi-tenAchse. Mitx+eibezeichnenwirdieTranslationvonxumeineEinheitslangein Theoriedimensionslossind:dasgiltu.a.furdenOrtx,dieMassemunddas Feld(x).Wegen~=c=1genugtdieEinfuhrungeinereinzigenGroemit derDimensioneinerLange,umeinephysikalischinterpretierbareTheoriezu Esistwichtig,sichvorAugenzuhalten,daalleGroenineinersolchen 

erzeugen. demGittereineZufallsvariablemitWerteninR,und(x)isteineVariable,diefurdiemoglichen\Pfade"(engl.histories)desFeldessteht.Ein 

solcherPfadweistalsojedemderN4GitterpunkteeinereelleZahlzu,d.h. InderstochastischenInterpretationwaredaseuklidischeFeld(x)auf 

identiziertwerden.JedesPfadintegralwirdsomiteinemgewohnlichenN4- dimensionalenIntegralaquivalent.Dasist,fursichgenommen,nochkein derPfadraumkannimFalleeinesendlichenGittersgrundsatzlichmitRN4 

GrundzurFreude:selbstfurbescheideneGitter,z.B.furGittermitN=5, heben.Wirsindnichtmehrgenotigt,aufdemGitterdieFeldermitTest- 

funktionenzuglatten.DennesgibtkeinenUnterschiedzwischenglattenund warediesein625-dimensionalesIntegral.JedocheinVorteilisthervorzu- 

nicht-glattenFunktionenmehr.AuchderBegridierentierbarverliertseinenSinn.DieFormel 

bereitetunskeineSchwierigkeiten.DenndasLebesgue-Ma h(x1)(xn)i=RDe?W()(x1)(xn) 

(187) 

istnunwohldeniert,weilderPfadraumendlichdimensionalist.EinvergleichsweiseharmlosesProblembleibt,weilunsicherist,obdieIntegralein 

D=Yxd(x) (188) 

(187)konvergentsind.HinreichendfurdieKonvergenzistjedochdieStabilitatsbedingung 

untereSchrankederForm DasPotentialU(r)indereuklidischenWirkung(185)besitzteine 

mit2>0.HierbeimunichtdieMassedeszubeschreibenden Feldessein. U(r)>?c+2r2 (189) 

EineahnlicheBedingungbenotigtenwirfurdieAnwendungderFeynman- Kac-Formel.DieBedingung(189)istjedochscharfer:dasPotentialmu 80

oberhalbeinerParabelliegen.DieAnnahme2>0istnotwendigwegen dasVorzeichenderKopplungskonstantennichteinfachumkehrenkonnen, derExistenzvonImpuls-Null-ModenaufdemGitter. ohnedieStabilitatzuverlieren.DerStorungstheorie,aufdiealleindiekonventionelleFeldtheoriefut,isteinsolchesVorzeichenvolliggleichgultig.Man 

DieStabilitatsbedingungmachtdeutlich,dawiretwainder4-Theorie 

darfdeshalbmitRechtbehaupten,dajedeAussageubereinfeldtheoreti- 

Stufengeschehen: schesModellimmerdannalsnicht-trivialgeltenkann,wenninihrdasVor- 

zeichenderKopplungskonstanteneineRollespielt23. 

1.ThermodynamischerLimes.WirlassendieGitterperiodeNgegenUnendlichstrebenundberechnensodien-PunktfunktionenaufdemGitter 

Z4.NochsindalleGroendimensionslos. 

WiegewinnenwirdieFeldtheorieaufdemKontinuum?Diessollindrei 

2.Skalentransformation.WirfuhreneinevariableGitterkonstanteaein indenRaumE4eingebettet.AlleKonstantenderTheorie(Massen, mitderDimensioneinerLange(inderGroenordnungvon1Fermi= 10?13cm).DasGitterZ4wirddurch(aZ)4ersetztunddasneueGitter Kopplungskonstantenetc.)sowiedasFeldselbstwerdeneinerSkalen- 

3.Kontinuumslimes.BeigeeigneterWahldera-AbhangigkeitallerGroen transformationunterworfen,diediesenGroendieerforderlicheDimen- 

siongibt.DasResultatisteinea-abhangigeTheorie. 

ersetztdasRenormierungsverfahrenderkonventionellenFeldtheorie. existierendien-PunktfunktionenimLimesa!1.DieserVorgang 

5.2.1DarstellungdurchFourier-Zerlegung DieTranslationssymmetriedesperiodischenGitterserlaubtdieEinfuhrung DereuklidischePropagatoraufdemGitter 

blenbezeichnenwirwieublichmitp.DerImpulsraumistwiedereintoro- 

idalesGitter,dasdemAusgangsgitterweitgehendgleicht,mitdemUnter- 

schiedallerdings,dadieGitterkonstante2Nist:p=fp1;:::;p4g2(2NZN)4. einerFourier-Transformationfur(komplexe)Funktionenf(x).Impulsvaria- 

Schreibtmanpx=P4k=1pkxk,sobildendieebenenWellen 

gewurdigt. 23DieseAussagegehtaufK.SymanzikzuruckundwurdeinderVergangenheitzuwenig fp(x)=N?2eipx (190) 

81

desSkalarproduktes(f;g)=Pxf(x)g(x).WirerinnernandenGittergradientenundfuhrennunauchseinenadjungiertenOperatorein: 

{wiemanleichtnachweist{einvollstandigesOrthonormalsystembezuglich 

IstderLaplace-OperatordesGitters,sokonnenwir?=P4k=1@k@k @kf(x)=f(x?ek)?f(x) @kf(x)=f(x+ek)?f(x) (191) 

schreiben.Beachtenwirpek=pk,soergebensichdieEigenwertgleichungen: (192) 

Also?fp(x)=P4k=1jeipk?1j2fp(x).Indemwir @kfp(x)=(e?ipk?1)fp(x) @kfp(x)=(eipk?1)fp(x) (193) (194) 

setzen,konnenwirauch?fp(x)=Epfp(x)schreiben.Wassagtunsdieses Ep=4Xk=12(1?cospk) (195) 

Ergebnis? 

DawirdieSpektralzerlegungdesOperators?besitzen,konnenwirauch indasIntervall[0;16]. DasSpektrumvon?aufdemGitteristreindiskretundfallt 

unddasIntervall[0;16]imDenitionsbereichvonFliegt: zugleichdieSpektralzerlegungeinesjedenOperatorsF(?)angeben,wenn F(t)einebeliebigekomplexwertigeFunktionvoneinerreellenVariablentist 

zurOrtsdarstellungzuruckkehren: EineersteAnwendungbestehtdarin,dawirF(t)=log(t+m2)wahlenund F(?)fp(x)=F(Ep)fp(x) (196) 

AusdieserFormelberechnetmanleicht log(?+m2)(x;y)=N?4Xpeip(x?y)log(Ep+m2) (197) 

Spurlog(?+m2)=Xxlog(?+m2)(x;x)=Xplog(Ep+m2)(198) 

82

underhaltsoZugangzudemNormierungsintegral ZDexpf?12(;(?+m2))g=det?+m2 

=exp(?12XplogEp+m2 2 ?1=2 

2 )(199) indemmanvonderIdentitatdet=expSpurlogGebrauchmacht. undzurOrtdarstellungzuruckkehren.AufdieseWeiseerhaltenwirdeneuklidischenPropagatoreinesskalarenTeilchens: 

EineweitereAnwendungbestehtdarin,dawirF(t)=(t+m2)?1wahlen 

h(x)(y)iN=SN(x?y;m)=N?4Xpeip(x?y) 

ManbeachtediecharakteristischeAbweichungvonderFormel(3.12)aufgrundderWahleinesGittersheitvonWechselwirkungen,zustudieren,isteinederwichtigstenAufgaben 

derSimulationaufdemComputer.Selbstverstandlichgiltdannnichtmehr dieDarstellung(200)invollerStrenge,sondernnurnochfurgroeAbstande DieseZweipunktfunktionineinerallgemeinenSituation,d.h.inAnwesen- 

Ep+m2 (200) 

jx?yj,wennmdiekleinsteMasseallerZustandemitdenQuantenzahlendes Feldesist.AufeinemunendlichausgedehntenGittererwartenwireinexponentiellesAbfallgesetzfurdieZweipunktfunktion.Aufeinemperiodischen 

Gittergibtesjedochkeine\groen"Abstande.Deshalbistinallenkonkreten Rechnungen(beifestemGitter)eineExtrapolationderArtjx?yj!1zur andieStelledesexponentiellenAbfalls? ziert.SchreibtmanfurdenOrtx=fx;x4gundfurdenImpulsp=fp;p4g, sobewirkteineSummationuberxeineProjektionaufZustandemitp=0: EinenHinweiskanndieFormel(200)geben,jedochistsienochzukompli- 

BestimmungderMassemnichtmoglich,unddieFragetrittauf:Wastritt 

XxSN(x;m)=N?1Xp4 DiesobestimmteFunktionlatsichinderTatingeschlossenerFormberechnen. 

Theorem 

m2+2(1?cosp4) expfip4x4g (201) 

83

eingefuhrt.Danngiltfur0x41 

DasResultatvereinfachtsich,wennwira=coshMsetzen.Diesistsinh12M= 12maquivalent,undwirerhalten 

Damitkonnenwirschreiben: c n=e?Mjnj 2sinhM (204) 

XxSN(x;m)=1NXp4eip4x4f(p4)=1X 

mit N(n)=1NN?1 n=?1cnN(x4?n) 

wobeiwirp4=2k=N,x4=n0gesetzthaben.Also Xk=0ei2kn=N=1n=0modN 

1X 

0n6=0modN 

n=?1cnN(n0?n)=1X j=?1cn0+jN 

84

ImBereich0n0

Wert1annimmt. 

wesentlichvonderGrenzfunktionunterscheidet,muindiesemBeispielmindestensderWertN=100gewahltwerden.Diesentsprichteinerlinearereichen,dadieFunktionfurgegebenesNimgenanntenBereichsichnichwellenlangedesTeilchens(inEinheitenderGitterkonstanten).Umzuer- 

DerAbstand10zweierPunkteaufdemGitterentsprichtderCompton- 

AusdehnungdesGittersvonmindestens10Comptonwellenlangen.Hatman eineLangenskaladurchEinfuhrungvonadeniert,somuaM1erfullt sein,damitderUnterschiedzwischendenMassenMundmnichtinsGewichtfallt.Diesbedeutet,dadieGitterkonstanteaaufjedenFallkleineturbesitzt(moglicherweisealsKonsequenzderQuantengravitation),dieauf 

undderphysikalischeRaumimKleineneinenochunbekanntekornigeStruk- 

als0;1Comptonwellenlangezuwahlenist. 

dieEinfuhrungeinerkleinsten\Elementarlange"(diePlanck-Lange?)hin- 

FallsdieAnnahmeeinesKontinuumseinemathematischeFiktionwar 

auslauft,sogelangenwirsolangenichtinWiderspruchzurKontinuumslenlangenbesitzen,diesamtlichgrogegenuberderElementarlangesind.Von Feldtheorie,wiewirsicherseinkonnen,daElementarteilchenComptonwel- 

diesemStandpunktausbetrachtet,erscheintesnichtgesichert,daRechnungen,dievoneinemKontinuumausgehen,dieWirklichkeitbesserbeschreiben 

verglichenmitRechnungen,dievonderAnnahmeeinerendlichenGitterkonstantenaausgehen. 

86

5.2.2DarstellungdurchZufallswegeaufdemGitter DasStudiumdesZerfallsvonKorrelationenunddasAundenvon\scharfen"KorrelationsungleichungengehortzudenwichtigstenAufgabenderFeldtheoriewieauchderstatistischenMechanik.AusdiesemGrundwollenwir 

hiereineweitereTechnikerproben,dieDarstellungnamlichdurchPfade Operators: aufdemGitter.AusgangspunktistdiefolgendeBeschreibungdesLaplace- 

[Sif]x0=fx0?ei=Xx(Si)x0xfx = 4Xi=1(Si+S?1 i?2) (205) 

Anschaulich:SibedeutetSchrittindiei-teRichtung,undS?1 ibezeichnet (206) 

einesktivenTeilchensaufdemGitter,sowareSifdieverschobeneVerteilung. 

SchrittindieentgegengesetzteRichtung.DeutetmanetwafalsVerteilung 

naueinWeg!derLangej!j=naufdemGitterbeschrieben,dervoneinem vorgegebenenAnfangspunktxzumEndpunkt DurcheineFolgeei1;ei2;:::;einvonVerschiebungsvektorenwirdge- 

fuhrt.DadieTranslationenaufdemGittereinekommutativeGruppebilden, konnenwirnaturlichaufdieKlammernauchverzichtenunddieVerschiebungsvektorenpermutieren.HierdurchentstehenneueWege,dievonxnach 

zugeordnet,wobeiwirS?1 negativesVorzeichenhat.DasProduktS!=S(?1) x0fuhren.AllesoerzeugtenWegebildeneineAquivalenzklasse,diewirmit[!] bezeichnen.DemeinzelnenPfad!istdieOperatorfolgeS(?1) ischreiben,sobaldderVerschiebungsvektoreiein in;;S(?1) i2;S(?1) 

x0=(((xei1)ei2)ein) 

eineKlassenfunktion:DerOperatorS!hangtnurvon[!]ab.Erverschiebt inS(?1) i2S(?1) i1 hingegenist i1 

einegegebeneAnfangsverteilungaufdemGitter,undseineMatrixelemente sind (S!))x0x=1!:x!x0 

Langen,dievomPunktxzumPunktx0fuhren,istreinalgebraischdurch einMatrixelementausdruckbar: WesentlichistjetztdiefolgendeBeobachtung:dieZahlderWege!gegebener 0sonst 

!:x!x0 j!j=n1=X X !:x!x0 j!j=n(S[!])x0x=(Pi(Si+S?1 i))nx0x (207) 

87

JetztentwickelnwirdenPropagator,derhieralsMatrixaufzufassenist: (?+m2)?1 x0x=1Xn=0(m2+8)?n?1(Pi(Si+S?1= !:x!x0j!j+1 X i))nx0x (209) (208) 

wobei=(m2+8)?1gesetztwurde.WirbesitzensomiteineDarstellung, allePfade,dievonxnachx0fuhren,wobeilangePfadeeinexponentiellabnehmendesGewichtbekommen(auchaufeinemendlichenGitterkonnendie 

Pfadebeliebiglangwerden,wennGitterpunktemehrfachbesuchtwerden). DieSummebeginntmitdemkurzestenPfad:i.allg.isteinsolcherPfadauf demGitternichteindeutig.WirhabenzweiFragenzuklaren: 1.KonvergiertdieEntwicklung(209)? 

diedieKorrelationzwischenxundx0ausdrucktdurcheineSummeuber 

DieAntwortaufbeideFragenndenwirdurchdieeinfacheFeststellung,da 2.WieverhaltsichderPropagator,wenndieDistanz24jx0?xj=min growird? !:x!x0j!j 

dieAnzahlallerPfadeN(n)derLangen,furdienurderAnfangspunkt, jorisierendeReihe (allgemein(2d)nindDimensionen).Deshalbndenwireinkonvergentema- 

nichtaberderEndpunktfestgelegtwurde,dieBeziehungN(n)=8nerfullt 

00erfulltist.DiegewonneneAbschatzungistbeiweitemnichtsoprazise 

rechnenaussinh12M=12m)deutlichab,undzwarumsomehr,jegroerm jedochdergefundeneWertfurbefriedigtnicht:erweichtvonM(zube- 

derPfadsummedenexponentiellenZerfallderKorrelationennachgewiesen, wiederInhaltdesTheoremsimvorigenAbschnitt.Zwarhabenwirmittels 

ImPrinzipistesmoglich,jedebeliebigen-PunktfunktioneinesselbstwechselwirkendenSkalarfeldesalsPfadsummedarzustellen.DieseArtderBeschreibungwurde1969vonK.SymanzikindieFeldtheorieeingefuhrtundspielte 

DieMethodederZufallswegeaufdemGitteristverallgemeinerungsfahig. ist.DieUngleichungM>istleichtzudemonstrieren. 

eineentscheidendeRolleindenBeweisenvonM.AizenmanundJ.Frohlich, dieTrivialitatder4-TheorieinDimensionend>4betreend. 24Oensichtlichhandeltessichhierbeiumdiesog.Taxifahrer-Metrik. 88

WirverfolgenimAugenblickzweiZiele.ZueinenwollenwirdenZusammenhangdereuklidischenFormulierungderFeldtheoriemitderstatistischen 

DasVariationsprinzip 5.3 

ineinemmoglichsteinfachenmathematischenRahmen. derPlanckschenKonstantenhervorheben,umsodenklassischenGrenzfall Mechanikdeutlichmachen,zumanderenwollenwirdieAbhangigkeitvon ~=0besserzuerkennen.WirerlauternzunachstdenBegriderEntropie 

5.4 AnstellederFeldtheoriestudierenwireinestatistischeTheoriemitendlich vielenZustanden,d.h.wirersetzendenPhasenraumdurcheineMengevon ModellemitdiskretemPhasenraum 

nElementen.DasIsing-ModellistvondieserArt:istddieDimensionund 

ning).AndieStellevonMaend()tretenVerteilungenp=(p1;:::;pn) NdieGitterperiode,sogiltdortn=2Nd.AberauchvonderFeldtheorie 

mit0pi1undPipi=1.JederVerteilungmitnFreiheitsgradenist denkontinuierlichenPhasenrauminZellenieinteilt(engl.coarsegrai- 

ausgehend,lassensichsolcheModellekonstruieren,etwadadurch,daman 

vermogederFormel 

setztmanpilogpi=0furpi=0.InderThermodynamikwirdkS(p)alsdie eineZahlzugeordnet,diemandieEntropiederVerteilungnennt.Hierbei S(p)=?nXi=1pilogpi (211) 

lenwirhiermitBlickaufeinemoglichstbreiteAnwendbarkeitnichtfolgen. derZustandeundwirdnurvonderGleichverteilungerreicht: Entropieerklart,wobeikdieBoltzmann-Konstanteist.DiesemBrauchwol- 

EsgiltS(p)0.DasMaximumderEntropieistabhangigvonderZahl 

DieVerteilungpsollmiteinerzweitenVerteilung=(1;:::;n)verglichen sup pS(p)=S(1n;:::;1n)=logn 

werden.AlsEntropievonprelativzubezeichnetmandieZahl 

wobei?1einerlaubterWertist.ImGrundeistdieDenition(211)vonS(p) S(pj)=?Xipilog(pi=i) (212) 

nureinSpezialfallvon(212),einFalldereintritt,wenndieGleichverteilung ist: S(pj1n;:::;1n)=S(p)?logn 89 (213)

BisaufdenirrelevantenkonstantenTerm?lognstimmenhierbeideEntropiebegrieuberein. 

Lemma EsgiltstetsS(pj)0undS(pj)=0genaudann,wenni=pi 

u0;dennf00(u)=u?1>0.Deshalb: Beweis.Furalleiseii>0.DieFunktionf(u)=uloguistkonvexfur furalleierfulltist. 

Hierinsetzenwirui=pi=i,sodaPiiui=Pipi=1.Wegenf(1)=0 f(Xiiui)Xiif(ui) (214) 

wiegewunscht.DadieFunktionf(u)striktkonvexist(f00(u)>0),giltdas folgt 

Gleichheitszeichenin(214)genaudann,wennalleuigleichsind:ui=q,also 0Xipilog(pi=i) 

pi=qiunddamit1=Pipi=qPii=q,d.h.i=pi,unddasLemma teilungzugeordnet,indemmansetzt: istbewiesen. Esseienw1;:::;wnirgendwelchereelleZahlen.IhnenistimmereineVer- 

IndiesemFallerhaltmandieIdentitat i=z?1e?wi z=Xie?wi 

Xipiwi?S(p)=?S(pj)?logz 

(215) 

undwirerkennen,dadasebenbewieseneLemmazuderfolgendenAussage (216) 

aquivalentist: Variationsprinzip Esgilt 

undzsinddurch(215)gegeben.) wobeidasInmumfurnurfurdieVerteilungp=erreichtwird; inf p(Xipiwi?S(p))=?logz (217) 

90

InallenAnwendungensinddieZahlenwiMewerteeinerObservablenWim Zustandi(derEnergieinEinheitenvonkT,derWirkunginEinheitenvon blemXipiwi=Minimum 

~etc.). Wasgeschieht,wennin(217)dieEntropieweggelassenwirdunddasPro- 

zulosenist?OensichtlichgiltminPipiwi=miniwi,undexistiertunter 0pi1;Xipi=1 (218) 

eindeutig: denZahlenwigenaueine,dieminimalist,sagenwirwi0,soistdieLosung 

Grenzfall,demUbergangnamlichvonderstochastischenzurdeterministischenBeschreibung. 

DieswollenwirimAugebehalten;denn(218)entsprichtdemklassischen pi=1i=i0 0sonst (219) 

5.5 AuchinderGitterformulierunggehtdieFeldtheorievoneinemkontinuierlichenPhasenraumaus.SelbstbeiBeschrankungaufeineneinzigenGitter- 

ModellemitkontinuierlichemPhasenraum 

derBeschreibungeinesHiggs-Teilchensdienenkonnte.Wirsetzenvoraus,da punktwarederPhasenraumeinesn-komponentigenFeldesmitRnzuiden- 

tizieren. dieeuklidischeWirkungdieForm(185)hatunddaW()nicht~enthalt. Dasentsprichtderfruher(s.VorlesungQFTI)vertretenenAuassung,da DerEinfachheithalberbetrachtenwireineinzelnesSkalarfeld,dasetwa 

respondenzprinzipsindieQuantenfeldtheorieubernommenwird.Ebensoist dieWirkungeinereinklassischeGroeist,diedurchAnwendungdesKor- 

bezuglichdesnormiertenMaes(auf) Dien-PunktfunktionenberechnenwiralsMittelwertevon(x1)(xn) derPhasenraumes,demangehort,einereinklassischeKonstruktion. 

d()=DZ?1expf?~?1W()g Z=ZDexpf?~?1W()g (221) (220) 

AufdemGitterist~{wiealleanderenGroen{dimensionslos.DieseVariableistsozusagenein\Platzhalter"furdiePlanckscheKonstante.Siedient 

dazu,klassischeEektevonQuanteneektenverschiedenerOrdnungzuunterscheiden. 

91

neZustandssummeundd()einGibbs-Ma.Manwei,daGibbs-Mae LosungeneinesVariationsproblemssind.DiediskreteVersiondiesesProblemshabenwirimvorigenAbschnittkennengelernt.DasallgemeineKon- 

FolgenwirdemSprachgebrauchderstatistischenMechanik,soistZeizeptverlangtdieEinfuhrungderEntropieeinesW-Maes.DiehiervorgestellteDenitiongehtaufBoltzmann,GibbsundShannonzuruck. 

DenitionderEntropie FureinW-Maaufmitd()=Dp()undp()0ist dieEntropiedurchS()=?ZDp()logp() gegeben. (222) 

Wiefruhersetztmanauchhierrlogr=0furr=0.Esexistiertkein MaximumfurS():esentspracheeinerGleichverteilungvon(x)aufR, diedurchkeinW-Mareprasentiertist.DerWertebereichvonS()istdie gesamtereelleAchse. dierelativeEntropieein: UmzweiW-Maeundmiteinandervergleichenzukonnen,fuhrenwir 

HierfurschreibtmanauchS(j)=?Rdlog(d=d).Wirsetzeng()>0 voraus. S(j)=?Zd()logg() d()=d()g() (223) 

Lemma 

Beweis.DieFunktionf(u)=uloguistkonvexfuru0.Deshalbgiltdie EsgiltallgemeinS(j)0undS(j)=0nurfur_=(UbereinstimmungderMaebisaufeineMengevomMaeNull). 

UngleichungvonJensen 

furjedeFunktiong:!R+.Setzenwirg=d=d,sofolgtRdg=1, undwegenf(1)=0habenwirsomit f(Zd()g())Zd()f(g()) 

0Zd()logg() 92

g()=q=konstantist(fastuberallauf,alsoabweichendvonqhochstens aufeinerMengevom-MaNull).Giltaberd()_=qd(),sofolgt1= wiegewunscht.Dafstriktkonvexist,giltdasGleichheitszeichennur,falls Rd()=qRd()=qunddeshalb_=. Nunseid()=Dp()und d()=DZ?1expf?~?1W()g Z=ZDexpf?~?1W()g (224) 

einGibbs-Ma.DannndenwirdieIdentitat Zd()W()?~S()=?~S(j)?~Z 

(225) 

DiehierinauftretendeGroe (226) 

folgendenAussageaquivalent. nennenwirdiemittlereWirkung.DasebenbewieseneLemmaistmitder h;Wi=Zd()W() (227) 

Variationsprinzip Esgilt DasInmumwirdnurfur_=erreicht,wobeiundZdurchdie Formeln(224)und(225)gegebensind. inf fh;Wi?~S()g=?~Z (228) 

InderMengederW-MaeistjedesGibbs-Maalsodadurchausgezeichnet, daeseinVariationsproblemlost. dieihrzugeordneteklassischeFeldtheorieuber,weildasVariationsproblem (228)indasHamiltonschesPrinzipderkleinstenWirkungubergeht: WasgeschiehtimGrenzfall~=0?HiergehtdieQuantenfeldtheoriein 

Dieseswirddadurchgelostwird,dawir{genauso,wiein(219)geschehen{ fureinDirac-Mawahlen,dasaufdemMinimumderWirkungkonzentriert h;Wi=Minimum (229) 

ist.Ist0dieStelledesMinimums,sogilt: h;Wi=W(0)=min 93 2W() (230)

LimesderQuantenfeldtheoriesofortangeben: Ist0eindeutig,undnurunterdieserBedingung,konnenwirdenklassischen 

darausergebendenEuler-Lagrange-Gleichungen.Diessinddieeuklidischen DasMinimumdereuklidischenWirkungndetmandurchLosendersich ~!0h(x1):::(xn)i=0(x1):::0(xn) lim (231) 

FeldgleichungenderTheorie25(aufdemGittersinddiesDierenzengleichunrantiert:ImPhasenraumexistiertinjedemFalleinElement0,dasalgen).DieExistenzdesMinimumswirddurchdieStabilitatsbedingungga- 

dieWirkungminimieren.InineinemsolchenFallistdasklassischeProblem gleichmehrereklassischeLosungen(eventuelleinKontinuumvonLosungen) Symmetriebrechungkonnteesjedochpassieren,danichtnureine,sondern derklassischePfaddesFeldeserscheint.DurchdenEektderspontanen 

langteinesorgfaltigereDiskussion. nichteindeutiglosbar,undderGrenzfall~!0derQuantenfeldtheoriever- 

derParameter~eingeschaltet,sobeginntdasQuantenfeldumdieklassische LosungzuuktuierenalsFolgedesEntropietermsin(228).AusdieserSicht istesdieEntropie,diedasQuantenfeldzueinerZufallsvariablenwerdenlat. Theoretischistesmoglich,vonderSituation~=0auszugehen.Wird 

thermodynamischenLimes(N!1)hingegenkannu.U.dieseEindeutigkeitwiederverlorengehen,namlichdann,wenneinPhasenubergangexistiert 

DasGibbs-MaistinjedemFalleindeutig,solangedasGitterendlichist.Im 

ChancefureinespontaneSymmetriebrechung. Quantenuktuationenwirkendementgegen:Jegroer~,umsogeringerdie Dieswirdi.allg.auchdurcheinespontaneSymmetriebrechungbegleitetsein. undwirunsineinerPhasemitmehrerenGleichgewichtszustandenbenden. 

namlichUdieinnereEnergieeinesVielteilchensystems,SseineEntropie, dasseinerStrukturnachdemobenformuliertenPrinzipvolliggleicht:Sei beideGroenabhangigvondemZustand,undbendesichdasSystemim InderstatistischenMechanikbegegnetmaneinemVariationsprinzip, 

KontaktmiteinemWarmebadbeiderTemperaturT,sowirdeinGleichgewichtgenaudannerreicht,wennderAusdruckU?TSseinenMinimalwert 

annimmt.DieserWertwirddiefreieEnergieF(auchHelmholtz-Energie)des dasMinimumangenommenwird,istdaskanonischeEnsemble.ImGleichge- SystemsbeiderTemperaturTgenannt.DerGleichgewichtszustand,furden 

undistdaraufzuruckzufuhren,daelliptischeDierentialgleichungen(dereuklidischeFall) gegenallgemeinerdiestationarenPunktederWirkung.DiesisteinwichtigerUnterschied einemMinimum,hyperbolischeDierentialgleichungen(derMinkowski-Fall)stationaren 25IndereuklidischenTheoriesuchtmandasMinimum,inderMinkowski-Theoriehin- 

PunktenderWirkungentsprechen. 94

mittlereWirkungh;WiundandieStellederTemperaturdiePlancksche derGaseundFlussigkeiteneinewichtigeRollespielt. wichthatmanalsodieBeziehungF=U?TS,dieinderThermodynamik 

besitzt,kannesu.U.sinnvollsein,sieaufdemGitterwieeinevariabledi- 

Konstante.ObwohlsievonNaturauseinenfestendimensionsbehaftetenWert InderQuantenfeldtheorietrittandieStellederinnerenEnergieUdie 

stischenMechanikentsprechenimRahmenderFeldtheorieReihenentwick- 

lungennachPotenzenvon1=~,Niedertemperaturentwicklungenentsprechen BeivollerAnwendungthermodynamischerPrinzipienaufdieFeldtheorie 

mensionsloseGroezubehandeln.Hochtemperaturentwicklungenderstati- 

werdenwiru.a.auchaufdie\freieEnergie"einesFeldesgefuhrt: Reihenin~n(engl.loopexpansion). 

tensiveGroehandelt.MitwachsendemGitter{dasheitfurN!1{ AusderstatistischenMechanikistbekannt,daessichhierbeiumeineex- 

F=inf [h;Wi?~S()]=?~logZ (232) 

strebtN?4F,diefreieEnergieproGitterplatz,einemLimesfzu. Formel(199)furdieGitterperiodeN: FureinfreiesSkalarfeldderMassemndenwirdurchAnwendungder F=~2XplogEp+m2 

Ep= 4Xk=12(1?cospk) 2~ p2(2NZN)4 (233) 

WirwahlteneineDarstellung,beiderdieImpulskomponentenpkstetsin dasIntervall[0;2]fallen.DiePeriodizitatderWinkelfunktionenausnutzen, konnenwirjedochaucheineDarstellungwahlen,beiderdieWertevonpk 

setzenkannundzueinemIntegralgelangt: imIntervall[?;]liegen.WirkommensozudemBegriderBrioullin- dichtermiterlaubtenImpulswertengefullt,sodamanschlielichd4p=(2N)4 ZoneB4=[?;]4.MitwachsendemNwirddieBrioullin-Zonedichterund 

f=lim N!1N?4F=~=2 (2)4ZB4d4plogEp+m2 

5.6 DieeektiveWirkung 2~ (234) 

JedesW-MaaufdemPhasenraumfuhrtzueinemErwartungswert h(x)i=h;(x)i=Zd()(x) 95

desFeldes,undMittelwertedieserArtsindselbstwiederElementevon; wirschreibenkurzh;i=0fureinsolchesElement.Mehrnochistrichtig, einDirac-Mawahlt,dasauf0konzentriertist:d()=D(?0).Ist namlichjedes02istaufdieseWeiseerhaltlich,etwadadurch,daman spezielldasGibbs-MainbezugaufeineWirkungW,soistmanberechtigt,h;i=alseinklassischesFeldaufzufassen,dasdemQuantenfeld 

linear,sowerdensiesowohlvondemOperatorfeldalsauchvonseinemErwartungswerterfullt.BeiwechselwirkendenFeldernistdiesnichtmehrder 

zugeordnetist,genausowieetwaeinklassischesMaxwell-FeldalsErwartungswertdesOperatorfeldesderQEDerscheint.SinddieFeldgleichungen 

FallĖineahnlicheSituationliegtbereitsinderQuantenmechanikvor,wodie rieverstandenwerden,undmanlerntdort,dadieErwartungswerte{den ErwartungswertevonOrtundImpulsalsdieklassischenGroenderTheo- 

kraftefreienFallausgenommen{nichtdengleichenBewegungsgleichungen monstrationbetrachtenwireineinfachesBeispiel,beidemderHamilton- gehorchen,wiedieentsprechendenOperatorenimHeisenbergbild.ZurDe- 

OperatordieGestalt 

hat.EsseiQ(t)derzeitabhangigeOrtsoperatorimHeisenberg-BildundK= ?gradVdieKraft.DieBewegungsgleichungmQ=K(Q)fuhrtnichtauf H(P;Q)=1 2mP2+V(Q): (235) 

mq=K(q)furdenErwartungswert26q(t)=hQ(t)i.DieDiskrepanzkommt dadurchzustande,dai.allg.hK(Q)i6=K(hQi) istesvorstellbar,daErwartungswerteaucheinerBewegungsgleichunggenugen, gilt,konstanteKrafteunddenharmonischenOszillatorausgenommen.Nun (236) 

dainunseremFalletwadieDierentialgleichung 

erfulltistfureinegeeigneteWahlvonLe(_q;q).DannwurdemanLedie ddt@Le @_q?@Le 

eektiveLagrange-Funktionnennenundwute:Losungenvon(237)machen @q=0 (237) 

dieeektiveWirkung 

BenutzungdiesesBildessindZustandegrundsatzlichzeitunabhangig. 26GemeintistderErwartungswertbezuglicheinesZustandesimHeisenberg-Bild.Bei We=ZdtLe(_q(t);q(t)) (238) 

96

AbhangigkeitvondemZustandmachtschlielich,dadasKonzeptdereffektivenWirkunginderQuantenmechaniknurvonmarginalemInteresseist. 

DieFeldtheoriehingegenbesitzteinenausgezeichnetenZustand,dasVakuum,odereuklidischgesprochen,dasGibbs-MazurWirkungWkunggleichbedeutendmitderBeantwortungderFrage:WelcherFeldglei- 

WirkungWist?DieExistenzeinereektivenWirkungWeistleichtzudechunggenugtdasklassischeFeld=h;i,wenndasGibbs-Maeiner 

IndereuklidischenFeldtheorieistdieKonstruktioneinereektivenWir- 

LabweichtundzudemnochvondemgewahltenZustandabhangigist.Die gemeinenmujedochdamitgerechnetwerden,daLeganzwesentlichvon stationar.FurdenharmonischenOszillatorgiltLe(_q;q)=L(_q;q).Imallmonstrieren,wennmannurbeachtet,dadasProblemh;Wi?~S()= 

MinimuminStufenlosbarist: 1.Furalle2suchtmanzunachstdaseingeschrankteMinimum 

2.AnschlieendlostmandasProblemWefg=Minimum.Durchdie Wefg=inf fh;Wi?~S()jh;i=g (239) 

DasMinimumvonWefgistdiefreieEnergieF.IndemAugenblick,wo MinimumssucheinwirddieBeschrankungh;i=in(239)wieder 

dieeektiveWirkungminimiert,lostdasProblemh;Wi?~S()= aufgehoben. 

ihnenentsprechendenFeldgleichungeneingefuhrt.VondieserArtsindetwa MinimumunterderBeschrankungh;i=. 

dendieGL-GleichungenimAbschnitt4.6vorstellen.Waswirnunfurdie dieGinsburg-Landau-GleichungeninderTheoriederSupraleitung.Wirwer- 

AuchinderstatistischenMechanikwerdeneektiveWirkungenunddie 

euklidischeFeldtheorieskizzieren,istgewissermaeneineVerallgemeinerung derIdeen,diezurGinsburg-Landau-Theoriefuhrten. benbedingung.ProblemedieserArtlassensichmitderMethodederLagran- 

geschenMultiplikatorenbehandeln.FurjedenGitterpunktxfuhrenwireinen reellenMultiplikatorj(x)einundstudierenanstellederursprunglichenExtremalaufgabenundasProblem 

DieeektiveWirkungwardasResultateinerExtremalaufgabemitNe- 

(jfest,variabel).DadiesesVariationsproblemaberwiederdievertraute h;Wi?~S()?Xxj(x)h;(x)i=Minimum (240) 

Gestalt(228)besitzt{lediglichWfgistdurchWfg?Pxj(x)(x)ersetzt 97

worden{,konnenwirdieLosungsofortangeben: dj()=DZfjg?1exp~?1[Pxj(x)(x)?Wfg] Zfjg=ZDexp~?1[Pxj(x)(x)?Wfg] (241) 

EshandeltsichoenbarbeijwiederumeinGibbs-Ma,abhangigvonden Minimum=?~logZfjg (242) 

LagrangeschenMultiplikatoren.DiesesMabestimmteineganzeFamilievon (243) 

Feldtheorien,indemesgestattetn-Punktfunktionenzudenieren: 

Hierbeiwirktj(x)wieeinvonauenangelegtesFeldoderauchwieeinauererStrom,undZfjgisteinerzeugendesFunktionalfurdien-Punktfunktionen. 

h(x1)(xn)ij=Zdj()(x1)(xn) (244) 

mandenStromj(x)sobestimmt,dah(x)ij=(x)beigegebenem erfulltist.Wirsetzen DasVariationsproblem(239)mitNebenbedingungwirdgelost,indem 

undhabeninWefjgeinerzeugendesFunktionalfurdieKumulantendes Feldes.Insbesonderegilt Wefjg=~logZfjg (245) 

DieBedingungh(x)ij=(x)istalsogleichbedeutendmit @Wefjg @j(x)=Zfjg?1~@Zfjg @j(x)=h(x)ij (246) 

und(247)lostdasVariationsproblem @Wefjg 

Xxj(x)(x)?Wefjg=Maximum @j(x)=(x) (247) 

(fest,jvariabel).Grund:erstens,(247)fuhrtsicherlichzueinemExtremum derlinkenSeitein(248);zweitens,dieMatrixderzweitenAbleitungen, (248) 

Kxx0=~2@2logZfjg 

somitistWefjgeinkonvexesFunktional.Folglich:istPxj(x)(x)?Wefjg erweistsichalsdieKovarianzmatrixdesFeldes,istalsopositivdenit,und @j(x)@j(x0)=h(x)(x0)i?h(x)ih(x0)i; (249) 

tionalen: zudenentscheidendenRelationenzwischendenvonunseingefuhrtenFunk- 

extremal,sokannessichnurumeinMaximumhandeln.Wirkommennun 

98

Theorem EsseiWfgdieWirkungeineseuklidischenFeldes,Wefgdie ihrzugeordneteeektiveWirkungundWefjgdaserzeugende Legendre-Transformationauseinanderhervor: FunktionalderKumulanten.DanngehenWeundWedurcheine Wefg=sup Wefjg=sup (Pxj(x)(x)?Wefg) j(Pxj(x)(x)?Wefjg) (250) 

BeideFunktionalesindkonvex. (251) 

Beweis.DieDenitionenbenutzendkonnenwirschreiben: Xxj(x)(x)?Wefjg=Xxj(x)(x)?~logZfjg =inf "h;Wi?~S()?Xxj(x)f(x)?h;(x)ig# 

inf =Wefg [h;Wi?~S()jh;i=] 

DieUngleichungentsteht,weildasabsoluteMinimumimmertieferliegtals dasMinimum,daswirineinemTeilraumvonW-Maennden,derdurch 

vonj(x).Wirwissenbereits,daeseineFunktionjgibt,furdieGleichheit eineNebenbedingunggegebenist.DieobereSchrankegiltfurjedenWert erreichtwird,namlichdann,wennh(x)ij=(x)erfulltist.IndiesemFall 

Alsogilt(250).DieBehauptung(251)folgtmitdemgleichenArgument.Die KonvexitatvonWehabenwirschonobengezeigt.Sei=1+(1?)2, Wefg=hj;Wi?~S(j): (252) 

0

IndemwirdasSupremumuberallejbilden,erhaltenwir: 

DiesbestatigtdieKonvexitatvonWeunddasTheoremistbewiesen. ZwischendendreiwesentlichenFunktionaleneinerFeldtheoriegibtes Wef1g+(1?)Wef2gWefg 

Zusammenhange,diewirineinemDiagrammveranschaulichen: 

klassischeWirkung Wfg 

Variationsprinzip ???? 

funkt.Integration @@@@ 

eektiveWirkung ???? 

@@@@R Wefg Legendre-Transf. 

- Wefjg=~logZfjg erzeug.Funktional 

FurdieWirkungeinesfreienFeldesderMassemschreibenwir Wfg=12(;(?+m2)):=12Xx " Xif@i(x)g2+m2(x)2# 

EsisteineleichteUbungsaufgabe,indieserspeziellenSituationerstWeund (253) 

dannWezuberechnen.Manerhalt: 

Fistdiein(4.41)berechnetefreieEnergie;sieisteineKonstante,weder Wefg=12(;(?+m2))+F Wefjg=12(j;(?+m2)?1j)?F (254) 

abhangigvonnochvonj.WennwirvondemAuftretendieserKonstanten (255) 

absehen,sohabenwiresmitbilinearenFunktionalenzutun,dieselbstverstandlichkonvexsind,weildieBilinearformenpositivsind.DaruberhinausgiltdieBeziehungWefg=Wfg+F.Sieistcharakteristischfurfreie 

Felder. 100

5.7 nestrengenocheineplausibleBegrundungdafur,dadieeektiveWirkung DerPunktistgekommen,woeineWarnungangebrachterscheint.Esgibtkei- 

DaseektivePotential 

wiederdieGestalt Wefg=Xx ( 12Xi(@i(x))2+Ue((x))) 

habensollte.Bestenfallskann(256)alsAnsatzfureineNaherungangesehen 

Ansatzwie(256)andieSpitzezustellen.DieVorzugeliegenaufderHand: spontaneSymmetriebrechungzustudieren,sokannesvorteilhaftsein,einen werden,wennmanvoneinerklassischenWirkungWausgegangenist.Ist manjedochnuranderModellbildunginteressiert,umErscheinungenwiedie 

DaserzeugendeFunktionalWefjgfurdieKumulantendesFeldesist kungzuerhalten.UmfangreicheIntegrationenuberRaumehoherDi- 

mensionwerdensovermieden. durcheineeinfacheLegendre-TransformationausdereektivenWir- 

AuchnachAusfuhrungdesthermodynamischenundKontinuums-Limes vollstandig,wahrenddieklassischeWirkungWihreBedeutungfurdie behaltdieeektiveWirkungihreBedeutungunddeniertdasModell 

InAbhangigkeitvondenverschiedenenParameternderTheorielat Wechselwirkungi.allg.gegenNullstreben. Theorieverliert,weildie(unrenormierten)Kopplungskonstantender 

sichanhanddereektivenWirkungderUbergangvondersymmetrischenindieunsymmetrischePhase,d.h.indiePhasederspontanen 

BrechungeinerSymmetrie,leichtstudieren:dieBrechungsetztdann 

HatdieeektiveWirkunggenaudieForm,wiesiedurch(256)vorgegebenist,sokanndieSymmetriegegenuberTranslationenx7!x+sodasGleichgewicht,dannnurunterzweiBedingungenangenommen 

nichtspontangebrochensein.DerGrundist,dadasMinimum,al- 

wird: 1.@i(x)=0,d.h.(x)=c=konstant. 2.Ue(r)istminimalfurr=c. 

eineunsymmetrischeLosungbesitzt. ein,wennWezwarsymmetrischist,aberdasProblemWe=Minimum 

101

nezentraleStellungzukommt.SeineMinimaentscheidendaruber,obdas DerletztePunktmachtdeutlich,dademeektivenPotentialUe(r)ei- 

dieinWirklichkeitdurchQuantenuktuationen(Einschaltenvon~)zerstort DasklassischePotentialU(r)gibthierubernurunzureichendeAuskunft.SeineMinimakonnenmituntereinespontaneBrechungfalschlichvorhersagen, 

ModellsichinseinersymmetrischenoderunsymmetrischenPhasebendet. 

wird. abhangigvonderGultigkeitderDarstellung(256)denierenkann,soda dieExistenzdieserwichtigenGroegesichertist.DieAntwortistdenkbar einfach. DieswirftdieFrageauf,obmandaseektivePotentialnichtauchun- 

Denition furkonstantes(x): DaseektivePotentialistdieeektiveWirkungproGitterplatz 

dies,dadasMinimumdereektivenWirkungfureinkonstanteserreicht IstdieSymmetrieunterTranslationennichtspontangebrochen,sobedeutet Ue(r)=N?4Wefg (x)=r (257) 

wird.DiesesMinimumdecktsichdannmitdemMinimumdesdurch(257) denierteneektivenPotentials.ImFalleeineseinzigenreellenSkalarfeldes bleibtsomitnurdieMoglichkeit,dadieSymmetrie7!?spontangebrochenwird,d.h.esgiltUe(?r)=Ue(r)unddasMinimumliegtbeir=c6=0. 

GenaudieswirdauszweiGrundenerschwert: 

2.AufeinemendlichenGittersindalleAbbildungen 1.DaseektivePotentialisteinekonvexeFunktion.Denndieeektive WirkungisteinkonvexesFunktionalundesgilt(257). 

analytischeFunktionenvonz2C.DieEigenschaftendesklassischen PotentialshabenhieraufkeinenEinu.Aus(257)folgt,daauch z7!Wefzjg z7!Wefzg 

derSymmetrieUe(?r)=Ue(r)genaueinMinimumbesitzt,dassichan Manuberlegtsichleicht,daeinkonvexesundanalytischesPotentialmit Ue(r)eineanalytischeFunktionvonrist. 

derSteller=0bendet.Schlufolgerung: 102

AufeinemendlichenGittergibteswedereinenPhasenubergang, nocheinespontaneSymmetriebrechung,nocheinKondensath(x)i6= 

deseektivenPotentialsnurdieAnalytizitatmoglicherweiseverloren.Und AufeinemunendlichenGitter(beiN!1also)gehtvondenEigenschaften 0. 

dennochzubeobachten,wiedieSkizzeverdeutlicht: diesgibtunseineChance,diespontaneBrechungderSymmetrie7!? 

Wiemansieht,wirddiespontaneBrechungnurdadurchermoglicht,dadas eektivePotentialaufeinemsymmetrischenIntervall[?c;c]konstantist. konstant.DenbeidenEndpunktendesIntervallsentsprechenGleichgewichtszustande,beschriebendurchW-Mae?und+,sodah;(x)i=c 

EinesolcheFunktionkannnichtanalytischsein,esseidenn,sieistuberall 

eseinGleichgewicht,beidemdasKondensatverschwindet. gilt.AberauchjederandereWertdesIntervalls[?c;c]trittalsmogliches Kondensatauf.Denn,fur0

det,jedochinderunsymmetrischenPhaseeinenWert6=0annehmenkann jedemFall,sowieinderFeldtheorie:Wefg=Minimum.Esentspricht allgemeinerPraxis,einevariableGroederTheorieimmerdanneinenOrdnungsparameterzunennen,wennsieindersymmetrischenPhaseverschwin- 

(abernichtmu,weildiesvondemZustandabhangt). 

Phase.UnterhalbdesCurie-PunktesverhaltsichdasMaterialferromagne- 

sichdasMaterialparamagnetisch;esbendetsichinderO(3)-symmetrischen (einVektor)einesPermanentmagneten.OberhalbdesCurie-Punktesverhalt DasklassischeBeispieleinesOrdnungsparametersistdieMagnetisierung 

dessenAbschaltungeineremanenteMagnetisierungMrmitderRichtung ProbedesFerromagneteneinstarkesMagnetfeldwirken,sondenwirnach tisch;esbendetsichdanninderunsymmetrischenPhasemitspontanerBre- 

chungderRotationssymmetrie.Lassenwiraufeinezunachstunmagnetisierte desFeldes.DasgleicheExperimentmitdementgegengesetztenMagnetfeld erzeugteineremanenteMagnetisierung?Mr.AlleWertedessymmetrischen perimenterreichtwerden.InjedemFallbendetsichdasSystemineinem Intervalls[?Mr;Mr]konnenfurdieMagnetisierungdurcheingeeignetesEx- 

einGleichgewichtausbildenkonnte.WirlernenausdiesenBeispielauch,da renFeldessolangsamerfolgte(quasistatisch),dasichzujedemZeitpunkt thermodynamischenGleichgewicht,wenndiezeitlicheVeranderungdesaue- 

einaueresFeld(inderFeldtheorie:j)notigist,umdemOrdungsparametereinenvonNullverschiedenenWertzugeben.FuhrenwirmitHilfeeines 

zeitabhangigenFeldeseinenKreisprozeaus,sobeobachtenwiru.U.eine Hysteresis-Schleife;sieistcharakteristischfurdieExistenzeinerunsymmetrischenPhase. 

5.8 schichtederPhysikdiesesJahrhundertseinewichtigeRollespielte.Esgeht WirwendenunseinemProblemderkondensiertenMateriezu,dasinderGe- 

DieGinsburg-Landau-Gleichungen 

dabeiumdieBeschreibungdessupraleitendenZustandeseinesElektronengasesinderNahedesPhasenubergangesmitdenMethodendereektiven 

Wirkung.InteressanteEektestellensichein,wennderSupraleitermiteinem nesraumlichwiezeitlichkonstantenMagnetfeldeskannsichuberraschender- 

weisekeinhomogenersupraleitendenZustandeinstellen.Vielmehrkannder SupraleiternuraufdreiWeisenaufdasFeldreagieren: 1.DasMagnetfeldwirdverdrangt(Meissner-Ochsenfeld-Eekt). 2.DasMagnetfeldzerstortdensupraleitendenZustand. 

auerenelektromagnetischenFeldinWechselwirkungsteht.BeiAnlegungei- 

104

DieletzteMoglichkeitdeniertdenSupraleiterzweiterArt.Ginsburgund Landauhaben1950dasVerhaltendesSupraleitersineinemauerenFeld 3.EininhomogenersupraleitenderZustandwirdgebildet. 

sichbeidiesenGleichungenumdieGleichgewichtsbedingungenhandelt.Sie leitensichauseinemVariationsprinzipher,demzufolgediefreieEnergieein durchnichtlineareGleichungenbeschrieben,diezuihrerZeitalsBasiseiner 

Minimumannehmensoll.DiefreieEnergieisteinFunktionaldesOrdnungs- 

phanomenologischenTheorieangesehenwurden.Heutewissenwir,daes 

parameters2CunddemimInnerenherrschendenVektorpotentialA,bei- 

desFunktionenvonx2E3.AufderBasisdermikroskopischenBCS-Theorie kenntmannunauchdieNaherungen,dienotigsind,damitdasGinsburg- gefunden,dieKonstantenderGL-TheorieausdenatomistischenGroenzu Landau-Funktionalhergeleitetwerdenkann,d.h.manhateinenMoglichkeit 

genundlauten: schranktist.DieGinsburg-Landau-GleichungenenthaltenkeineZeitableitun- 

berechnen.BeidemBemuhen,dieGL-Gleichungenzurechtfertigen,zeigte sich,daihrGultigkeitsbereichaufdieNahedeskritischenPunkteseinge- 

?1 4m(r+2ieA)2=?2jj2 r(rA)=ie 2m(r?r)?2e2 mjj2A (259) (258) 

SielosendasVariationsproblem 

furdasvonuntenbeschrankteFunktional We=Rd3xf12(rA)2+1 Wef;Ag=Minimum (260) 

DiedarinvorkommendenGroenbedurfenderErlauterung: 4mj(r+2ieA)j2?jj2+jj4g (261) 

DerSupraleiterbesitzteineendliche,wennauchgroeAusdehnung. 2mistdieMassederCooper-Paare,und?2eistihreLadung. DasVektorpotentialunterliegteinerRandbedingung,dieausdruckt, 

DiekomplexeFunktionbeschreibtdasKondensatderCooper-Paare. da MagnetfeldB=rAamRandstetigindasAuenfeldubergeht. das 

EshandeltsichdabeiumeinenmakroskopischenOrdnungsparameter desGesamtsystemsundkann{bisaufeineunwesentlicheAnderungder 105

PfeilemarkierendiebeidenHelizitatszustande. Normierung{alsderErwartungswerth Mikrozustandangesehenwerden.Dasnichtrelativistische zurBeschreibungderElektroneninderNahederFermi-Kugel.Die "(x)#(x)iindem(variablen) 

-Felddient 

BisaufeineadditiveKonstantestelltWediefreieEnergiedesFermi- charakterisiert. gewichtistdurchdieTemperaturTunddieBedingungWe=Minimum GasesinderNahethermodynamischenGleichgewichtesdar.DasGleich- 

DieParameterderTheoriesind: 

(kF=Fermi-Impuls,F=Fermi-Energie,(s)=RiemannscheZetafunktion, 

=(T)=62Tc 7(3)F(Tc?T) = 14(3)mkFF>0 94T2c 

DieStrukturvonWeunddieInterpretationalsfreieEnergiezeigtuns, gang. Tc=kritischeTemperatur).wechseltdasVorzeichenamPhasenuber- 

zutunhaben,derenallgemeineTheoriewirfurviereuklidischeDimensionenerlauterthaben.DasGL-FunktionalhatnureinenSchonheitsfehler:fudung27derLegendre-Transformationauff.ImGL-Funktionalndenwirdiallkleinerodergleichfist.ZugleichentstehtfdurchzweimaligeAnwen- 

dawireshiermiteinerdreidimensionalenVariantedereektivenWirkung 

dieEinhullendefzuordnen;diesistdiegrotekonvexeFunktion,dieuber- 

namlichjedernachuntenbeschrankten,jedochnichtkonvexenFunktionf Ta 

TTc,alsofur

nesKondensat(x).ObwohldiefreieEnergieinvariantistgegenuberglo- 

balenU(1)-Eichtransformationen,ndenwirnichtinvarianteGleichgewichts- 

zustande:indersupraleitendenPhaseistdieU(1)-Symmetriespontange- 

brochen.OberhalbderkritischenTemperatur,alsoindernormalleitenden Phase,gilt=0imGleichgewicht,unddieEichinvarianzistwiederhergestellttischeFeldausderGleichung 

normalleitendenZustandstattndet.InguterNaherungergibtsichdaskri- 

FurT

lationen ist.QuantenwirbeltretenauchinSupraussigkeiten(Helium)auf.DieTrans- 

a0beschreibteinenumdenVektoraverschobenenWirbelfadenundstellt ((Bax)=Spatprodukt)bildeneineSymmetriegruppe28furdasProblem(262). (x)!a(x)=(x?a)expfie(Bax)g (267) 

(imIdealfallunendlichausgedehntes)zweidimensionalesGittersenkrechtzu SuperpositionvonQuantenwirbelnanverschiedenenOrten.SeiGeingroes sichtigungdernichtlinearenTermeindenGL-Gleichungen{entstehtdurch ebenfallseineGleichgewichtslosungdar.DieallgemeineLosung{ohneBeruck- 

B,sokonnenwirihmeineGleichgewichtslosungderfolgendenArtzuordnen: 

Abrikosovhat1952gezeigt,dabeiBerucksichtigungdernichtlinearenTermeindenGL-GleichungendasGleichgewichtfureinDreiecksgittereintritt, 

fallsnurFunktionenderFormGzurKonkurrenzzugelassensind.Wirbe- 

UmlaufumeinenWirbelfadensichdiePhasevonum2andert.Diezwei- 

G(x)=Xa2G0(x?a)expfie(Bax)g (268) 

vonquantisiertenWirbeln.DieQuantisierungauertsichdarin,dabeidem obachtendaherineinemSupraleiterzweiterArteineperiodischeAnordnung 

worden. teGL-Gleichungsagtuns,dasichentlangeinesjedenWirbelfadenseine quantisiertist.DieExistenzdieserFlurohrenistexperimentellbestatigt Flurohreausbildet,inderdermagnetischeFlunichtverschwindetund 

28SiehedieVorlesungGruppentheorieundQuantenmechanik,SS1988. 108

6 QuantisierungderEichtheorien DiegangigeVorstellung,daWissenschaftler unerbittlichvoneinemwohlbegrundetenFaktungenbeeinussenzulassen,istganzfalschmalsvonirgendwelchenunbewiesenenVermutumzumnachstenfortschreiten,ohnesichje- 

DieeuklidischeVersionderMaxwell-Theorie AlanTuring 

6.1.1DieklassischeSituation(~=0) WirbeginnendieDiskussionderEichtheorienmiteinerSkizzederklassischen Maxwell-TheorieimeuklidischenRaum.Ausgangspunktistdaseuklidische PotentialAk(x)mitreellenKomponenten.Esistwichtig,dawiresvon demPotentialAM(x)imMinkowski-Raumunterscheiden.BeidePotentiale hangenformaldurcheineErsetzungsregelmiteinanderzusammen: iA0M(x0;x)=A4(x;x4)x4=ix0 

DieseRegelmiachtet,dainbeidenTheoriendasPotentialalsreellvorausgesetztwird.FallsjedochdieKomponentendesPotentialsanalytische 

Funktionenvonx4undinvariantgegenuberderZeitumkehrsind,kanndie ErsetzungsregelalseineVorschriftzuranalytischenFortsetzunginterpretiert werden,diedieRealitatderPotentialerespektiert.AlsZeitumkehrbetrachtenwirdieAbbildung 

AkM(x0;x)=Ak(x;x4)k=1;2;3 (270) (269) 

undA=Abesagt,daA4eineungeradeFunktion,A1;A2;A3geradeFunktionenvonx4sind. 

[A]k(x;x4)=?Ak(x;?x4)k=4 Ak(x;?x4)k=1;2;3 (271) 

Theorie): scheidenvondenentsprechendenGroenderpseudo-euklidischenMaxwell- elektrischenundeinemmagnetischenAnteilzerlegtwerden(wohlzuunter- 

DieeuklidischeFeldstarkeFk`=@Àk?@kA`kannwiedernacheinem 

B=fF23;F31;F12g=fF14;F24;F34g E=fF14;F24;F34g=fF23;F31;F12g (272) 

109 (273)

HieristFderzuFdualeTensor.EsgiltF=F.BeidemUbergangzum dualenTensorvertauschendieVektorenEundBihreRollen.GiltE=B, soheitFanti-selbstdual.DieZerlegungineinenselbstdualenundeinenan- 

aquivalentF=F,soheitFselbstdual.GiltE=?B,aquivalentF=?F, tiselbstdualenAnteilisthierimmerimReellenausfuhrbar.ImMinkowski- 

beidenirreduziblenDarstellungen(1;0)und(0;1)undistdaruminvariantge- 

peallerDrehungendesRaumesE4.DieZerlegungdesFeldesentsprichtden sichgemaeinerreduziblenDarstellung(1;0)(0;1)derSO(4),derGrup- 

Raumwardiesnichtmoglich.DaseuklidischeMaxwell-FeldFtransformiert 

jedeSpiegelungI:E4!E4mitdetI=?1selbstdualeundanti-selbstduale genuberSO(4)-Transformationen29.SieistjedochnichtO(4)-invariant,weil 

auererQuelleals Komponentenmiteinandervertauscht. WirschreibendieeuklidischeWirkungfurdasklassischePotentialmit 

HierbeihandeltessichumeinkonvexesFunktional,wiemananderalternativenForm(276)leichterkennt.DieentscheidendeFragelautetaber:Ist 

WfAg=Rd4xf14Fk`(x)Fk`(x)?jk(x)Ak(x)g (274) 

WfAgauchvonuntenbeschrankt?Diesistnotwendig,damiteinklassisches Gleichgewichtexistiert.ImanderenFallwaredieklassischeFeldtheorienicht stabil.Nungilt undF2=0genaudann,wennF=0ist,alsofurAk=@kfmiteiner Eichfunktionf.FureinsolchesPotentialhabenwir F2=FikFik=2(E2+B2)0 

nacheinerpartiellenIntegration,undWfAgist,wiemansieht,nichtvon untenbeschrankt(fistjabeliebig),esseidenn,dieQuellfunktionerfulltdie WfAg=Zd4xf(x)@kjk(x) (275) 

GdieuniverselleUberlagerungsgruppederSO(4).SiehehierzudieKapitel3.3und5.1.3 SU(2)SU(2).DiebeidenGruppensind,wiemansagt,lokalisomorph.Zugleichist derVorlesungGruppentheorieundQuantenmechanik,SS88.DieDarstellungstheorieder 29DieGruppeSO(4)besitztdiegleicheLie-AlgebrawiedieProduktgruppeG= 

duzibleSpinordarstellung(j;k)derSO(4)(DarstellungbisaufeinVorzeichen)liegtvor, wenndieersteSU(2)durchdenSpinj,diezweitedurchdenSpinkreprasentiertist.Eine SO(4)benotigtdaherdieDarstellungenderSU(2)alsBausteine.Dieunitareundirre- 

gewohnlicheDarstellungderSO(4)liegtvor,wenn(?1)2j+2k=1ist.BeidemWechsel hierzudasKapitel1.2derVorlesungQFTI. (j;k)derSO(4)indienicht-unitareSpinordarstellungDjkderLorentz-Gruppeuber.Siehe vondereuklidischenzurpseudo-euklidischenStrukturgehtdieunitareSpinordarstellung 

110

Bedingung@kjk(x)=0.Diesesvoraussetzendkonnenwirschreiben: WfAg=12(A;CA)?(A;j) Ck`=@k@`?k` =12((A+?1j);C(A+?1j))?12(j;(?)?1j) C0 (276) (277) 

DerDierentialoperatorCistzwarpositiv,jedochnichtinvertierbar.AusgenutztwurdeC(?)?1j=jalsFolgederStromerhaltung.DasErgebnis 

(278) 

auchhinreichendfurdieStabilitatist,unddadasVariationsproblem zeigt,dadieDivergenzfreiheitdesStromesnichtnurnotwendig,sondern 

dieallgemeineLosungAk=(?)?1jk+@kfbesitzt,wobeidieEichfunktionf beliebigist.DieMehrdeutigkeitderLosungkommtdadurchzustande,dader WfAg=Minimum (279) 

durcheineEichtransformationauseinanderhervor;dieGruppederlokalen EichtransformationenoperiertineinersolchenWeiseaufderLosungsmannigfaltigkeit,daeine1:1-KorrespondenzzwischenLosungenundEichtransformationenbesteht.DasMinimumselbstisteindeutig,d.h.unabhangigvon 

inf Af12(A;CA)?(j;A)g=?12(j;(?)?1j) =?12(2)?2Zd4xZd4yjk(x)jk(y) jx?yj2 (280) 

OperatorCzwarpositiv,jedochnichtinvertierbarist.JezweiLosungengehen 

derWahlderEichfunktionf: 

DerIntegralkern(2)?2jx?yj?2=S(x?y;0)istdieSchwinger-Funktioneines masselosenSkalarfeldes(siehedieFormeln3.12und3.13).Stillschweigend (281) 

wurdevorausgesetzt,dadasauftretendeDoppelintegralfurgroeWerte ElementedesRaumes vierdimensionaleneuklidischenRaumzeit.Formalbetrachtet,sindStrome vonjxjundjyjkonvergiert.DieSingularitatbeix=yistintegrabelinder 

PotentialeAElementedesDualraumesJ0.DaruberhinauserfordertdieStabilitat,dieStromealsElementedesUnterraumes 

J=fj:R4!R4j(j;(?)?1j)

wirsiealsElementdesDualraumesJ0auassen.DenninJ0werdenzwei PotentialeAundA0ausJ0alsgleichbetrachtet,falls(A;j)=(A0;j)furalle j2J0gilt,unddiesistgenaudannerfullt,wenn 

fureineEichfunktionfgilt. Zugleichbeschreibt(282)dieallgemeinelokaleU(1)-Eichtransformation. A0k=Ak+@kf (282) 

anderesalsderFaktorraumvonJ0bezuglichderWirkungdieserEichgruppe: BezeichnenwirmitGdiehierdurcherzeugteEichgruppe,soistJ0nicht 

schenMaxwell-Theorie.DergroerePhasenraumJ0besitztvieleuberussige DieserFaktorraumerweistsichalsdereigentlichePhasenraumdeseuklidi- 

J0=J0=G (283) 

Freiheitsgrade.Eristgefasert,wobeidiePunkteeinerFaserphysikalischaquivalentsind.JedeFaserstellteineKopiederGruppeGdar.ImFaktorraum 

einenReprasentantenzuwahlen,umsomitzueinerkonkretenBeschreibung bereitsausreichendbeschreibt. schrumpftjedeFaserzueinemeinzigenPunkt,derdenZustanddesSystems 

desFaktorraumeszugelangen:manidentiziertdenFaktorraumganzeinfach mitdemSystemderReprasentanten.MansprichthierauchvoneinemQuerschnitt(eng.crosssection).InderRegelkonstruiertmaneinenQuerschnitt 

desFaserraumesdadurch,damaneineFlachewahlt,diejedeFasertransver- 

sichstetigvonFaserzuFaserverandern,wirdEichxierunggenannt.Die salineinemPunktschneidet.DieserVorgang,beidemdieReprasentanten FlachewirddurcheineGleichungfestgelegt,diemanEichbedingungnennt. 0erreichen.AnsichhandetessichhierbeiumeinKontinuumvonBedin- 

Rd4x(@kAk(x))2=0.MitderEinfuhrungeinesLangrangeschenMultiplikagungen(furjedesxeine).UmnureineBedingungzuhaben,schreibenwir 

EineEichxierungkonnenwiretwadurchdieLorentz-Bedingung@kAk= 

WieimmerinsolchenSituationenbestehtderWunsch,aufjederFaser 

tors>0erhieltenwirsodasVariationsproblem 

Wahrendfur=0dieWirkungnichtstriktkonvexist,sondernvielmehr einRegenrinnenProlzeigt, WfA;g:=Rd4xf14Fk`(x)Fk`(x)+12(@kAk)2?jk(x)Ak(x)g=Minimum (284) 

112

giltfur>0,daWfA;geinstriktkonvexesFunktionalistmiteinem (Hangematten-Prol): eindeutigenMinimumundeinemmonotonenAnstieginalleRichtungen 

113

undndendasMinimummitderobendargestelltenMethode: umdieStabilitatderWirkungzugarantieren.Wirfordernlediglichj2J Nunistesnichtmehrnotwendig,denStromalsdivergenzfreivorauszusetzen, 

WfA;g=12(A;CA)?(A;j) =12((A?C?1j)C(A?C?1j))?12(j;C?1j) (285) 

C?1=(1??1)?2@@??1 C=(1?)@@?>0 (287) (286) 

Also A2J0WfA;g=?12(j;C?1j) inf (289) (288) 

DasInmumwirdnuranderStelleA=C?1jangenommen.DieEindeutigkeitkommtdadurchzustande,daCfur>0eininvertierbarerpositiverOperatorist.SobaldderStromjdivergenzfreiist,lautetdieLosundruckuberein.Fazit:dieErsetzungderursprunglichenWirkungWfAgdurctungdesMinimumsderWirkungwurdejedochaufgehoben.Anstellevon 

WfA;gmit>0hatdiePhysikinkeinerleiWeisebeeinut,dieEntar- 

Ak=(?)?1j+@kf(fbeliebig)erhaltenwirnunmehrdenReprasentan- 

A=(?)?1junddasMinimumstimmtmitdemfruherberechnetenAus- 

6.1.2DieallgemeineSituation(~>0) tenAk=(?)?1j,derdieLorentz-Bedingung@kAk=0erfullt.Mannennt 12Rd4x(@kAk)2deneichxierendenTerminderWirkung. 

NachdemwirdieklassischeTheoriegutimGrihaben,konnenwirdurch \Einschalten"von~diezugehorigeQuantenfeldtheorieerzeugenundihreEi- 114

genschaftenstudieren.AndieStelledesHamiltonschenPrinzipsderkleinsten WirkungtrittnundasVariationsprinzip 

wobeieinW-MaaufJ0darstellt,uberdaszuvariierenist.Jedem isteineEntropieS()zugeordnet(umderenDenitionwirunshiernicht h;Wi?~S()=Minimum (290) 

sorgen),undWistdurch WfA;g=12(A;CA)=Zd4xf14Fk`(x)Fk`(x)+12(@kAk)2g 

mitindieWirkungaufgenommen.DurchHinzunahmeeineseichxierendenTermswirderreicht,dabeiVariationuberalleW-MaeaufJ0wir 

genaueinGibbs-Manden,furdash;Wi?~S()minimalist.Wiesoll mandaslosendeGibbs-Mabeschreiben?EinTeilderAntwortlautet:das 

gegeben.DieWechselwirkungmiteinemauerenStromhabenwirnicht C=(1?)@@? (>0) (291) 

denierendeGleichungsofortangeben: volligerAnalogiezudenFormelnfureinfreiesSkalarfeldkonnenwirhierdie Gibbs-Maistfestgelegt,wennmanseineFourier-Transformiertekennt.Mit demHinweisaufdiefruhergetroeneVereinbarung(s.Seite49oben)undin Zd(A)ei(j;A)=hei(j;A)i=expf?12~(j;C?1j)g ben: SiecharakterisiertalseinGau-MaaufJ0,furdaswirauchformalschrei- 

(j2J) (292) 

d(A)=DAZ?1exp(?~?1WfA;g) Z=ZDAexp(?~?1WfA;g) (293) 

FaserraumJ0?EntlangeinerjedenFaser WelcheAuswirkunghatdereichxierendeTermaufdieIntegrationuberden 

(Afest,fvariabel)wirdexp(?~?1WfAf;g)zueinerGau-GlockemitMaximumbeif=0,sodaderHauptbeitragdesFunktionalintegralsausder 

Afk=Ak+@kf @kAk=0 

UmgebungderMannigfaltigkeit@kAk=0kommt.Jegroergewahltwird, umsomehrahneltdieGau-Funktioneiner-Funktion. 115

desPotentialsAk(x).DieKenntnisderZweipunktfunktionistdazuausreichend: 

AusdemerzeugendenFunktional(292)erhaltenwirallen-Punktfunktionen 

hAk(x)A`(x0)i=~[C?1]k`(x;x0) = (2)4Zd4p(?1?1)pkp` ~ p2+kèxpfip(x?x0)g 

derWirkungab.DieseTatsachespiegeltnurwieder,daaufdemklassischen DieseFunktionhangtvon,alsovonderWahldeseichxierendenTermsin 

NiveaudasPotentialeineeichabhangigeGroeist.DerunbeobachtbareParameterfalltheraus,sobaldwirzudenFeldstarkenubergehen: 

hFjk(x)F`m(x0)i= cjk;`m(p)=k`pjpm+jmpkp`?j`pkpm?kmpjp` (2)4Zd4pcjk;`m(p)expfip(x?x0)g ~ p2 

AlleGroen,dieaufklassischemNiveaueichinvariantsind,bleibenineinerQuantenfeldtheorieunberuhrtvonderEinfuhrungeichxierenderTerme. 

=1Feynman-Eichung.HieristdieeuklidischeZweipunktfunktion ZweiSpezialfalletrageneinenNamen: 

=1Landau-Eichung.DieseWahlmarkierteinensingularenGrenzfall,weildieMatrixPmitdenKomponentenpk`=k`?p?2pkpèinen 

VerfahrenzurQuantisierungvonAM. desPotentialsproportionalzuk`.DasentsprichtdemGupta-BleulergehorigeGibbs-MaesistdieFlache@kAk=0(ImLimes!1 

entartetdasGau-Ma:injederRichtungtransversalzurFlachewird ausderGau-Glockeeine-Funktion). Projektordarstellt:esexistiertC?1,abernichtC.DerTragerdeszu- 

6.2.1EinigeVorbetrachtungen UmmoglichsteinfacheunddenierteVerhaltnissezuhaben,betrachtenwir Nicht-abelscheEichtheorien 

dieSU(n)-EichtheorieohneMaterie-Feld.Wirerinnerndaran,dadieLie- Algebrasu(n)ausantihermiteschenspurfreienMatrizenbesteht,dieman (a=1;:::;n2?1)existiert,sodadietahermiteschespurfreienn-Matrizen alsElementeeinesreell-linearenRaumesauat,indemeineBasis?ita sindmit 12Spurtatb=ab: 116

DaseuklidischeEichfeldAk(x)nimmtWerteinsu(n)anundkanndeshalb nachderBasiszerlegtwerden: 

DieKomponentenAak(x)sindgewohnlichereelleVektorfelder.Dernicht- 

Ak(x)=?iXaAak(x)ta (294) 

abelscheCharakterderEichgruppebewirkt,dadieseVektorfelderunterein- 

anderinWechselwirkungstehenunddieKopplungskonstantegnichtNull gesetztwerdendarf.Manerkenntdiesdaran,dagausdenFeldgeichungen eliminiertwerdenkann,etwadadurch,damangAk(x)alsdasneuePotential nahezuallenFormelnverbanntwird:nurdieeuklidischeWirkungenthaltdie einfuhrt.DieserNormierungskonventionwollenwirhierfolgen,weilsogaus KopplungkonstantenochinFormeinesVorfaktorsg?2. gibtesverschiedeneDarstellungen: DiekovarianteAbleitungschreibenwiralsDk=@k?Ak.FurdieFeldstarken 

DieeuklidischeWirkungistalleinindenFeldstarkenausdruckbar: Fk`=[Dk;D`]=DÀk?DkA` =Akj`?A`jk+[Ak;A`] (295) (296) 

Sieistpositiv,weilmannacheinerZerlegungFk`=?iPaFak`taauchschreibenkann: 

(297) WfAg=?1 8g2Zd4xSpurFk`Fk` 

WfAg=1 4g2Zd4xXak`(Fak`)2 

Funktionenaufzufassensind, DielokaleEichgruppeGbestehtausElementenu,diefursichgenommenals (298) 

wobeidieEichtransformationdesPotentialsdurch u:E4!SU(n);x7!u(x); 

gegebensind.WieinQFTIbewiesen,istujku?1furfestesxundkein ElementderLie-Algebrasu(n). Auk:=uAku?1+ujku?1 (299) 

DasW-Ma d(A)=DAZ?1exp(?~?1WfAg) 117 (300)

istausdenGrunden,wiewirsieschoninderMaxwell-Theoriekennenlernten,schlechtdeniert,jaunsinnig,weileszuvieleRichtungenimRaumder 

Potentialegibt,indenendieWirkung(wegenderEichinvarianz)konstant ist.Auchhiersindwirgenotigt,eineneichxierendenTermindieWirkung WfA;g=?1 einzufuhren: 

neweiteresbehaupten,damitderneuenWirkungErwartungswertewie Jedoch,imGegensatzzudemabelschenFallkonnenwirjetztnichtoh- 

8g2Zd4xSpurfFk`Fk`+(Akjk)2g (>0) (301) 

hFkj(x)F`m(y)iautomatischunabhangigvondemParametersind(dieStorungstheoriezeigt,dadasnichtderFallist).DaphysikalischeErgebnissenicht 

Stufen.FernabvondemgesichertenBodenderMathematikbewegenwiruns bessereWahlderWirkunguberlegen.DerWegdorthinfuhrtubermehrere 

nunineinemBereich,indemdiemathematischeFantasievorherrschendist. voneinemunphysikalischenParameterabhangendurfen,mussenwirunseine 

JedesElementderEichgruppeGhatdieGestaltu(x)=ea(x)mita(x)2 6.3.1ErsteStufe:EineZerlegungderZahl1 DieFaddeev-Popov-Theorie 

furdiedieBedingungkak2:=?12Rd4xSpurfa(x)g2

Untergruppeu(s)2G(s0)vonEichtransformationeninsAugefassen.Wir habendann DieBedeutungdesOperatorsdkwirdklar,sobaldwireineeinparametrige 

und,wieaus(299)folgt,Au(s) u(s)=esa=1+sa+O(s2) 

k=Ak+sdka+O(s2) a2H (303) 

d.h.dkacharakterisiertAnderungendesPotentialsbeiinnitesimalenUmeichungen. 

DieLorentz-BedingungAjk (304) 

unterEichtransformationennichterhalten,undinnitesimaleAnderungen lassensichmitHilfedesOperatorsM=?@kdkangeben: k=0schreibenwirauch@A=0.Siebleibt 

EineVariantederLorentz-Bedingungist@A=CmitC2H.Furdieweitere @Au(s)=@A?sMa+O(s2) Ma=?a+@k[Ak;a] (a2H) (306) (305) 

DiskussionbenotigenwireinewichtigeVoraussetzung: 

InWorten:dieEichbedingungistnureinmalentlangeinerFaserfAuju2Gg Gilt@A=CfureinPotentialAkundC2H,sobesitzt@Au=C 

erfullt.Eshatsichherausgestellt,dadieseHypothesestrenggenommen nurdieLosungu=1. 

beidenGleichungen@kAk=0 falschist(Gribovambiguity).FurC=0stelltsichdieSituationsodar:die 

fuhrenauf @kak+[ak;Auk]=0 @k(uAku?1+ujku?1)=0 ak:=ujku?12H (308) (307) 

MitdemAnsatzak(x)=@k(x)undunterderBedingung(1)genugend klein,(2)Agenugendgro,gibtesneben=0wenigenstenseineweitere Losung6=0derDierentialgleichung.DievonGriboventdeckteMehrdeutigkeittrittfurgewissePotentialeAauf.EineUmgebungvonA=0 

ististfreidavon.MoglicherweiseistderEinwandvonGribovphysikalisch dieBasisinH: irrelevant.EsentsprichtderallgemeinenPraxisihnzuignorieren. WirparametrisierennundiegesamteEichgruppeGundwahlenhierzu u=exp1X=1se119s2:=1X=1s2

DieEntwicklungsformellautetnun: 

BesitztCdieEntwicklungC=P1=1ce(c2R)undgilt@A=C,so @Au=@A?1X=1sMe+O(s2) (310) 

erhaltman: 

WirfuhrennuneineDeltafunktionein,dieimFunktionalintegraldieEichbedingung@A=Caufrechterhaltensoll.Wirdenieren(derBodenwird 

c?(e;@Au(s))=1X=1s(e;Me)+O(s2) (311) 

nunschwankend!): fC?@Ag:= 1Y=1(c?(e;@A)) (A;C):=ZGDufC?@Aug (312) 

detM:=det(e;Me);=1;:::;1 (313) 

indemwirunsvorstellen,daGeininvariantesMa(HaarschesMa)Du besitzt,dasineinerUmgebungdesneutralenElementesu=1dieFormhat: (314) 

Beachte:ObwohlSU(n)einekompakteGruppeistunddeshalbeinendliches Du=f(s1;s2;:::)1Y=1ds f(0;0;:::)=1 

expfsagbereitsnichtkompakt(d.h.derGruppeRisomorph)ist,wenna(x) Gruppenvolumenbesitzt,giltdiesnichtmehrfurG.WienichtkompaktG einestetige,jedochnichtkonstanteFunktionaufE4darstellt.Somithaben wirklichist,merktmandaran,dajedeeinparametrigeUntergruppeu(s)= 

WirformulierenzweiBehauptungen: wir vol(G)=ZDu=1 

Aus@A=Cfolgt Furalleu2Ggilt(Au;C)=(A;C). (A;C)=jdetMj?1 (315) 

120

Der\Beweis"benutztdieDenitionen,dieMiachtungdesEinwandesvon Gribov,dieEntwicklungsformel(311),dieEigenschaftderDeltafunktion30 unterAnderungderKoordinatenunddieInvarianzdesMaesDu. AlsZerlegungderZahl1bezeichnenwirdieFormel 

6.3.2ZweiteStufe:DivisiondurchdasGruppenvolumen 1=(A;C)?1ZDu(C?@Au) (316) 

EsseiffAgeineichinvariantesFunktionalvonAk(x),d.h.esgiltffAug= ffAgfuralleu2G.DerMittelwert 

ist,wiewirwissen,schlechtdeniert.WirfugendeshalbinZahlerundNenner hfi=RDAexp(?~?1WfAg)ffAg 

unterdemIntegraldieDarstellungderZahl1ausdemvorigenAbschnittein 

=1 (317) 

underhaltensonachVertauschungderIntegrationsreihenfolge: 

DieEichinvarianzdesMaesDAbenutzendndenwir: hfi=RDuRDA(A;C)(C?@Au)?1exp(?~?1WfAg)ffAg RDuRDA(A;C)?1(C?@Au)exp(?~?1WfAg) 

DieFunktionale(A;C),WfAgundffAgsindjedocheichinvariant.Somit hfi=RDuRDA(Au?1;C)?1(C?@A)exp(?~?1WfAu?1g)ffAu?1g 

istderIntegrandgarnichtabhangigvonu2G.Ergebnis: 

hfi=vol(G)RDA(A;C)?1(C?@A)exp(?~?1WfAg)ffAg 

Eigenschaften(0)=0und(x)=mx+O(x2),m6=0,folgt 30EsseiUReineUmgebungvonx=0.FureineBijektion:U!Umitden 

AusdieserGrundformelbeweistman:FureineUmgebungURnvonx=0undeiner ZUdx((x))=jmj?1 

folgt Bijektion:U!UmitdenEigenschaften(0)=0und(x)=Mx+O(x2),detM6=0, 

EsgibtSituationen,indeneneineErweiterungdieserFormelaufRaumeunendlicher DimensioneinenSinnhat. ZUdx((x))=jdetMj?1 

121

tion(317). vol(G)=1eineUrsachefurdasungunstigeVerhaltenderAusgangsdeni- 

HierkurztsichdasGruppenvolumenheraus.OensichtlichistdieTatsache 

schreiben: Cbeschriebenwird.Somitkommt(315)zurAnwendung,undwirkonnen aufdieMannigfaltigkeiteingeschrankt,diedurchdieEichbedingung@A= DieFunktionalintegraleinZahlerundNennersinddurchdie-Funktion 

hfiZDAjdetMj(C?@A)e?~?1WfAg= 

BeideSeitenwerdennunuberC2HmitdemW-Ma ZDAjdetMj(C?@A)e?~?1WfAgffAg 

d(C)=z?1DCexp? kCk2=(C;C)=Xc2 4~g2kCk2 DC=Ydc (>0) 

integriert.FureineichinvariantesFunktionalffAgistderMittelwerthfi unabhangigvonC.WirvertauschenwiederdieIntegrationsreihenfolgeund erhalten: hfi ZDAjdetMjexp?1~WfAg? 4~g2k@Ak2= 

Esistunsgelungen,deneichxierendenTermindieWirkungeinzufuhren. DieneueWirkunghatdieForm(301).Also: 4~g2k@Ak2ffAg 

EtwasunerwartetundnichtvorauszusehenistdasAuftreteneinerDeterminanteunterdemIntegral.IneinerabelschenEichtheoriekurztsichdetM 

(318) hfi=RDAjdetMjexpf?~?1WfA;ggffAg 

heraus,weildannderOperatorMunabhangigvondemPotentialAk(x) abelscheEichtheorie.EsbestehtjedochkeinZweifel:ohneirgendeineForm derRegularisierungistdieseDeterminanteundeniert. ist.DieAnwesenheitderDeterminanteistalsocharakteristischfurdienicht- 

122

6.3.3DritteStufe:TanzderGeister 

vonMbezuglichderBasis(e)reell.Esistzubetonen,dai.allg.Mkein Wirerinnerndaran,daHalseinR-linearerRaumundMalseinR-linearer 

gilt:Mistgenaudannsymmetrisch31,wenndieLorentz-Bedingung@A=0 symmetrischerOperatorist,d.h.wirhaben(a;Mb)6=(Ma;b).Vielmehr OperatoraufdiesemRaumeingefuhrtwar.FolglichsinddieMatrixelemente 

erfulltist.DieseSituationlatsichnurimLimes!1(Landau-Eichung) herstellen.SelbstwennMsymmetrischist,hangtesvonAk(x)ab,obder Operatorpositivist.FurA=0giltinderTatM=?0.Esistnicht einmalgewi,obdiePositivitatnochineinerUmgebungvonA=0erhalten bleibt. EineRegularisierungderDeterminantevonderArt 

einenpositivenWertanderStelleA=0an.WanngiltalsojdetNMj= lieferteinereelleZahl.GleichzeitigistdetNMeinFunktionalAundnimmt detNM=det(e;Me);=1;:::;N (319) 

dannweglassen,wenndiefolgendeBehauptungkorrektist: detNMimFunktionalintegral?DieAbsolutzeichendurfenwiroenbargenau 

AuchhierkonnenwirdieRichtigkeitnurfureineUmgebungvonA=0sofort einsehen.DenBeweisfurgroeWertedesPotentialsmussenwirschuldig FurjedesEichpotentialAgiltdetNM0. 

sohattemanvoneinerZerlegungderfolgendenArtauszugehen: kungdesEichpotentials.Wolltemansiestorungstheoretischberucksichtigen, bleiben. DerFaktordetMimFunktionalintegralbeschreibteineSelbstwechselwir- 

det(1+K)=expSpurlog(1+K) detM=det(?)det(1+K) Ka=??1@k[Ak;a] a2H (320) 

=expSpur(K?12K2+) (323) (322) (321) 

kungendesEichpotentialsmitsichselbst.Diesistnichterwunscht,undwir dasResultateinerlokalenWechselwirkungseinsoll,soverlangtdiesvonuns, DerOperatorKundseinePotenzenfuhrenunsaufnichtlokale32Wechselwir- 

suchennacheinemanderenWegderBeschreibung.WenndieDeterminante 

tionvonK. 31Furallea;b2Hgilt(a;Mb)?(Ma;b)=([a;C];b)mitC:=@A. 32DerGrundhierfuristdieAnwesenheitdesnichtlokalenOperators?1inderDeni- 

123

demEichpotentialwechselwirken: dawirktivesu(n)-wertigeSkalarfelder(x)und(x)einfuhren,diemit det(~?1M)=ZDDexpf?~?1(;M)g (;M)=?12Zd4xSpur(x)(M)(x) (325) (324) 

HiertrittnebendergewohnlichenAbleitungjkauchdiekovarianteAbleitungauf: 

=?12Zd4xSpurfjk(x)kk(x)g (326) 

DamitdieDarstellung(324)mitHilfeeinesIntegralsvomGau-Typkorrekt ist,mussendieFelderundGrassmann-Variablesein(dieswirdindem Kapitel7naherbeschrieben).Gemeintistdiesso:entwickelnwirdieFelder kk(x)=[Dk;](x)=@k(x)+[(x);Ak(x)] (327) 

respondierendaherauchkeinebeobachtbarenTeilchen,undwirbezeichnen nachderBasis?itdersu(n),sosinddiedadurchdeniertenFeldkomponentenandGrassmann-Variable.Daessichhierbeiumphysikalische 

undalsGeisterfelder(sog.Faddeev-Popov-Geister).Siehabenlediglich Felderhandelt,durfenwirnichteinmalalsHypotheseeinfuhren.IhnenkordederFunktionalintegrale)durchEinfuhrungeinerlokalenWechselwirkung 

dieAufgabe,dieQuantisierungnicht-abelscherEichtheorien(mitderMetho- 

sozubeschreiben,daeineStorungsreiheerzeugtwird,derenTermedurch 

MasseundSpin.HandelteessichumwirklicheTeilchen,sowaredasSpin- verwendenwill,soentsprechendenGeisterfeldernGeister-Fermionenohne Feynman-GraphenimherkommlichenSinneausdruckbarsind. 

Statistik-Theoremverletzt.DieGeistergehoreneinemMultiplettan,dasder WennmandasTeilchenbildfurdieFaddeev-Popov-Geisteruberhaupt 

entspricht.DieWechselwirkungbehandeltundnichtinsymmetrischer adjungiertenDarstellungderEichgruppeSU(n)mitderDimensionn2?1 Weise:diesistsehrungewohnlichfurFermi-Felder.NurimGrenzfall!1 (Landau-Eichung)gilt(;M)=(M;)=(;M). DieendgultigeWirkunghatdieGestalt: 

DreiunterschiedlicheAusdruckebestimmendieseFormel,(1)dieklassische WfA;;;g=?12Zd4xSpurf(2g)?2[Fk`Fk`+(Akjk)2]+jkkkg 

EnergiedichtederFeldstarkeFk`,(2)dereichxierendeTermund(3)die WechselwirkungmitdenGeisterfeldern. 124

DieKontinuumsformulierungderEichtheoriencharakterisiertdasEichfeld 6.4 DieFormulierungvonWilson EichtheorienaufdemGitter 

formationu(x)istujk(x)u(x)?1keinElementderLie-Algebramehr,sobald dieseInterpretationdesEichfeldesungeeignet.Grund:fureineEichtransgruppeG.SobaldwirdenRaumE4durchdasGitter(ZN)4ersetzen,ist 

alseineFunktionmitWertenineinerLie-AlgebragzurkompaktenEich- 

dieAbleitungdurcheinenDierenzersetztwird:ujk(x)=u(x+ek)?u(x). FurdasGitterbenutztman,einemVorschlagvonWilsonfolgend,einesehr eleganteneueFormulierung,diedieseSchwierigkeitvermeidet. chesSystemvondynamischenVariablenUkx2G.DasIndexpaarkxdient zurCharakterisierungeinerKante(eng.link)derGitters.DieKanteverbindetzweibenachbartePunkte(Abstand1)imGitterundistgerichtet:sie 

DasursprunglicheEichpotentialAk(x)2gwirdersetztdurcheinendli- 

fuhrtvonxzux+ek.UntereinerlokalenEichtransformationverstehenwir 

furjedeWahlvonu(x)2G.DieGruppeallerlokalenEichtransformationenistsomitkompakt,namlichgleichdemdirektenProduktvonkompakten 

Ukx!Uukx:=u(x+ek)Ukxu(x)?1 (328) dieVorschrift 

DieExistenzdesHaarschenMaesaufGistgewahrleistet,undwirhaben Gruppen: G=YxG (ProduktuberalleGitterpunkte) (329) 

DerPhasenraumdieserFeldtheorieebenfallsistkompakt.DennerentsprichteinemdirektenProduktvonkompaktenRaumen: 

vol(G)=Yxvol(G)=Yx1=1 (330) 

AusdiesemGrundsprichtmanauchvonderkompaktenFormulierungder =YkxG (ProduktuberalleKanten) (331) 

dasunendlichausgedehnteGitter.DurcheineSkalentransformationfuhren wirdieGitterkonstanteaeinundschreibenindemneuenSystemUkx= Eichtheorien,alsoetwavonderkompaktenQED,derkompaktenQCDusw. 

expfaAk(x)gmitx2(aZN)4.ImLimesa!0beschreibtAk(x)dasEich- 

WiegewinntmandieKontinuumsformulierungzuruck?Wirbetrachten 

potentialimKontinuum.Wirzeigen,daesdierichtigenTransformations- 

eigenschaftenbesitzt: 125

Esseiu:E4!Gdierenzierbar.Danngilt 

DerBeweisisteinfach:manentwickeltnachaundvergleichtdielinearen mitAuk=uAku?1+ujku?1 u(x+aek)eaAk(x)u(x)?1=eaAuk(x)+O(a2) 

konnenwirdemEichpotentialAk(x)GruppenelementederfolgendenArt TermeaufbeidenSeiten. zuordnen33: GehenwirnunumgekehrtvoneinerKontinuumsformulierungaus,so 

HieristCirgendeingerichteterWeginE4.FuhrtCgeradewegsvomPunkt xzumPunktx+aek,soschreibenwirUC=UkxundhabensodieGitterapproximationdesEichfeldesgewonnen. 

UC=expZCdxkAk(x) (332) 

WegCidentischmitdemRandeinesorientiertenFlachenstuckesQist.Wir mitHilfedesSatzesvonGauaufdieFeldstarkezuruckfuhren,wennder schreibendannC=@Qund FurdieQEDimKontinuumlassensichWegintegraledesPotentialsA 

Z@QdxkAk(x)=ZZQdxk^dx`Fk`(x) desWegintegrals: IndennichtabelschenEichtheorienubernimmteineandereGroedieRolle (333) 

DasP-ExponentialistderLimeseinespfadgeordnetenProduktes UC=PexpZCdxkAk(x) (334) 

PexpZCdxkAk(x)=lim Uni=expZCnidxkAk(x) n!1UnnUn2Un1 

graledesPotentialssindsomitdimensionslos.Fur~6=1mussenwirschreiben:UC= 33Bei~=c=1istdiephysikalischeDimensiondesPotentialsLange?1.Weginte- 

n!1max lim1injCnij=0 C=Cnn++Cn2+Cn1 

expf~?1RCdxkAk(x)g.DieNormierungdesPotentialsistsogewahlt(s.Abschnitt5.2.1), daesdieKopplungskonstantebereitsalsFaktorenthalt.IneinerU(1)-Eichtheorieist dieseKonventionjedochunublich.AuerdemwahltmanhierAundFreell.Wollteman 

vorzunehmen. dieallgemeinenUberlegungenaufdieVerhaltnissederQEDubertragen,sohattemanin allenFormelndiesesAbschnittesdieErsetzung A!?ieAF!?ieF12Spur!1g2!e2=4 126

HierbeiwirdderWegCinnTeilstuckeCnizerlegt(beginnendmitCn1),deren LangenjCnijgegenNullstreben.Ist@QdieBerandungeinesQuadratesQ mitderSeitenlangea,sogilt 

konstruieren,dieimLimesa!0dieFeldstarkeFbeschreibt.AlsPlakette DieseFormelkannunsdazuverhelfen,diejenigeGroeaufdemGitterzu logU@Q=ZZQdxk^dx`Fk`(x)+O(a3) (a!0) (335) 

desGittersbezeichnenwirjedes(orientierte)Einheitsquadrat,dasvonvier KantendesGittersberandetwird: x+e` 

x? 

- 6 x+ek+e` 

DieBezeichnungfureinesolchePlakettelautetp=xk`mit1k

TermenderOrdnunga2entwickelt. AuchhierfuhrtmandenBeweis,indemmanbeideSeitennachabiszu tionFurkleineWertederGitterkonstantenaerhaltenwirsodieApproxima- 

DieWirkung,wiesieWilsonvorschlug,lautet: W(U)=1 1?U@p=a2Fk`(x) p=Plakettexk` (338) 

HierwirduberallePlakettendesGitterssummiert.Dabeiistzubeachten, 4g2XpSpur(1?U@p)(1?U@p) (339) 

daPpmitPxPk

EinenaheliegendeAntwortware:DielokaleEichsymmetriewirdimLimes desunendlichgroenGitters(N!1)spontangebrochen;dieverschiedenen anderenWorten:istinWirklichkeiteinOrdnungsparameter. VorfaktordeseichxierendenTermsinderWirkung,charakterisieren.Mit Gleichgewichte,diesicheinstellen,lassensichdurchdenParameter,den 

sagt:dieInvarianzeinerGittertheorieunterlokalenEichtransformationen istimthermodynamischenLimesniemalsspontangebrochen(ElitzursTheorem).OenbarliegtdieAntwortindenDetailsdesKontinuumslimes(a!0) 

DieAntwortkannjedochnichtrichtigsein;denneinwichtigesResultat 

verborgen.Wirsindaberweitdavonentfernt,dieseDetailszukennen. 

6.5.1StatischeApproximationderYukawa-Kopplung UnsernachstesZielistdieeichinvarianteCharakterisierungderKrafte,die DieKunstderSchleifen(WilsonLoops) 

durchdenAustauschvonEichbosonenhervorgerufenwerden.Wirerinnern aneinfruher(QFTIAbschnitt7.4)diskutiertesBeispiel:dieWechselwirkungzweiergeladenerTeilchenderMassenmundM,vermitteltdurchden 

zeigtesich,dadieWechselwirkungdesleichterenTeilchensmitdemalsunlichenTeilseinerdynamischenFreiheitsgradeein,weilaufeskeineEnergie 

wurde.InderstatischenNaherungbuteinschweresTeilcheneinenwesentendlichschwergedachtenPartnerdurchdasCoulomb-Potentialbeschrieben 

AustauscheinesPhotons,imLimesM!1,demsog.statischenLimes.Es 

Storungstheorie,daalleBeitragezurStreuungverschwinden,beidenendas schwereTeilchenvirtuell,d.h.inFormeinerinnerenLiniedeszugeordneten Feynman-Graphen,auftritt.MannenntdiesdieEntkopplungdesgeladenen ubertragenwerdenkann.DerLimesM!1bewirkt,inderSpracheder 

TeilchensvondemPhotonfeld.DieEntkopplungallergeladenenTeilchenbewirkt,daeinU(1)-EichfeldeinfreiesFeldist,dessenPropagatorinder 

Gupta-Bleuler-QuantisierungdieFormhat: DieAnwesenheiteinesschwerenTeilchensrufteinenauerenStromjhervor. DieeinfachsteGestalt,dieeinsolcherStromhabenkann,ist (;TA(x)A(x0))=?gDF(x?x0) (343) 

Hierbeiwurdeangenommen,dadasTeilcheninx=0ruhtundkeineAusdehnungbesitzt.JederStromerzeugteinklassischesMaxwell-Feldinseiner 

j0=q3(x);j1=j2=j3=0 (344) 

Umgebung: Aklass (x)=(;TA(x)A(j)) 129 (345)

HatderStromdiespezielleForm(344),soerhaltenwir Aklass 0 =qV(r);Aklass V(r)=?Z1 ?1dx0DF(x)=1 i =0;i=1;2;3r=jxj 4r (346) 

AufdiesesResultatsindwirschonfruhergestoen.Eshangt,wiewirhier sehen,vondergewahltenEichungdesPhotonfeldesab. (347) 

derFermionenandasEichfeldA(x)2su(n).InderstatischenNaherung, beiderFermionenundEichfeldentkoppeln,gehtdasEichfeldnichtinein freiesFelduber:dernichtabelscheCharakterderEichgruppeverhindertdies. AhnlichliegendieDingeineinerSU(n)-EichtheoriemitYukawa-Kopplung 

DieAnwesenheiteinesschwerenFermionserzeugteinenStromj(x)2su(n) unddiesereinklassischesPotentialAklass Jedochsindwirnichtmehrsicher,welcheFormeshat. GewohnlichndenwirdasVerhalten (x)=(;TA(x)A(j))2su(n). 

Esbewirkt,dadieKraft,diezwischenzweischwerenFermionenwirksam ist,furgroeAbstandegegenNullstrebt.DieFermionenerfahrenalsoeine (;TA(x)A(x0))!0 jx?x0j!1 (348) 

wirklicheStreuungundsindnichtaneinandergebunden.Zweifelkommen 

weilesdieZufuhreinerunendlichenEnergievoraussetzt.DieseErscheinung, FermionenwurdendanninkeinemExperimentalsfreieTeilchenauftreten, Funktionenauchanwachsenkonnen.DiemitdemEichfeldwechselwirkenden auf,obdiesinallenEichtheorienwirklichderFallist,obnichtFeynman- 

Schwinger-FunktiondesPhotonfeldesermitteltwerden: PotentialV(r)=(4r)?1,dasfurdieQEDtypischist,kannauchausder wennessieuberhauptgebensollte,nenntmanimEnglischenconnement. WirkehrenzureuklidischenFormulierungderFeldtheoriezuruck.Das 

hAk(x)A`(x0)i=k`S(x?x0)+eichabhangigeTerme V(r)=Z1 ?1dx4S(x) r=jxj (349) 

Grund:DieFourier-Transformierte~S(p;p4)entstehtdurchanalytischeFortsetzungaus?~DF(p0;p),abernurderWertindemPunktp0=p4=0geht 

indieRechnungein:indiesemPunkthabenwir~S(p;0)=?~DF(0;p). (350) 

statischenNaherungdasPhotonfeldfreiistundS(x)=(2)?2x?2gilt.Das klassischeeuklidischePotentialeinerStromverteilungjkistdanndurch DieVerhaltnissesinddeshalbsoeinfachinderQED,weilnacheiner 

Aklassk (x)=hAk(x)A(j)i=1 13042Zd4x0jk(x0) 

(x?x0)2 (351)

gegeben.Setzenwirspeziellj1=j2=j3=0;j4=q3(x),soerhaltenwir daselektrostatischePotentialeinerPunktladungqinunveranderterForm. 6.5.2SchleifenintegraleindereuklidischenQED ExperimentellwirddasPotentialAklass ruhendePunktladungq0imAbstandR)ausgemessen.DieTestladungdenierteinenweiterenStromj0,unddierelativeEnergiebeiderStromelat 

k durcheineweitereLadung(z.B.eine sichals 

angeben.HierhabenwirzunachstdieWirkungderStromejundj0zwischen E=lim T!11 42TZx4=T=2 x4=?T=2d4xZx04=T=2 x04=?T=2d4x0jk(x)j0k(x0) 

denZeiten?T=2undT=2berechnetunddanndieWirkungproZeitim (x?x0)2 (352) 

und?eimAbstandRkonnenwirdurcheinengeschlossenenPfadCim gegenNull,wenndiebeidenLadungensepariertwerden. LimesT!1alsWechselwirkungsenergieinterpretiert.DieEnergiegeht 

euklidischenRaum,demsog.Wilsonloop,inFormeinesRechteckesmitden SeitenRundTapproximieren: DieSituationzweiruhendepunktformigeTeilchenmitdenLadungene 

T=2Zeit6 

- 

Raum 

MitHilfedieserSchleifeformenwirzunachstdasSchleifenintegral ?T=2 R ? 

unddanndenErwartungswert AC=ZCdxkAk(x) (353) 

hACACi=ZCdxkZCdx0kS(x?x0); 131 (354)

aberauchdieSelbstwechselwirkung,namlichdasProduktSelbstenergieT, enthalt. derfurgenugendgroesTdieWirkungderLadungeneund?eaufeinander, 

ladungensingular.StattdenLadungeneinegewisseAusdehnungzugeben, regularisierenwirdasIntegral,indemwirS(x)durch DasIntegral(354)istwegenderunendlichenSelbstenergievonPunkt- 

ersetzen.DasregularisierteIntegralbezeichnenwirmithACACia.DieIntegrationistnunelementarunderzeugteineReihevonAusdrucken: 

0 x2a2 

22hACACia=Ta?logTa+log1+T2 +Ra?logRa+log1+R2?2TRtan?1TR 

(0tan?1x=2).DieVorschriftdasPotentialzuerrechnenlautet: T2?2RTtan?1RT (356) 

MitihrerhaltenwirdasErgebnis V(R):=lim T!11 2ThACACia (357) 

DieKonstante(42a)?1isteineunbeobachtbareGroe.Fura!0strebtsie V(R)=1 42a?1 

nach1.DerzweiteTermbeschreibtdasanziehendeCoulomb-Potentialder 4R (358) 

beidenTeilchenmitentgegengesetzterLadung. berechnen,erhaltman,wennvonderU(1)-Variablen EineaquivalenteVorschrift,dasPotentialzweierstatischerLadungenzu 

ausgegangenwird.DennihrErwartungswerthangtmitdemebenberechnetenengzusammen: 

UC=expf?ieACg=expf?ieRCdxkAk(x)g (359) 

NacheinerRegularisierungundmitdemobengewahltenWegCerhielten wirdieasymptotischeDarstellung hUCi=expf?12e2hACACig (360) 

hUCi=expf?e2V(R)Tg 132 T!1 (361)

Weisediskutieren,beiderRaumundZeitsymmetrischbehandeltwerden. DasasymptotischeVerhaltendesErwartungswerteshUCikannmanineiner 6.5.3FlachengesetzoderUmfangsgesetz? 

UnterwerfenwirdieSchleifeCeinerDilatation,diealleKoordinatenmit denSeitenRundTsoanwachsen,daRundTzugleichgegen1streben demgleichenFaktormultipliziert,sowurdeeingegebenesRechteckmitden unterFesthaltungvonR=T.AusdenFormeln(356)und(360){gultigfur dieQED{folgtdanndieasymptotischeDarstellung 

mit=e2=(82a).DajCjderUmfangdesRechteckesist,sprechenwirhier voneinemUmfangsgesetz.DiesGesetzistoenbarcharakteristischfureine hUCi=expf?jCjg jCj=2R+2T;R;T!1 (362) 

Situation,beiderV(R)furgroesRkonstantwird,und?erweistsichals dieSelbstenergiederLadungeneund?e: R!112e(?e)V(R)=?e2 

P-ExponentialdesSchleifenintegralswieimAbschnitt5.3deniert.Apriori NunseiAk(x)dasEichfeldfureinenichtabelscheEichgruppeundUCdas lim 82a 

wissenwirnichtsuberdasasymptotischeVerhaltendesErwartungswertes Langenskalaaein,aufdieRundTbezogensind:hUCiisteineFunktionder hUCi.EineRegularisierungistaberauchhiersichernotwendig,damitder AusdruckuberhaupteinenSinnbekommt.DieRegularisierungfuhrteine dimensionslosenGroenR=aundT=a. 

dieGitterkantenc1;:::;cn,diederPfadCmitderLangen=2R+2Tder unitareMatrixUCisteinpfadgeordnetesProdukt,namlicheinProduktuber kalaundeineweitereRegularisierungisthieruberussig.Esseia=1.Die AufeinemGitterubernimmtdieGitterkonstanteadieRolledieserLangens- 

Reihenachdurchlauft(beginnendmitc1): 

SelbstwennderWegCgeschlossenist,alsowennC=@Ggilt,besitzter UC=UcnUc2Uc1 Uc=Uxkc:x!x+ek 

einenAnfangspunktx,vondemUCabhangt.Dasmacht,daUC(imnichtabelschenFall)immernocheichabhangigist.ErstSpurU@Gistunabhangig 

vondemgewahltenAnfangspunktundeichinvariant.GleichesgiltfurhU@Gi; 

U?1 xkc:x+ek!x (363) 

denninderWilson-FormulierungistdieWirkungundsomitauchderGibbs- Zustandeichinvariant. 133

sion: ZweiunterschiedlicheasymptotischeVerhaltensweisenstehenzurDiskus- 

AberauchandereMoglichkeiten,diezwischendiesenbeidenOptionenliegen, hU @Gi=expf?j@GjgUmfangsgesetz(kein'connement') 

sindtheoretischdenkbar.StrenggenommenlatsichdiesesVerhaltennurauf expf?jGjg Flachengesetz('connement') (364) 

einemunendlichgroenGitterformulierenundauchdortnuruberprufen. DieKonstanten,odersindnotwendignichtnegativ(warum?).Wirhaben schongesehen,daFermioneninderstatischenNaherungalsfreieTeilchen auftreten,wenndasUmfangsgesetzgilt.Wasfolgt,wenndasFlachengesetz inKraftist?FureinRechteckmitdenSeitenRundThabenwirdann einerseits andererseitsaberhU@Gi=expf?RTg hU@Gi=expf?V(R)TgR;T!1 T!1 (366) (365) 

Also Ergebnis:UnterdenFermionenziehensichTeilchenundAntiteilchenim AbstandR(genugendgro)mitkonstanterKraftan,undwirbeobachten V(R)=R R!1 (367) 

denEektdes'connement'.Einigessprichtdafur,dadieseSituationin TeilchenindengegenwartigenExperimentensehen. derQCDauftritt,wodurcherklartwird,dawirdieQuarksnichtalsfreie 

134

77.1Fermionen 

WirbeginnenmiteinemRuckblickaufdieDirac-TheorieimMinkowski- RaumM4undsetzeninallenFormeln~=1.Genausowieesmanchmal DasDirac-FeldmitachtKomponenten 

FeldeinzufuhrenundbeideFelderalsgleichberechtigtzubetrachten,so wirdman{wennesangebrachterscheint{nebendemDirac-Feld bequemseinkann,nebeneinemkomplexenSkalarfeldauchdaskonjugierte 

einenachtkomponentigenBispinorzuformen: seinenladungskongugiertenPartner = ceinfuhren,umausbeidenFeldern 

c auch 

DurchdieVerdopplungderKomponentenerreichenwir,dadieLadungskonjugationdurcheinelineareTransformationbeschriebenwerdenkann:sie 

(368) 

deVorschriftein: vertauscht InderDirac-TheoriefuhrtmandieLadungskonjugationdurchdiefolgen- 

mit c. 

wobeidie44-MatrixCdurchdieEigenschaften c(x)=C(x)T 

(C)T=C CT=C=C?1=?C (370) (369) 

deniertist.Insbesonderesehenwir,daCunitarist.FurdievonunsbenutzteDarstellungderDirac-Matrizen(sieheQFTIAbschnitt1.3.1)gilt 

MitderublichenZerlegunginzweikomponentigeSpinoren C=i20=?i2 0 i2 0 i2=01 ?10 

= (371) 

lautetdieVorschriftso: c=c c 

RechtshandigeSpinorenwerdeninlinkshandigeverwandeltundumgekehrt. c(x)=i2(x) c(x)=?i2(x) (373) (372) 

FurdieschwacheWechselwirkung(Salam-Weinberg-Theorie)kanndeshalb dieLadungskonjugationkeineSymmetriesein. 135

FureinfreiesDirac-FeldderMassemgilt(sieheQFTIAbschnitt6.3.2): 

AufdemFockraumexistierteinunitarerOperatorU,derdieSymmetrieoperationandemFeldausfuhrt,oder,wiemanauchsagt,derdieSymmetrie 

(y)T)=0 (; (;(x) (x)(y))=S+(x?y;m) 

DieExistenzvonUfuhrtdenRelationen implementiert: U (x)U?1= c(x) c(y)T)=(; U= c(x) Beachtenwir c(y)T=?(y)C,sokonnenwirzusammenfassendschreiben: (; c(x) c(y)T)=0 (y)T) (375) (374) 

(;(x)(y)T)=?S+(x?y;m)C 0 ?S+(x?y;m)C 0 :=W2(x;y) HierbetrachtenwirW2(x;y)alseine88-MatrixaufmitdenElementen 

Allgemeinlassensichdien-Punktfunktionen W2(x;y)ab=(; a(x) b(y)) (a;b=1;:::;8) 

alleWnfurungeradesn.HandeltessichspeziellumeinfreiesFeld,sogilt alsTensorenauassen.WegendesFermi-CharaktersdesFeldesverschwinden Wn(x1;:::;xn)a1an=(; a1(x1) an(xn)) (376) 

dieRekursionsformel Wn(x1;:::;xn)a1an= Xi=1(?1)i+1Wn?2(x1;:::;^xi;:::;xn?1)a1âian?1W2(xi;xn)aian(377) n?1 

Feld.CharakteristischfurdasFermi-Feldist,dadieeinzelnenBeitrageein VerwendungvonAntivertauschungsrelationen. diemaningleicherWeiseableitet,wiedieentsprechendeFormelfureinBose- alternierendesVorzeichenbekommen.DiesesVorzeichenentstehtdurchdie 

136

leibenwirbeidenFormelnfurdasfreieDirac-Feld.Esgilt 7.2 UmdasWesendesUbergangeszumeuklidischenKontinuumzubegreifen, DaseuklidischeDirac-Feld 

wobeiwirmitMdiegewohnlichenDirac-MatrizenfurdenMinkowski-Raum bezeichnethaben.BeieinerErsetzungix0!x4isteszweckmaig,zueuklidischen-Matrizenuberzugehen: 

S+(x;m)=(iM@+m)+(x;m) (x2M4) (378) 

tungennachKoordinatenx2E4.DadurcherhaltdieeuklidischeZweipunkt- 

funktiondieGestalt S2(x;y)=(@=?m)C 0 (@=?m)C 0 S(x?y;m) (x;y2E4,dieFunktionS(x;m)wurdeimAbschnitt3.2vorgestellt),und dieneuen-MatrizenerfullendieRelation (380) 

WirmachenwiederGebrauchvonderAbkurzung@==k@kfurdieAblei- 

k=?ikM(k=1;2;3)4=0M (379) 

DieseRelationsagt,daessichhierbeiumdieErzeugereinerCliord- Algebra(uberdemreell-linearenRaumE4)handelt.Furdievonunsbenutzte k`+`k=k` k;`=1;:::;4 (381) 

DarstellungderDirac-Matrizengiltk=k. AntisymmetriedereuklidischenZweipunktfunktion: KonsequenzderRelationenCT=?Cund(C)T=C)erhaltenwirdie AusS(x?y;m)=S(y?x;m)und((@=?m)C)T=(@=+m)C(eine 

DieseEigenschaftistentscheidendfurdieKonstruktiondeseuklidischen Dirac-Feldes (x),weilsiedazufuhrt,da S2(x;y)=?S2(y;x)T (382) 

gilt.Grund:dieRekursionsformel a(x) b(y)=? b(y) a(x) (383) 

Sn(x1;:::;xn)a1an= Xi=1(?1)i+1Sn?2(x1;:::;^xi;:::;xn?1)a1âian?1S2(xi;xn)aian(384) n?1 

137

metriedern-Punktfunktion: zusammenmitderAntisymmetriederZweipunktfunktionfuhrtzurAntisym- 

(=beliebigePermutationvon1;2;:::;n).DieanBeispielengewonnene ErkenntnisdientunszurallgemeinenGrundlage: Sn(x1;:::;xn)a1an=sgnSn(x(1);:::;x(n))a(1)a(n) (385) 

WirmochtenBose-undFermi-FelderingleicherWeisemitdenMethoden EuklidischeFermi-Felderbesitzenantisymmetrische,Bose-Felder 

derkommutativenAlgebrabehandeln.Dasistnurdannmoglich,wenndurch symmetrischeSchwinger-Funktionen. 

kommutierendenGroengemachtwerden.Diesverlangt,dasowohldiea(x) IntegrationmitgeeignetenQuellfunktionena(x)dieFermi-Felder alsauchdie AlgebraAsind: a(x)erzeugendeElementeeinergemeinsamenGrassmann- a(x)zu 

a(x)b(y)+b(y)a(x)=0 b(y)a(x)=0 (386) 

(a;b=1;:::;8).Ineinemgewissen,nochzuerlauterndenSinnesinddie a(x) (387) 

FeldvariablendualzudenQuellfunktionen,undwirkonntendieseTatsache (388) 

durchdieSchreibweisea(x)= Wirdenieren ()=Zd4x a(x)a(x)=?Zd4xa(x) a(x)unterstreichen. 

lenElementenderGrassmann-Algebra.Erwartungswertekonnenahnlichwie underhaltensoeine(nahezu)klassischeGroe;dennsiekommutiertmital- 

a(x) 

imFallderBose-Felderdeniertwerden.DieKenntnisdesn-tenMomentes h wieimBose-FallauseinemGauischenFunktionalhergeleitetwerden: des,und,fallsessichumeinfreiesFeldhandelt,konnendieMomentegenau ()nigibtunsvollstandigenAufschluuberdien-PunktfunktiondesFel- 

Efg=exp(?Sfg)=1+1Xn=11n!h Sfg=12Zd4xZd4yS2(x;y)aba(x)b(y) ()ni (390) (389) 

138

Dierentialoperators.Istdashierauchso?Wirsetzen ImFalledesfreienSkalarfeldeswarS2(x;y)derIntegralkerneinesinversen 

undnden F0=C(@=+m) 0 C(@=+m) 0 (391) 

FurdenIntegralkernvonF?1 F?1 0=(@=?m)C 0 (@=?m)C 0 (?+m2)?1 0erhaltenwirsomit (392) 

Wirkonnendaherschreiben: F?1 0(x;y)=(@=?m)C 0 (@=?m)C 0 S(x?y;m)=S2(x;y) 

DieOperatorenF0undF?1 Sfg=12(;F?1 0)12Zd4xa(x)[F?1 

warenuundvgewohnlicheFunktionenmitWerteninC8,sowaren(u;F0v) 0sindantisymmetrischindemfolgendenSinne: 0]a(x) (393) 

und(u;F?1 

DarstellungderfolgendenArtbesitzen34: Gau-FunktionaldesneuenTypsdurchgefuhrtwerdenkannunddawireine Abschnitt6.5.4,wirdgezeigt,dadieFourier-Laplace-Transformationfurein 0v)antisymmetrischeBilinearformeninu;v.Spater,namlichim 

mitdereuklidischenWirkungWeinesfreienDirac-Feldes: Efg=expf?12(;F?1 0)g=RD RD exp( exp(?Wf ()?Wf g) g) (394) 

Wf g=Wf =12Zd4xf ;g=12( (x)TC(@=+m) ;F0)12Zd4x c(x)+ c(x)TC(@=+m) a(x)[F0 ]a(x) 

=Zd4x(x)(@=+m) (x)g 

zerlegt: DabeihabenwirdeneuklidischenBispinor = c wiederingewohnlicheSpinoren (395) 

desFeldes,uberdieintegriertwird. 34WirmachennunkeinenUnterschiedmehrzwischendemFeld c(x)=C(x)T undden\Pfaden" (396) 

139

AndieserStellewirdnundeutlich,dadieeuklidischeVersionderDiracsehrkompaktenFormulierung(394)kannmanselbstverstandlichauchzterscheidet,daaufdemRaumE4dieSpinoren 

und TheoriesichvonderFormulierungimMinkowski-Raumschondadurchun- 

einerBeschreibungzuruckkehren,diedasgewohnteBildderWirkung,ausgedrucktin 

Efg=Ef;g=Z?1ZD undenthalt.SowurdenwirfurdaserzeugendeFunktional c)alsunabhangigedynamischeVariableeingefuhrtwerden.Nebender und(aquivalent 

dern-Punktfunktionenauchschreibenkonnen: 

Z=ZD Dexpf?Wf Dexpf?Wf ;gg;g+( )+()g 

( Formeln HierbeisindundunabhangigeantikommutierendeDirac-Spinoren.Die )+()=Zd4xf(x) (x)+(x)(x)g 

stellendenZusammenhangzwischendenbeidenBeschreibungenher. =0C C0c 

EinenaheliegendeErweiterungbestehtdarin,dawir,denVorschriften c(x)=C(x)T (397) 

derEichtheorienfolgend,eineAnkopplunganeinVektorpotentialAk(x)vornehmen.ZumBeispielgehtdieeuklidischeQEDvonderfolgendenWirkung 

aus: Wf ;Ag=Zd4xf14Fk`Fk`+(@=+m+iqA=) =Zd4x14Fk`Fk`+12( ;FA) g (398) 

mitdemantisymmetrischenOperator FA= (399) 

C(@=+m+iqA=) 0 C(@=+m?iqA=) 0 

ist.DaskorrespondierendeGauischeFunktionalintegraliststetsausfuhrbar InjedemFallerhaltenwireineWirkung,diebilinearindenDirac-Feldern (400) 

undfuhrtaufdaserzeugendeFunktional expf?12(;F?1 A)g=expZd4x(x)(@=+m+iqA=)?1(x) 140 (401)

mit DienachfolgendeIntegrationuberdasPotentialAistdannnichtmehrelementarausfuhrbar. 

(402) F?1 A=?(@=+m?iqA=)?1C 0 ?(@=+m+iqA=)?1C 0 

vondenenwirbereitsGebrauchgemachthaben. tik,diederEinfuhrungvonund zugrundeliegen.InsbesonderemochtenwirdieIntegralformelnrechtfertigen, IndenfolgendenAbschnittenbefassenwirunsnahermitderMathema- 

alsGroeneinerGrassmann-Algebra 

7.3 WirwollendieklassischeKonstruktionvonGrassmann-Algebrenvorstellen undgehenvoneinemn-dimensionalenkomplexenVektorraumEaus.Eine 

Abbildung 

heitp-linear,wennS(u1;:::;un)injedemArgumentuk2Elinearist.Sie S:EE | {z p }?!C 

heitantisymmetrisch,wennfurjedePermutationvonf1;:::;pggilt: 

MitAp(E)bezeichnenwirdenRaumderp-linearenantisymmetrischenFunktionenuberE.DamanElementevonAp(E)addierenundmitkomplexen 

S(u(1);:::;u(p))=sgnS(u1;:::;up) (403) 

Zahlenmultiplizierenkann,besitztAp(E)dieStruktureinesVektorraumes. MansetztA0(E)=Cundzeigt: dimAp(E)=np Ap(E)=0 p>n 0pn (404) 

wirjedemVektorT2ApundjedemVektorT2AqeinenVektorST2Ap+q EinProduktabbildungAp(E)Aq(E)!Ap+q(E)istdadurcherklart,da (405) 

zuordnenvermogederVorschrift 

(dieSummeerstrecktsichuberallePermutationenvonf1;:::;p+qg).Man ST(u1;:::;up+q)=1 p!q!XsgnS(u(1);:::;u(p))T(u(p+1);:::;u(p+q)) 

bezeichnetSTalsdasGrassmann-ProduktvonSundT.DasAssoziativgesetz (406) 

141

R(ST)=(RS)Tistsichererfullt;anstelledesKommutativgesetzeshaben wirjedochnurdieRegel 

Diesfolgt,weilfurdiePermutation,die(1;:::;p;p+1;:::;p+q)in(p+ 1;:::;p+q;1;:::;p)uberfuhrt,sgn=(?1)pqgilt. ST=(?1)pqTS fallsS2Ap;T2Aq (407) 

meIndemwirdasGrassmann-Produkterklarthaben,wirddiedirekteSum- 

vonVektorraumenzueinerAlgebra.MannenntA(E)dieGrassmann-Algebra uberdemVektorraumE..EinElementderAlgebraistdemnacheineSumme A(E)=nMp=0Ap(E) 

S0+S1++SnmitSp2Ap(E).AusPp?nk=2nfolgt 

MankannAimmerineinengeradenundeinenungeradenAnteilzerlegen: dimA(E)=2dimE (408) 

A+=A0A2 A=A++A? 

Aus(407)folgtdanndieRegel A?=A1A3 (geraderAnteil) (ungeraderAnteil) 

Insbesonderegilt: ST=TSS2A+oderT2A+ ?TSS2A?undT2A? (409) 

Exponentialfunktionetc.),undzwarineindeutigerWeise.Damansolche Dadurchistesmoglich,vieleFunktionenaufA+zuerklaren(Polynome,die DergeradeAnteilA+isteinekommutativeUnteralgebravonA. 

Funktionenaddierenundmiteinandermultiplizierenkann,sprichtmanvon lassensichubertragen;z.B.gilt einemFunktionenkalkulaufA+.SogardieublichenFunktionalgleichungen 

nurdieExistenzeinesinversenElementesisti.allg.nichtgewahrleistet. InvielerHinsichtverhaltensichdieElementevonA+wiegewohnlicheZahlen, eSeT=eS+T S;T2A+ (410) 

142

Beispiel:EsseiS2A2.DannexistierenallePotenzen 

mitpositivenExponentenm,undesgiltuberdiesSm=0fur2m>n.Jedoch Sm=SSS |{z} m 2A2m 

S?misteinsinnloserAusdruck:keinederPotenzenSmistinvertierbar.Man vereinbartS0=12A0.FurdieExponentialfunktion 

(eineendlicheReihe!)ndetmanhingegeneininversesElement,namlicheS. e?S=Xm0(?1)m m!Sm2A+ 

Dennesgilte?SeS=1. Elementei2A1: besitztdanndieDarstellungPuieimitui2C.Wirdenierenspezielle Nunsei(ei)i=1;:::;neineBasisindemVektorraumE.EinVektoru2E 

Eigenschaftensindelementarunddruckenunteranderemaus,dadieidie d.h.iordnetjedemVektoru2Eseinei-teKomponentezu.Diefolgenden i(u)=ui i=1;:::;nu2Ebeliebig (411) 

gesamteGrassmann-Algebraerzeugen: 1.EsgeltendieKommutatorrelationen 

2.JederVektorS2ApbesitzteineDarstellungderArt ik+ki=0 

S=1p!X i;k=1;:::;n (412) 

mitkomplexenKoezientensi1ip. i1ipsi1ipi1ip (413) 

DasSchemaderKoezientenvonSiststetsantisymmetrischunterPermutationenderIndizes. 

derForm Beispiel:NachWahleinerBasisinEliegtjedesElementS2A2(E)in 

vor.Umgekehrtistjederkomplexenantisymmetrischennn-Matrixein S=12Xiksikik 

ElementS2A2(E)zugeordnet.Daruberhinausexistiert sik=?ski2C (414) 

e?S=Xm0(?1)m 

143m!Sm 

(415)

wobeidurch 1m!Sm=1m! 12Xiksikik!m= (2m)!X 1i1i2msi1i2mi1i2m miteinigerMuhedieRekursionsformel einantisymmetrischesKoezientensystemsi1i2mgegebenist,furdasman (416) 

si1i2m=2m?1 

nachweist.FormelndieserArtsindunsbereitsbeiderDiskussiondeseuklidischenDirac-Feldesbegegnet.Wirerkennenjetzt,daderFormalismus 

Xp=1(?1)p+1si1îpi2m?1sipi2m (417) 

teaufeleganteWeisezubeschreiben. derGrassmann-Algebrageeignetist,schwierigekombinatorischeSachverhal- 

sosindwirgezwungen,dieAlgebraA(E)ubereinem1-dimensionalenVektorraumEzukonstruieren,namlichubereinemRaumvonTestfunktionen 

LegenwirdemDirac-FelddasKontinuumE4zugrunde(alsokeinGitter), 

geWahlwarederSchwartz-RaumE=S(E4;C8).WirfassendieFunktions- 

wertefa(x)(a=1;:::;8;x2E4)alsdieKoordinatendesVektorsfauf unddenierendieErzeugera(x)derGrassmann-AlgebraA(E)durch DasPaar(a;x)isthierandieStelledesIndexigetreten.Esgeltendie Relationen a(x)(f)=fa(x) (418) 

(zurErinnerung:dasFeldhatachtunabhangigeKomponenten).Einezulassi- 

f:E4!C8 

S2(x;y)abzugeordnetundmitihrerHilfeeinElementderAlgebraA+(E) ImAbschnitt6.2habenwirdemfreienDirac-FelddieZweipunktfunktion a(x)b(y)+b(y)a(x)=0 (419) 

konstruiert: Genauer:SliegtinA2(E).DerentscheidendeSchrittbestanddarin,ein weiteresElementderAlgebraA+(E)zudenieren: S=12Zd4xZd4yS2(x;y)aba(x)b(y) (420) 

e?S=1+1Xn=11n!h 1+1Xm=1(?1)m (2m)!Zd4x1Zd4x2mh ()ni= 

144a1(x1) 

a2m(x2m)ia1(x1)a2m(x2m)

Dien-PunktfunktionendesfreienDirac-Feldeserweisensichsomitalsdie Entwicklungskoezientenvone?S2A+(E)nachdenErzeugerna(x). 

InderAnalysisbenutztmandenBegriderAbleitungimSinneeinerDifferentiationnachreellenVariablen,undinderFunktionentheoriefuhrtman 

FormaleAbleitungen 7.4 

AbleitungennachkomplexenGroenein.DamitsinddieMoglichkeiten,den klassischenMechanikbegegnenwirderPoisson-KlammerfF;Hgmitden charakteristischenEigenschaften BegriaufandereBereicheauszudehnen,beiweitemnichterschopft.Inder 

fFG;Hg=fF;HgG+FfG;Hg 

InderQuantenmechanikubernimmtdieseRollederKommutator[F;H]mit vergleichbarenEigenschaften.DiebishergenanntenBeispieleillustrierenden fF;Hg=0fallsF=konst. 

gehendabeiwiedervoneinemVektorraumEausunderklarenfurbeliebiges BegriderDerivationeinerAlgebra. u2EeinelineareAbbildung AuchineinerGrassmann-AlgebrakannmanAbleitungenbilden.Wir 

durchdieVorschrift(duS)(u2;:::;up)=S(u;u2;:::;up) 

du:Ap(E)!Ap?1(E) 

furalleS2Ap.Wirvereinbaren:duS=0fallsS2A0.DerOperatorduwird sozueinerlinearenAbbildungA!A.NachWahleinerBasisinEbesitzen (421) 

wirDarstellungenderArt 

(duS)(u2;:::;up)=X S(u1;:::;up)=X 

i2ips0i2:::ipui2 i1ipsi1:::ipui1 2uip 1uip p (423) (422) 

mit s0i2:::ip=Xi1si1:::ipui1 (424) 

145

EinedritteWeise,dieWirkungdesOperatorsduzubeschreiben,erhaltman durchEinfuhrungderErzeugeri: S=1p!X 

duS= (p?1)!X i1ipsi1:::ipi1ip 1 i1ipsi1:::ipui1i2ip (425) 

InderFeldtheoriesindwirdemOperatorduschoneinmalbeiderDiskussion (426) 

anstellevondei). i)undduubernahmdieRolleeinesVernichtungsoperators(wirschriebenai A(E)dieAlgebraderErzeugungsoperatoren(wirschriebenayianstellevon desFock-RaumesderFermionenbegegnet:dortwarEderEinteilchenraum, 

Regel,namlich GiltdieProduktregelfurAbleitungen?Wirndeneineleichtmodizierte 

Wegendesp-abhangigenVorzeichensheitdueineAntiderivationderAlgebra A;duhangtinlinearerWeisevonuab,sodawir{nachWahleinerBasis du(ST)=(duS)T+(?1)pS(duT) S2Ap;T2A (427) 

{schreibenkonnen: 

DieseBezeichnungliegtinderTatsehrnahe,weilmandenInhaltvon(426) du=Xiui@ 

nunsowiedergebenkann: @i 

@iX @ i1ipsi1:::ipi1ip=pX i2ipsii2:::ipi2ip (428) 

Manmachtsichleichtklar,dadieformaleAbleitungdurchdiefolgenden Regel1 Regelnbereitsvollstandigcharakterisiertist. 

Regel2 @i(S+T)=@ @i1=0 

@iS+@ @iT (;2C) 

Regel3 @i(kS)=kiS?k@ @ @iS 146

HierinsindSundTbeliebigeElementederAlgebra.ImGegensatzzurklassischenAnalysisgiltineinerGrassmann-Algebra: 

@i@k=?@2 @2 @k@i insbesondere@ 

diesemFallergebenunsereRegeln: NunseispeziellSeingeradesElementderAlgebra,d.h.S2A+.In @i2=0 (429) 

DennS2A+und@ @iSm=@ @ @i(SSS @iS2A?kommutieren.WaswirhierfurPotenzengefundenhaben,latsichaufPotenzreihenf(S)=PamSm(am2C)ausdehnen, 

d.h.furalleS2A+gilt 

|{z} m )=mXk=1Sk?1@ @iSSm?k=mSm?1@ 

@if(S)=f0(S)@ @ 

RechtsstehtdasProduktzweierElementederAlgebra,wobeidasersteinA+, @iS (430) 

daszweiteinA?liegt.DennochistdieReihenfolgederFaktorengleichgultig. EineeinfacheAnwendungbetritdieExponentialfunktion: 

Mit @ie?S=?e?S@ @ 

S=12(;F?1 @iS (S2A+) (431) 

fureinPotentialAk(x)erhieltenwir A)=12Zd4xZd4yS2(x;y;A)aba(x)b(y) (432) 

eS @a(x)@b(y)e?S=S2(x;y;A)ab @2 

FormaleIntegration (433) 

7.5.1IntegraleuberA(E) WirmochteneinengeeignetenIntegralbegriindieGrassmann-Algebraeinfuhren, derebensowiedieAbleitungreinalgebraischaufzufassenist.WirgehendabeinichtvonderVorstellungaus,diedemunbestimmtenIntegralzugrunde 

147

liegt,namlich,dadasIntegraleineArtUmkehrungderDierentiationsein gewohnlichenVolumenintegralzudenieren. sollte.Vielmehrsuchenwir,dasGrassmann-IntegralRdSinAnalogiezum 

1.DasIntegralRdSisteinekomplexeZahl. EsseialsodimE=n

isteineWirkungvonaaufAperklart,diemanzueinerlinearenAbbildung A!A;S7!Saausdehnenkann.InbezugaufeineBasisschreibenwir 

underhalten (au)i=Xkaikuk (a)i=Xkaikk 

Sa=1p!Xsi1ip(a)i1(a)ip (439) 

Eserweistsichalsbequem,dieSchreibweiseS=Sfgzubenutzen.Dann giltSa=Sfag.EinbesondererFalltrittfurp=n=dimEein.Istnamlich (440) 

S2An,sogiltSfag=detaSfg,wennwir(435)beachten.Darausfolgt die 2.Formel:FuralleS2Agilt 

Beachte:indergewohnlichenAnalysisgilt ZdSfag=detaZdSfg Zdnxf(ax)=(deta)?1Zdnxf(x) 

(441) 

7.5.2IntegraleuberA(EF) wobeiwiruberdiesnochdieBedingungbenotigen,daanichtsingularist. 

NunhabederVektorraumdieStruktureinerdirektenSummeEF(dieser indiesemRaumsindPaare(u;v)mitu2Eundv2F.Essei(ei)eineBasis FallwirdimZusammenhangmitdemDirac-Feldwichtigwerden).Vektoren inEund(fk)eineBasisinF.WirdenierendieErzeugerderGrassmann- AlgebraA(EF):i(u;v)=ui k(u;v)=vk (u=Xuiei) (v=Xvkfk) (442) 

AlleAntikommutatorenderErzeugerverschwindenidentisch.Wirverstehen A(E)undA(F)alszweiUnteralgebrenvonA(EF),erzeugtvondenibzw. (443) 

k.EinallgemeinesElementderAlgebraA(EF)besitzteineEntwicklung nachallenErzeugern,iundk.FureinsolchesElementschreibenwirdaher Sf;gunddenierenTeilintegrale ZdSf;g=@ @n@ @2@ 149@1Sf;g 

n=dimE (444)

und ImerstenFallergibtdasTeilintegraleinElementinA(F),imzweitenFallein ZdSf;g=@ @m@ @2@ 

ElementinA(E).DasvollstandigeIntegralRdRdSf;gentstehtdurch @1Sf;g m=dimF (445) 

dieIntegrationsreihenfolgezuachten;dennesgiltdieRegel HintereinanderschaltenderbeidenProzesse.Hierbeiistesjedochwichtig,auf 

FurTeilintegralegiltbezuglicheinerlinearenTransformationa: ZdZdSf;g=(?1)nmZdZdSf;g (446) 

3.Formel: ZdSfa;g=detaZdSf;g nhabenundeinElementderAlgebradieFormSf+ghat,d.h.esbesitzt EinSonderfalltrittein,wenndieRaumeEundFdiegleicheDimension (447) 

danneineEntwicklungnachdenErzeugerni=i+i. 4.Formel:(Translationsinvarianz) 

Beweis.DerhochsteTermderEntwicklungvonSfgnachdenErzeugernhat ZdSf+g=ZdSfg dieFormI12nmitI=RdSfg.DerhochsteTermderEntwicklung (448) 

vonSf+gnachdeniistinI(1+1)(n+n)enthaltenundstimmt mitdemvorigenAusdruckuberein. 7.5.3IntegralevomExponentialtyp Wirnehmenan,dadieRaumeEundFdiegleicheDimensionnhaben. SatzFurjedekomplexenn-Matrixa=(aik)gilt ZdZdexpXikaikik=(?1)(n2)deta Beweis.WirsetzenSf;g=expPiiiundhaben (449) 

ZdZdSfa;g=detaZdZdSf;g 

150

DiekanonischeZerlegungS=S0++Snfuhrtauf Sn=1n! =(11)(22)(nn) Xiii!n 

DamitfolgtRdRdSf;g=(?1)(n2). =(?1)(n2)(1n)(1n) 

metrischenn-Matrix.Dannheitdiedurch DenitionEssein=2mgeradeundA=(Aki)eineantisym- 

bestimmtekomplexeZahlPfAdiePfaanvonA. 1m! 12XikAikik!m=PfA12n (450) 

AlsFunktionderMatrixelementeistPfAhomogenvomGradem.FurniedrigeDimensionen(n=2;4;:::)ndenwir: 

AlsdirekteFolgederDenitionderPfaanerhaltenwirdieFormel PfA=A12A34?A13A24+A14A23 m=1 

Zdexp 

m=2 

Anmerkung:DasIntegralverschwindet,wennnungeradeist.Dernachste 12XikAikik!=PfA (451) 

SatzzeigteinenZusammenhangzwischendenBegrienDeterminanteund Pfaan. Satz.Seiaeinekomplexemm-MatrixundaTdietransponierte 

antisymmetrischundesgilt Matrix.Dannist A=0 ?aT0 a (452) 

PfA=(?1)(m2)deta (453) 

151

Beweis.Mankannschreiben: Xikaikik=12TA = 

unddieBehauptungfolgtunmittelbar. Damitwird Zdexp12TA=ZdZdexpTa 

namlich Anmerkung:EsexistierteinweitererleichtbeweisbarerZusammenhang, 

furjedeantisymmetrischemm-Matrixa. deta=(Pfa)2mgerade 0 mungerade (454) 

7.5.4Fourier-Laplace-Transformation 

beidseitigeLaplace-Transformation.IstderVektorraumkomplex,sobesteht nen~f(p),deniertfurp2E(EderDualraumzuE).Ahnlichesleistetdie DieklassischeFourier-TransformationverwandeltFunktionenf(x),deniert 

keinwesentlicherUnterschiedmehrzwischenderFourier-undderLaplace- furVektorenx2E(Eeinn-dimensionalerreellerVektorraum),inFunktio- 

WeiseElementeS2A(E)uberinElemente~S2A(E).Sieistengver- 

Abbildung bundenmitderinderAlgebrahaugbenutzten?-AbbildungoderHodge- AufeinerGrassmann-AlgebrafuhrtdieFL-Transformationinahnlicher 

derwirunszunachstzuwenden.Esseialso(ei)eineBasisinEund(ei)die induziertedualeBasisinE,sodahei;eki=ikgilt.Jedesu2Ebesitzt ?:Ap(E)!An?p(E) (n=dimE); (455) 

dieDarstellungPuiei,jedesv2EdieDarstellungPviei.Wirdenieren 

EinElementS2Ap(E)besitztdieGestalt dieErzeugervonA(E): dieErzeugervonA(E): i(u)=ui 

S=1p!X i(v)=vi 

i1ipsi1ipi1ip (456) 

152

DieHodge-Abbildung(455)wirderklartdurchdieVorschrift 

sip+1in ?S=(n?p)!X 

1 

=1p!X i1ipsi1ipi1in ip+1insip+1in ip+1in (458) (457) 

(istdasLevi-Civita-Symbol).SiehatdieEigenschaft DasentstehendeVorzeichenistp-abhangig.Dehntmanalso?zueinerlinearenAbbildungaufganzA(E)aus,soerhaltmankeineInvolution.Dasmacht 

??S=(?1)p(n?p)S S2Ap(E) (459) 

dieHodge-AbbildungfurunsereZweckeungeeignet. denieren MiteinergeringfugigenAnderunglatsichdieSachebereinigen.Wir 

undnden ~S=(?1)?S~S=(?1)(n+1 

=?n?p+1 2)S 2S2Ap(E) (461) (460) 

vonS. DasVorzeichenistunabhangigvonp.Wirbezeichnen~SalsdieFL-Transformierte 

?Piiiundsetzen~Sfg=ZdSfgexph;i meAlgebraA(EE)ein,benutzendieSchreibweiseh;i:=Piii= Weisegegebenwerden.WirbettenhierzuA(E)undA(E)indiegemeinsa- 

DieVorschriftzurKonstruktionvon~Skannauchaufeineganzandere 

DaaufdieseWeisediegleicheAbbildungbeschriebenwird,folgtausdem speziellenIntegral (462) 

WirwollennuneinekonkreteFL-Transformierteberechnen. Zd12pexph;i=(?1)(n?p+1 2)p+1n (463) 

SatzEsseiA=(Aik)eineantisymmetrischenichtsingularen 

dieFL-Transformierte n-Matrix(nistnotwendiggerade).Dannbesitzt 

~Sfg=PfAexp12P(A?1)ikik 

Sfg=exp12PAikik 

(465) (464) 

153

Beweis.Wirschreiben(alleSummandeninA+(EE)) 

mit=?A?1.EsgiltRdSf+g=RdSfg=PfA. DurchdieEntwicklungderExponentialfunktionin(462)gewinnenwir 12TA+h;i=12(+)TA(+)+12TA?1 

FormelnfurdieMomentederi.WennwirauchnochdieMatrixAdurch ?Aersetzen,solautendieerstenfunfFormelndieserArt: Zdiexp(?12TA)=0 Zdexp(?12TA)=Pf(?A) 

Zdijkexp(?12TA)=0 Zdijexp(?12TA)=Pf(?A)Bij B=A?1 

DiezweimaligeAnwendungderFL-Transformationmultipliziertdie\Gau- Zdijkèxp(?12TA)=Pf(?A)(BijBk`?BikBj`+Bi`Bjk) Funktion"(464)mitdemFaktorPfAPfA?1.Darausschlieenwir: 

AllunserenAnwendungenliegtdieBlockstrukturzugrunde: PfAPfA?1=(?1)(n+1 2)=(?1)m (2m=n) (466) 

A=0 ?aT0 a A?1=0 a?1?a?1T 

0 

(aeinemm-Matrix).IndiesemFallkonnenwirvonderRelation (467) 

Gebrauchmachen. PfA=(?1)(m2)deta 

StellvertretendfurdieEichtheorienmitAnkopplunganMateriefeldersoll 7.6 nundieU(1)-Eichtheoriebehandeltwerden.DerEinfachheithalberistin FunktionalintegralederQED 

nuumaus,obwohlindiesemFallderzugrundeliegendeVektorraumEder allenFormeln~=1gesetzt.WirgehenvoneinerFormulierungimKonti- 

154

le,Determinanten,Pfaansetc.einerRegularisierungbedurfen,damitalle Fermionennotwendigunendlich-dimensionalistunddieFunktionalintegra- 

AusdruckediesesAbschnittesdeniertundendlichsind. undderLadungqsoum,dasiealsSummezweierquadratischerFormen erscheint:WfA; 

ZuerstschreibenwirdieWirkungfureinDirac-TeilchenderMassem 

g=Zd4x14Fk`Fk`+(@=+m+iqA=) =12( ;FA)+12(A;CA) 

ponentenvon (siehedieFormeln(6.30-32)und(5.16-19)).DerBispinor c.DaserzeugendeFunktionaldern-Punktfunktionen enthaltdieKom- 

(468) 

istsodeniert: Sf;jg=Z?1ZDAD Z=ZDAD exp?WfA; ()+A(j)?WfA; g g (469) 

weildieWirkungbilinearindem Eichtheorienzu): HierlatsichdasIntegraluberdiefermionischenFreiheitsgradeausfuhren, 

Sf;jg=Zd(A)expA(j)?12(;F?1 -Feldist(dieseBeobachtungtritaufalle 

d(A)=Z?1DAdet(@=+m+iqA=)exp?12(A;CA) A) 

Z=ZDAdet(@=+m+iqA=)exp?12(A;CA) (471) (470) 

DasErgebniskommtdeshalbzustande,weildet(?C)=1und (472) 

gilt.AufdieseWeisewurdeeinewesentlicheVereinfachungerzielt.Diehierbei erzeugteFermion-Determinantebegegneteunsschonfruher(Vorlesung Pf(?FA)=det?C(@=+m+iqA=)=det(@=+m+iqA=) (473) 

Ersetzungq!?qdieDeterminanteinsichubergeht.AusdiesemGrunde QFTI,Kapitel8).DorthabenwirauchMethodenangegeben,wieman istdasMad(A)symmetrisch,d.h.furalleFunktionenfgilt dieseGroeregularisierenkann.Dabeistelltesichu.a.heraus,daunterder Zd(A)f(?A)=Zd(A)f(A) 155 (474)

Esistjetztdeutlichgeworden,dadieFermion-Determinantenichtnurbei ProblemenmitauerenFeldernauftritt,sonderndasieeinezentraleStellunginderTheorieeinnimmtrelationsfunktionenderU(1)-Eichtheorie.DieersteGroe,aufdiesichunser 

Interesserichtet,istdereuklidischePropagatordesFermions: DurchEntwicklungdeserzeugendenFunktionalsgelangenwirzudenKor- 

Hierausergibtsichunmittelbar h a(x) b(y)i=Zd(A)F?1 Aab(x;y) (475) 

EineweitereVereinfachungscheintnichtmehrmoglichzusein.DerPropa- 

h (x)(y)i=Zd(A)(@=+m+iqA=)?1(x;y) (476) 

gatorenthaltalswesentlicheInformationdierenormierteMassedesDirac- Formel(476)dientalsAusgangspunktfurNaherungen. Teilchens.Furq!0gehtderAusdruckindenfreienPropagatoruber.Die DerPropagatordesEichfeldeserhaltdieGestalt 

ErenthaltInformationenuberdieVakuum-Polarisation,d.h.uberdievirtuellePaar-ProduktionderPhotonen.SchlielichistdieVertex-Funktion 

hAk(x)A`(y)i=Zd(A)Ak(x)A`(y) (477) 

vonInteresse,inderdieInformationuberdierenormierteLadungunddas anomalemagnetischeMomententhaltenist. h (x)Ak(y)(x0)i=Zd(A)(@=+m+iqA=)?1(x;x0)Ak(y) (478) 

daespositivist.Mankannrelativleichteinsehen,daesreellist.Dazuweist mannach,dadieFermion-Determinantereellist.Allen-Punktfunktionen desPhotonfeldessinddannebenfallsreell,wiewiresausphysikalischen Anmerkung:DasMad(A)istzwarnormiert,aberesfehlteinBeweis, 

konstanteqanzweiStellen:(1)inderFermion-Determinanteund(2)in Grundenerwarten.IndemerzeugendenFunktionalerscheintdieKopplungs- 

demOperatorF?1 setzt.DannverschwindetdieDeterminanteuberhauptausdemMad(A) grundetdarauf,damanq=0(aquivalentm=1)inderDeterminante A.EinNaherungsverfahren(eng.quenchedapproximation) 

156

undwirerhalteneinGauischesW-Mad0(A),dasohnejeglicheRegularierungauchimKontinuumwohldeniertist: 

DieErsetzungvond(A)durchd0(A)bewirkt,daAk(x)einfreiesFeld Zd0(A)expiA(j)=expf?12(j;C?1j)g wird,dadasFermionsozusagenaneinfreiesFeldkoppelt.DieUnter- 

(479) 

chleifeenthalten.DieNaherungistgut,solangedieMassedesDirac-Teilchens theorie{denFortfallallerFeynman-Graphen,diewenigstenseineFermions- 

druckungderFermion-Determinantebedeutet{inderSprachederStorungs- 

als\gro"angesehenwerdendarf.Dennreinformalbetrachtetgehtd(A) imLimesm!1indasMad0(A)uber. 

7.7.1DasSU(n)-Higgs-Modell FurdiereineEichtheoriemitderEichgruppeSU(n)kanndieWirkungauf GittereichtheorienmitMateriefeldern 

scheidetsich demGitterinderForm(5.70)deniertwerden.VondieserWirkungunter- 

nurumeineKonstante.FurdasSU(n)-Higgs-ModellaufdemGittergibt W(U)=?1 

mani.allg.diefolgendeWirkungan: 2g2Xp0;>0);(x)isteinn-komponentigeskomplexesSkalarfeld,alsoein MultiplettinderfundamentalenDarstellungderSU(n).DieWirkungzerfallt W(U;)=W(U)+12Xxkj(x+ek)?Uxk(x)j2+Xx(j(x)j2?)2(480) 

innaturlicherWeiseindreiTerme:(1)eineSummeuberallePlaketten,(2) punkte.NachEinfuhrungeinerGitterkonstantenageht(x+ek)?Uxk(x) aufZ4indenAusdruck eineSummeuberalleGitterkantenund(3)eineSummeuberalleGitter- 

undAahabenwirdieFelderaufdemGitter(aZ)4bezeichnet. uber,derdiekovarianteAbleitungdesKontinuumsfeldes0enthalt.Mita aa(x+aek)?expaAak(x)aa(x)=a2@k?A0k(x)0(x)+O(a3) 

summe FurdieangegebeneWirkungunddieGitterperiodeNlautetdieZustands- 

Esseid(U)dasauf1normierteHaarscheMaaufderGruppeSU(n). Z=ZDZDUexpf?W(U;)g=e?F 157

7.7.2SU(n)-EichtheoriemitFermionen D=YxnY=1d: 2y=x+ek 

DieserGradiententspricht,wiemansieht,derhalbenSummeausdemVorwartsunddemRuckwarts-Gradienten.Vereinfachendkonnenwirnunschreiben: 

W1=Xxy(x)D=xy 158(y) 

D=kDk 

?12x=y+ek 0sonst 1 (487) 

(488)

EinweitereVereinfachungerzielenwirdurchEinfuhrungvon = c FU=C(D=+m) 0 ?[C(D=+m)]T 0 

weildanndieWirkungineineBilinearformubergeht: (489) 

DiefermionischenFreiheitsgradelassensichvollstandigausintegrieren,und wirerhalten: W1+W0=12( ;FU) (490) 

ZD ZDexp ()?12(;FU)=det(D=+m)exp?12(;F?1 

U) 

tur.AbersieistwohldeniertundbedarfkeinerRegularisierung.BeiN4 GitterpunktenbesitztdieMatrixD=+mdieDimension4nN4.SelbstfurbescheideneGittergroen(z.B.N=10)isteinenumerischeAuswertungdieser 

DeterminantenurunterEinsatzeinesGrorechnersmoglich. Wirerhaltendasfolgendeauf1normierteMaaufderEichgruppe: d(U)=Z?1DUdet(D=+m)exp1 2g2Xp

8 lien FunktionaleIntegrationundLokaleAnoma- 

SymmetrieneinerklassischenFeldtheorie,d.h.solche,dieausderLagrange- 8.1 Dichtefolgen,fuhrenunterUmstandenzuunerwartetenEekten,wennman Einfuhrung 

ProblemedieserArttratenzuerstaufimZusammenhangmitderBerechnungderRatefurdenZerfall0!2ineinerchiralinvariantenTheorie,in 

derdasPionmasseloswar[1].DieVerletzungeinerglobalenSymmetrie,wie versucht,sieaufdiequantisierteFassungdieserFeldtheoriezuubertragen. 

AtiyahschnellErklarungenhatten.Physikersprechenvoneiner\globalen ichsichhierumtopologischesPhanomen,furdasMathematikerwieM.F. metriebrechung;denndasPionbliebweiterhinmasselos.Vielmehrhandelte siehiervorlag,hattenichtsgemeinmitdemPhanomenderspontanenSym- 

EichtheorienvonmasselosenFermionen.DieExistenzdieserArtvonAnomalienfuhrtzueinerVerletzungderEichinvarianzderart,dadasModell 

aufkeineWeisemehrzurenormierenwar(unterBeibehaltungderLorentz- Spaterentdecktemanauch\lokaleAnomalien".Sietretenaufinchiralen Anomalie"undinderobenzitiertenSituationvonder\Adler-Anomalie". 

Invarianz).AlsFolgedieserErkenntnisschienesnotwendig,jedemModell standigzuerklarenundnachErweiterungenzusuchenmitdemZiel,dasich liengarnichterstauftreten,oder,fallssieauftreten,dasModellalsunvoll- 

eineKonsistenzbedingungaufzuerlegen,namlichdieForderung,daAnoma- 

indemerweitertenModelldieAnomaliengegenseitigaufheben.EinBeispiel: 

LeptonenundQuarksauf.IngewisserWeisebedingenLeptonenundQuarks bar.FugtmandieQuarkshinzu,hebensichdieBeitragezuderAnomalievon DasStandardmodellohneQuarks(sozusageneinModellfurdieLeptonen allein)besitzteinelokaleAnomalieundistsomitnichtkonstistentformulier- 

einander,mussensomitalsKonstituenteneinesFeldesaufgefatwerden. sierungdurchPfadintegralesuchte.Erfand,dadieAnwesenheitlokalerAn- 

omaliennichtsanderesistalsdieEigenschaftdesfermionischenMaesd nichtinvariantzuseinunterlokalenchiralenEichtransformationen.Konkret: EswarzuerstFujikawa[2],derdenUrsprungdesProblemsinderQuanti- 

dieAnomaliequantitativbeschreibt.DieDetailsderLagrange-Dichtehaben EsistdieJacobi-Determinante,hervorgerufendurchdieTransformation,die d 

cheModellewirreden,wollenwirannehmen,daderfermionischeAnteilder hieraufkeinenEinu.UmabereineVorstellungdavonzugeben,uberwel- 

Lagrange-DichtevonderublichenallgemeinenFormist: LF=ir= 160 :

sentermeabwesendsind.DasDirac-Feld Hieristr=einDirac-Operator,derdasEichpotentialenthalt,wahrendMas- 

haben,daeszueinerDarstellungderEichgruppegehort.DerAusdruckr= muneuinterpretiertwerdenundheit\verallgemeinerterDirac-Operator", wennwirdieYukawa-WechselwirkungmitdemHiggs-Feldeinbeziehen[3,4]. kannu.U.vieleKomponenten 

demvollemStandardmodellzuwenden. Dieswirdnotwendig,sobaldwirunsdemSalam-Weinberg-Modellodergar 

8.2 WirwollenvoneinerFormulierungimMinkowski-Raumausgehen.Darinsei (x)einmehrkomponentiges(zunachstklassisches)Dirac-FeldmitKomponentenindemVektorraum 

VektorartigeModelle 

wahrendVeinhermitescherRaumist,einkomplex-linearern-dimensionaler wobeiSderublicheSpinorraumist,aufdendieGamma-Matrizenwirken, W=SV; 

RaummiteinemSkalarprodukt.NachWahleiner(orthonomierten)Basis kannVmitCnidentiziertwerden. ratorenD(g)zuunitarennn-Matrizen.Wieubliche,bezeichneLieGdie stellungvonGaufV.SobaldVmitCnidentiziertist,werdendieOpe- 

Lie-AlgebravonG.WirerreichendieMatrix,diedasElementa2LieG EsseiGeinekompakteEichgruppeundg7!D(g)eineunitareDar- 

reprasentiert,durcheineAbleitung: 

vond(a)schreiben.InbezugaufdasTensorproduktSCnschreibenwir UmjedochdieFormelnzuvereinfachen,werdenwirinZukunftananstelle d(a)=ddtD(eta)t=0: 

sogaranstellevon1l.InahnlicherWeiseschreibenwiranstellevon 1l. imSinnederDirac-Theorie: Spinoren: WirerinnernandieKonstruktionàdjungierter'SpinorenundOperatoren = Esgilt0=0=(0)?1undsomit Operatoren: M=0M0 falls fallsM2End(SCn). 2SCn, 

EsgibtgenauzweiArtenvonlokalenTransformationen,diedurchSymmetrienderLagrange-Dichtehervorgerufenwerden. 

==?; 5=5: (494) 

161

1.NichtchiraleEichtransformationen.Sieenthaltennichtdie5-Matrix: 0(x)=(U )(x)=e(x) (x)e?(x): 

2.ChiraleEichtransformationen.Sieenthaltendie5-Matrix: 0(x)=(U )(x)=e5(x) (x)e5(x): 

UalseinenIntegraloperatormitdemKern InbeidenSituationenbenutztenwirdieBeziehungen(494).Wirbetrachten 

undschreibenU giltdieRelatione(x)4(x?y) =U.FurdenFallnichtchiralerEichtransformationen resp.e5(x)4(x?y) 

d.h.Uistpseudo-unitar.FurchiraleEichtransformationenhingegengilt U=U?1; U=U; (496) (495) 

d.h.Uistpseudo-hermitisch.DieserUnterschiedistentscheidendfurdas VerhaltendesMaesd werden. Determinante,werdenwirPfadintegraleineuklidischerRaumzeitbetrachten. FureinestrengeAbleitungderAnomalie,ausgedrucktdurchdieJacobi- duntereinerEichtransformation,wiewirsehen 

DieformaleErsetzungix0!x4wirdbegleitetdurch 

Entscheidendistnun,dadieFelder geGrassmann-Variablenzuverstehensind.Gleichwohlandertsichanden 0!4 k!?ik undalsvollkommenunabhangi- 

(k=1;2;3): 

(496)verknupft.VoraussetzungfurdasStudiumsolcherTransformationen Eichtransformationennichts,d.h.UistmitUentwederdurch(495)oder istdieAnnahme,dadieeuklidischeWirkunginvariantist.DieallesentscheidendeFragelautet:IstauchdasMad 

EsgehortzudenBesonderheitenvonGrassmann-Variablen,daunter dinvariant? erscheint: TransformationenUdasMamitderinversen(!)Determinantemultipliziert d 0=(DetU)?1d ; 162d0=(DetU)?1d

Folglich, 

Manerkennt:Nicht-chiraleSymmetrienverursachenkeinProblem;denndas d 0d0=(Det(UU))?1d d=(DetU)?2d d ddifUischiral. 

ifUisnon-chiral 

Maistinvariant.DeshalbbetrachtenwirvonnunannurnochdenFall AusdruckDetUgeeignetinterpretieren,wozuwirdieFormel chiralerSymmetrien.SiegebenAnlazuAnomalienwennnichtDetU= 1.UmdieAnomalieinexpliziterFormzuerhalten,mussenwirzuvorden 

heranziehen.UmderSpureinenSinnzugeben,istesnotwendig,deneuklidischenRaumE4durcheinegeeignetekompakte(orientierte)4-dimensionale 

log(DetU)?2=?2SpurlogU 

RiemannscheMannigfaltigkeitMzuersetzen.DieStrukturderSpurbeinhaltetinjedemFalleineIntegrationuberdieMannigfaltigkeit: 

Hierist!einenochzubestimmendeC-wertige4-Form(eineDierentialformvomGradvierunddamitinjedemPunktx2Mproportionalzur 

?2SpurlogU=ZM! 

VolumenformderMannigfaltikeitM). abhangt,einer2-Form,dieinlokalenKoordinatenals Esistplausibel,da!vonder\Krummung"FdesEichzusammenhanges 

geschriebenwerdenkann.InbekannterWeise,latsichhierauseine4-Form konstruieren:F^F=14F(x)F(x)dx^dx^dx^dx: 

F=12F(x)dx^dx 

Manbeachteauchdx^dx^dx^dx=d4x: Beobachtung,dadieserAusdruckuntereinerParitatsoperation(Raumspiegelung)sowie5seinVorzeichenwechselt.Auchmu!proportionalzudelichsollte!eichinvariantkonstruiertsein,d.h.unverandertbleibenunter 

einersimultanenErsetzungderArt 7!ee?; 163F7!eFe? 

Weiterhinistplausibel,da!proportionalzuF^Fist,gestutztdurchdie (497) 

0-Form(x)sein,welchediechiraleEichtransformationbeschreibt.Schlie-

wobei(x)irgendeineEichfunktiondarstelltsowie(x).Esgibtnureinen Ausdruck,deralledieseBedingungenerfullt: 

EineTechnik,denVorfaktorzubestimmen,istunterdenNamenheatkernel expansionbekannt: !trV(F^F): 

1.ManersetztzunachstdenIntegralkernhxjyi=4(x?y)durchdenheat kernel 

nerterLaplace-OperatormitSpektrumin(?1;0]. wobeir=denDirac-Operatorbezeichnet.Somitistr=2einverallgenei- 

hxjexp(tr=2)jyi (t>0) 

2.Sodannberechnetmandiesog.SuperspurbezuglichderZ2-Graduierung vonW,gegebendurchdieEigenwertevon5: 

3.AmEndefuhrtmandenLimest!0aus. strW(x)hxjexp(tr=2)jxitrW5(x)hxjexp(tr=2)jxi 

DasResultat(hierohneRechnung)ist: 

MitBlickauf(497): !=(2)?2trV(F^F): (498) 

DerAusdruckaufderrechtenSeitedeutetaufeinenZusammenhangmitder Chern-Pontryagin-Form(characteristischfurdieMannigfaltigkeitMundden !=(4)?2trV(x)F(x)F(x)d4x: (499) 

Eichzusammenhang):ch(D)=(2)?2trV(F^F): DasIndex-TheoremvonAtiyah-Singer35sagtaus,da 

Autorenbemerkt.Siehehierzu[5]. 35DerZusammenhangzwischenAnomalienunddemIndex-Theoremwurdevonvielen ind(r=)=12ZMch(D) 

164

wobeiind(r=)denIndexdesDirac-Operatorsbezeichnet, 

bezuglichderBlockdarstellung ind(r=)=dimker(r=+)?dimker(r=?); 

induziertdurchdieEigenwerte1von5. r==0 r=+ r=? 

AlseinephysikalischeKonsistenzbedingungistzufordern,dadierechte 0: 

Ta=Ta.WirnennendannTadieGeneratoren.WeilGkompaktist,latsich vonLieGaufV.SeiiTaeineBasisfurdieseDarstellungderLie-Algebramit Seitevon(499)verschwindet.HierausfolgteineBedingungandieDarstellung 

erreichen.DerSpurdritterOrdnung,trV(TaTbTc),giltunserebesondereAuf- 

erreichen,da 

merksamkeit.Siekannineinentotalsymmetrischenundeinetotalantisym- 

trV(TaTb)=Nab (N0): 

metrischenAnteil{bezuglichderPermutationenallerIndizes{zerlegtwer- 

den: trV(TafTb;Tcg)=dabc trV(Ta[Tb;Tc])=iNfabc: 2trV(TaTbTc)=dabc+iNfabc 

Manbeachte,dafabcmitdenStrukturkonstantenderLie-Algebraubereinstimmen.AmEndezeigtdieEntwicklung 

zusammenmit(499),dadieKonsistenzbedingung!=0aufeinealgebraischeBedingungfuhrt: 

F(x)=Fa(x)iTa; (x)=a(x)iTa 

masselosenFermi-Felderunterdergleichen(!)Darstellungdernicht-chiralen DieseBedingunggiltineinerSituation,beidersichlinks-undrechtshandige trV(TafTb;Tcg)=0: (500) 

derbesonderenStrukturderLagrange-Dichte.DieQEDunddieQCDmit Eichgruppetransformieren.ModelledieserArtheien\vektorartig"wegen masselosenFermionenbesitzendieseStruktur. 

165

WirwollennuneineallgemeinereSituationinsAugefassen,beiderlinks-und 8.3 rechtshandigeFermionfeldersichunterschiedlichunterderEichgruppetransformieren.SolcheModellewollenwirkurzchiralnennen.Wirhabenesdann 

miteinerDarstellungD=D+D?aufeinemZ2-graduiertenVektorraum zutun.HierausfolgteineGraduierungdesTensorproduktesW=SVmit demSpinorraum: V=V+V?: 

ChiraleModelle 

W+=S+V+S?V? W?=S?V+S+V?: W=W+W? 

Wirnehmenan,dadasDirac-Feld istinjedemFallungerade: (x)2W+; geradeParitathat.DerDiracOperator 

DasFeldkanninlinks-undrechtshandigeKomponentenzerlegtwerden: R(x)2S+V+; r= L(x)2S?V?: (x)2W?: 

Dieszeigt: DarstellungD?. undElementederLie-Algebradargestelltdurch EsexistierenGeneratorenTa=T+aT?afurdieDarstellungD=D+D? RtransformiertsichgemaderDarstellungD+, Lgemader 

Situationanpassen,kommenwirzudemSchlu,dadieFormel(498)fur IndemwirdiefruhereRechnungderAnomaliewiederholenundandieneue +=a+T+a; ?=a?T?a; a2R: (501) 

dieAnomalieweiterhingultigist,fallswirdarindiefolgendeInterpretation, d.h.Ersetzungvornehmen:2=(++)(??): DieFaktoren1vorsindgeradedieEigenwerte5.DieKonsistenzbedingungtr(fTa;Tbg)=0nimmt,whenwirgema(501)entwickeln,nundie 

folgendeForman: Hierbezeicnenstrandtrdiesog.SuperspurinVunddiegewohnlicheSpur inV.MitanderenWorten,dieAnomalie,hervorgerufendurchdieDarstellungD?auflinkshandigenSpinorenmudurchdieAnomalieaufgehobevorgerufenwird[6]. 

werden,dievonderDarstellungD+aufdenrechtshandigenSpinorenher- 

str(TafTb;Tcg)tr+(T+afT+b;T+cg)?tr?(T?afT?b;T?cg)=0: (502) 

166

8.4.1DasWunder EineLie-Gruppewirdsichergenannt,fallsdieAnomalie-Koezienteninal- 

Anomalie-freieEichtheorien 

len(unitaren)DarstellungendieserGruppeverschwinden.Sichereklassische Gruppensind: SichereAusnahmegruppensind: SU(2);SO(n)(n6=6);Sp(2n): 

lien.ZumBeispiel:DieGruppeSU(3),obwohlnichtsicher,besitztdiereelle Ferner,reelleDarstellungenvonnichtsicherenGruppensindfreivonAnoma- 

G2;F4;E6;E7;E8: 

anomaliefreieDarstellung33. 

einWunder.EinbesseresVerstandnisgelingtauffolgendeWeise: lie,geliefertdurchLeptoneneinerseitsandQuarksandererseits,erscheintwie dardmodellvorliegen.DiegegenseitigeAufhebungvonBeitragenzurAnoma- 

KeinedieserKriteriendecktjedochSitutionenab,wiesieetwaimStan- 

Theorem.Das`Wunder'geschiehtinsolchenreduziblenDarstellungender EichgruppeG,diezweiEigenschaftenbesitzen: 1.DieEichgruppeGistentwederU(n)(n4)odereineUntergruppe 2.DielinkshandigenFermionfeldertransformierensichgemaderDarstellungV?vonGwahrenddierechthandigenFeldersichgemader 

DarstellungV+transformieren.ZurErinnerung:DieDarstellungenV davon.DiedenierendeDarstellungwirktaufdemRaumCn. 

DieFallen=2;3erforderneinegesonderteBehandlung: wirkenaufdengeradenbzw.ungeradenTeilraumderauerenAlgebra VCn. DieGruppeSU(2)istsicher,d.h.ohneweitereBedingungenanihreDarstellung.DieGruppeSU(3)bildeteineAusnahmeindemSinne,dadie 

Anomaliefreiheit,wiesiefurSU(n)(n4)aufderauerenAlgebravorliegt,hiernichtgegebenistnehmen: 

1.GSU(5). DasStandardmodellwirdabgedecktdurchdasTheorem,wennwiran- 

Anomaliefreiheitzugewahrleisten.167 GenaubetrachtetbenotigenwirnurdieersteBedingung,umdiegewunschte 2.LieG=su(3)su(2)u(1).

DiedeerendeDarstellungderGruppeU(n)istgegebendurchunitareMatrizenu2U(n),interpretiertalslineareOperatorenaufdemRaumCn. 

8.4.2DieauereAlgebraundihreZ2-Graduierung 

AlgebraVCn: SieinduzierteinereduzibleDarstellungVderDimension2naufderaueren 

VCn ?y $u $VuVCn: 

?y SiezerfalltinirreduzibleBestandteileVpindenUnterraumenVpCn(das 

EineandereSchweibweise,gultigfuralleu2U(n),ist: p-teauereProduktvonCn)derDimension?np: 

Vpu=uû^û 

V=V0V1Vn: (pfactors): (503) 

UnserefundamentaleAnnahmelautet: FurgeeignetgewahltesnentsprechenallefundamentalenFermionenden Indemwirnvariieren,konnenwiralleirreduziblenDarstellungenineiner DarstellungenderListe(503).DasStandardmodellbenutztn=5. TabellederfolgendenArtunterbringen: n23 V0irrepsofSU(n) 

4 V0 V0V1V1V2 V1V2V3 V2V3 

AnschaulicheristeinPascal-ahnlichesDreieck,indemwirdieDimensionen 5V0 V1 V2 V3 V4 V4 

wiedergeben: V5 

n23 1irrepsofSU(n) 

451 151 410 362 10 3 14 15 1 

DarstellungenV0undVn:Siesindbeideeindimensionalundtrivial.Fur WasdieGruppeSU(n)angeht,sogibteskeinenUnterschiedzwischenden 1 

u2U(n)jedochgibteseinenUnterschied:V0u=1,Vnu=detu. 168

Diesbedeutet,dawireineZerlegung WirnutzendieEigenschaftderauerenAlgebraZ2-graduiertzusein. 

haben,wobei V+Cn=X VCn=V+CnV?Cn 

DieDarstellungVofU(n)respektiertdieZ2-Graduierungundzerfalltsomit p=evenVpCn; V?Cn=X p=oddVpCn; dimVCn=2n?1: 

indiedirekteSummeV+V?,wobei 

DieDarstellungderLie-Algebrau(n)onVCnistdurchdieVorschrift Vu=V+u 0 V?u; 0 u2U(n): 

festgelegt.DerOperator(a)andertnichtdieParitatundwirddeshalbgeradegenannt.Hierfurschreibenwir: 

(a)=ddtVexp(ta)jt=0=+(a) 0 ?(a) 0 

SuperalgebrenwieEndVCnhabenzweiArtenvonSpuren: DiegewohnlicheSpur,mittrbezeichnet,verschwindetaufKommutatoren. 

(a)2End+VCn: 

DieSuperspur,mitstrbezeichnet,verschwindetaufSuperkommutatoren36. 

InsbesonderegeltendieFormeln 

diemanalsSonderfalle(z=1)einersehrvielallgemeinerenSpurauasseen strVu=trV+u?trV?u=det(1?u) trVu=trV+u+trV?u=det(1+u) 

kann: 

A+A?istderenAntikommutator,wennbeideElementeinA?liegen,anderenfallsder 36DerSuperkommutatorvonzweiElementenaundbeinergraduiertenAlgebraA= trzVu=nXp=0zptrVpu=det(1+zu) (z2C): 

Kommutator. 169

Superspur MitBlickauf(502)habenwirnunmehrdieAufgabe,fura;b;c2u(n)die 

zuberechnen,inderwirdieAnomalieerkennen.Dannbleibtzuentscheiden, obdieseSuperspurverschwindet. str((a)f(b);(c)g) 

WiezuvorwirddieGruppeneinheitmit1bezeichnet.HingegensollmitV1= 8.4.3TechnikenzurBerechnung 1lderEinheitsoperatorinEndVCngemeintsein.DieFormeltrzVu=det(1+ zu)kannaufandereWeisegeschriebenwerden,namlichals 

nullterOrdnung: DieersteundeinfachsteRechnung{wirsetzenu=1{fuhrtaufdieSpur logtrzVu=trlog(1+zu) u2U(n);1+zu6=0: (504) 

unddritterOrdnung.ImerstenSchrittersetzenwirudurchetauin(504), DienachstenProblemebetreendieBerechnungvonSpurenerster,zweiter trz1l=(1+z)n: 

WirgehenzurEinheitu=1umdieSpurersterOrdnungzuerhalten: berechnendieAbleitungbeit=0underhalten trz((a)Vu)=ztrzVutr(au(1+zu)?1): trz(a)=z(1+z)n?1tra: (505) 

dieAbleitunganderStellet=0: IneinemzweitenSchrittersetzenwirudurchetbuin(505)undberechnen trz((a)(b)Vu)=ztrz((b)Vu)tr(au(1+zu)?1) 

wobeiwirvon(Adu)b=ubu?1,deradjungiertenDarstellungGebrauch +ztrz(Vu)1Xm=0(?z)mmXk=0tra(Adu)kbum+1(506) 

machten.WirgehenzurEinheitu=1umdieSpurzweiterOrdnungzu erhalten: IneinemweiterendrittenSchrittersetzenwirudurchetcin(506)undnehmen eineUmformungvor, trz((a)(b))=z(1+z)n?2(ztratrb+tr(ab)): 

z1Xm=0(?z)mmXk=0tra(Adu)kbum+1=1Xn=0tntra(adc)nbfn(zetc); 170

eiderdieHausdor-Formel 

benutztundgewissekomplexenFunktioneneingefuhrtwurden: (Adetc)kb=1Xn=0kn n!tn(adc)nb; (adc)b=[c;b] 

fn(z)=z1Xm=0(?z)mmXk=0kn 

OenbarlassensiesichalsanalytischeFunktionenaufCnf?1gverstehen. Sobaldwiru=etcgesetzthaben,berechnenwirdieAbleitungaufbeiden n! 

Seitenvon(506)beit=0underhaltensoeinevorlaugeFormelfurSpur dritterOrdnung: trz((a)(b)(c))=z(1+z)?1trz((b)(c))tra +z(1+z)?2trz(b)tr(ac) +f0(z)trz(c)tr(ab) 

Mankannnunleichtzeigen,dadiefolgendenDarstellungengelten: +zf0(z)trz1ltr(abc) 

f0(z)=z(1+z)?2+f1(z)trz1ltr(a[c;b]): 

Darausfolgtunmittelbar: f1(z)=?z2(1+z)?3 

FugenwirnunallegewonnenenInformationenzusammen,sogewinnenwir zf0(z)trz1l=z(1+z)n?3(1?z) 

dasEndresultat f1(z)trz1l=?z2(1+z)n?3: 

mitdenAbkurzungen trz((a)(b)(c))=(1+z)n?3(z1+z22+z33) (507) 

1=tr(abc) 

ImFalln3istdieSpurdritterOrdnungzweifelloseinPolynomn-terOrdnunginz,wiezuerwartenwar.Furn=2hingegendeutetdieFormel(507) 

3=tratrbtrc: 2=tratr(bc)+trbtr(ac)+trctr(ab)?tr(acb) 

171

einescheinbareSingularitatanderStellez=?1an,obwohldasErgebnisein darin,daspeziellfur22Matrizen(hiera;b;c)eineIdentitatexistiert: PolynomzweiterOrdnungseinsollte.DieLosungdieserDiskrepanzbesteht 

Deshalbgiltz1+z22+z33=(1+z)(ztr(abc)+z2tratrbtrc) 

tr(afb;cg)=tratr(bc)+trbtr(ac)+trctr(ab)?tratrbtrc 

undsomitfurn=2 

DiesisteinsehreinfachererAusdruck.Erkannnaturlichauchaufdirektem Wegeerhaltenwerden,indemmanvonAnfangann=2voraussetzt. trz((a)(b)(c))=ztr(abc)+z2tratrbtrc 

UmzudenfurunswichtigenAussagenzukommen,setzenwirz=?1in 8.4.4DiskussiondesResultates denobigenFormelnundbenutzendieAbkurzung 

FurdensymmetrischeAnteilderSuperspurerhaltenwirdenAusdruck s=tratr(bc)+trbtr(ac)+trctr(ab)?tratrbtrc: 

12str((a)f(b);(c)g)=(tratrbtrc?s=2ifn=2 

InWorten: s?tr(afb;cg) 0 ifn=3 

DieAnomalieverschwindetfallsn4. ifn4 

DieAnomalieverschwindetfallsn=2unda;b;cspurfreisind. 

DieEichgruppeSU(5),Kandidatfureinigegranduniedtheories(GUTs), DieAnomalieverschwindetnicht(!)fallsn=3,selbstdannnicht,wenn 

istbekanntlichnichtsicher.WennsichjedochaufderauerenAlgebraVC5 a;b;cspurfreisind. 

operiert,istdieseDarstellungfreivonAnomalien.GleichesgiltfurjedeUntergruppeGSU(5),auchauchfurdieEichgruppe 

G=f(u;v)2U(3)U(2)jdetudetv=1g 172

desStandardmodellsmitderLie-Algebra 

indreiGenerationenunterbringen.InjederGenerationndenwir16Weyl- AllebekanntenfundamentalenFermionen(LeptonenundQuarks)lassensich LieG=su(3)su(2)u(1): 

Felder(rechts-undlinkhandigeDirac-Felder)derTeilchenund16Weyl- FelderderzugehorigenAntiteilchen.DiesergibtdiekorrekteDimension: 

(bzw.RundR).DaGaufV0C5trivialwirkt,koppeltdasrechthandi- 

DerUnterraumV0C5=CistdemrechtshandigenNeutrinovorbehalteneR 16+16=25=dimVC5: 

geNeutrinonichtandieEichfelder,besitztalsowederschwachenochelek- 

tromagnetischenochstarkeWechselwirkung.JedochdieKopplungandas Higgs-FeldgibtdenNeutrinosMasseunddenLeptoneneineCKM-Matrix. SiehehierzudasentsprechendeKapiteluberdasStandardmodell. 

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174

Skript - Physikzentrum der RWTH Aachen

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