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25.1 Das Verfahren der Diskriminanzanalyse 597
penzugehörigkeit eines Funktionswertes anhand zweier bekannter Wahrscheinlichkeiten
zu ermitteln:
P( D | G ) ( )
P(G i | D) =
i ⋅ P Gi
g
∑ P( D | G ) ⋅ P( G )
i=
1
P(G i | D) ist die Wahrscheinlichkeit für die Zugehörigkeit eines Falles zur Gruppe
G i bei gegebenem Funktionswert D. Diese Wahrscheinlichkeit wird als A-
posteriori-Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Sie läßt sich aus den Wahrscheinlichkeiten
P(G i ) (A-priori-Wahrscheinlichkeit) und P(D | G i ) (bedingte Wahrscheinlichkeit)
berechnen. Diese beiden Wahrscheinlichkeiten können folgendermaßen
interpretiert werden:
¾ A-priori-Wahrscheinlichkeit P(G i ): Dies ist die Wahrscheinlichkeit für eine
Gruppenzugehörigkeit, von der man ausgehen muß, wenn keinerlei weitere Informationen
zur Verfügung stehen. Nimmt man zum Beispiel eine Zuordnung
zu drei Gruppen vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Zugehörigkeit
eines Falles zu einer bestimmten Gruppe 1/3, also ungefähr 33%, sofern man
über keinerlei zusätzliche Informationen verfügt. Alternativ kann man davon
ausgehen, die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Gruppen in der
vorliegenden Stichprobe vertreten sind, seien repräsentativ für die Grundgesamtheit.
Dann liegt es nahe, diese relativen Häufigkeiten als A-priori-
Wahrscheinlichkeiten zu verwenden. Beispielsweise haben 57,4% der Befragten
angegeben, sie würden bei der Wahl die CDU/CSU wählen, während
42,6% ihre Stimme der SPD geben würden. (Diese Zahlen beziehen sich auf
die in diesem Beispiel berücksichtigen Personen, unter denen sich ausschließlich
CDU/CSU- und SPD-Wähler befinden.) Greift man nun eine beliebige
Person aus der Datendatei heraus, so gehört diese mit einer Wahrscheinlichkeit
von 42,6% der Gruppe der SPD-Wähler und mit einer Wahrscheinlichkeit von
57,4% den CDU/CSU-Wählern an. 272
¾ Bedingte Wahrscheinlichkeit P(D | G i ): Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist
die Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein bestimmter Funktionswert D ergibt,
wenn der jeweilige Fall der Gruppe G i entstammt. Die Berechnung dieser
Wahrscheinlichkeiten erfolgt unter der Annahme, daß die Funktionswerte innerhalb
jeder Gruppe normalverteilt sind und die Parameter der Verteilung geschätzt
werden können.
Diese Wahrscheinlichkeiten sowie die jeweiligen Funktionswerte der Diskriminanzfunktion
werden in der Tabelle aus Abbildung 25.2 für die ersten 30 in die
Analyse aufgenommenen Fälle aus der Datei allbus.sav aufgelistet. Eine solche
Liste wurde durch die Option Ergebnisse für jeden Fall aus dem Dialogfeld der
i
i
272 Wenn Sie die Diskriminanzanalyse über die Befehlssyntax und nicht mit Hilfe der Dialogfelder
durchführen, besteht alternativ die Möglichkeit, die A-priori-Wahrscheinlichkeiten für
die einzelnen Gruppen explizit vorzugeben. Dies ist sinnvoll, wenn aus anderen Quellen Informationen
über die relativen Häufigkeiten der einzelnen Gruppen in der Grundgesamtheit vorliegen.
Felix Brosius, SPSS 8
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