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Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Chomsky-0-Sprachen Ergebnisse für Chomsky-1- und Chomsky-0-Sprachen Beweisidee: durch Modifikation des Beweises für linear beschränkte Turingmaschinen und monotone Grammatiken. Grammatiken → Turingmaschinen: hier muss bei der Simulation der Grammatik auf dem Turingmaschinen-Band bei verkürzenden Regeln (linke Seite ist länger als rechte Seite) der Bandinhalt auseinandergeschoben werden. Turingmaschinen → Grammatiken: hier muss dafür gesorgt werden, dass die Grammatik bei Simulation der Turingmaschine links und rechts Leerzeichen erzeugen kann und diese nach erfolgreicher Berechnung auch wieder löscht. Abschluss unter Komplement von Typ-1-Sprachen (Immerman, Szelepcsényi) Wenn L eine Typ-1-Sprache ist, dann ist auch L = Σ ∗ \L eine Typ-1-Sprache. (Ohne Beweis) Abschluss unter Komplement von Typ-0-Sprachen Wenn L eine Typ-0-Sprache ist, dann ist L = Σ ∗ \L nicht notwendigerweise eine Typ-0-Sprache. (Begründung und Beispiele später im Kapitel Berechenbarkeitstheorie.) Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Barbara König BeKo/TI 60 Ergebnisse für Chomsky-1- und Chomsky-0-Sprachen Determinismus und Nichtdeterminismus bei Turingmaschinen Zu jeder nichtdeterministischen Turingmaschine gibt es eine deterministische Turingmaschine, die dieselbe Sprache akzeptiert. Beweisidee: die deterministische Turingmaschine simuliert mit Hilfe von Breitensuche alle Verzweigungen der nichtdeterministischen Turingmaschine. Determinismus und Nichtdeterminismus bei linear beschränkten Turingmaschinen (LBA-Problem) Für linear beschränkten Turingmaschinen ist nicht bekannt, ob die deterministischen und nichtdeterministischen Maschinenmodelle gleich ausdrucksmächtig sind. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechenbarkeit: Motivation Barbara König BeKo/TI 61 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Nach der Beantwortung der Frage, welche Sprachen maschinell akzeptierbar sind, beschäftigen wir uns mit der Frage, welche Funktionen berechenbar sind. Wir betrachten folgende Typen von Funktionen: (mehrstellige) Funktionen auf natürlichen Zahlen (die Null ist eingeschlossen): f : N k 0 → N 0 Funktionen auf Wörtern: f : Σ ∗ → Σ ∗ Erlaubt sind auch partielle Funktionen, die nicht notwendigerweise überall definiert sind. Barbara König BeKo/TI 62 Barbara König BeKo/TI 63
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Berechenbarkeit: Motivation Berechenbarkeit: Motivation Intuitiver Berechenbarkeitsbegriff Eine Funktion f : N k 0 → N 0 soll als berechenbar angesehen werden, wenn es ein Rechenverfahren/einen Algorithmus/ein Programm gibt, das f berechnet, d.h. das Verfahren erhält (n 1 , . . . , n k ) als Eingabe, terminiert nach endlich vielen Schritten, falls die Funktion auf dieser Eingabe definiert ist und gibt f (n 1 , . . . , n k ) aus. Falls die Funktion auf (n 1 , . . . , n k ) nicht definiert ist, so soll das Verfahren nicht stoppen (z.B., durch eine unendliche Schleife). Die Äquivalenz vieler Berechnungsmodelle (das wird noch gezeigt) und das intuitive Verständnis des Begriff der Berechenbarkeit führen zu folgender (nicht beweisbaren) These. Churchsche These Die durch die formale Definition der Turingmaschinen-Berechenbarkeit (äquivalent: While-Berechenbarkeit, Goto-Berechenbarkeit, µ-Rekursivität) erfasste Klasse von Funktionen stimmt genau mit der Klasse der im intuitiven Sinne berechenbaren Funktionen überein. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechenbarkeit: Motivation Barbara König BeKo/TI 64 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechenbarkeit: Motivation Barbara König BeKo/TI 65 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Bemerkungen: Ein Berechnungsmodell, das äquivalent zu Turingmaschinen ist, nennt man auch Turing-mächtig. Der entsprechende Berechenbarkeitsbegriff heißt Turing-Berechenbarkeit. Fast alle Programmiersprachen sind Turing-mächtig. Heute ist man – mehr als früher – neben der Berechenbarkeit von Funktionen auch an eher interaktiven und reaktiven Berechnungsmodellen (z.B. Prozesskalküle) interessiert, bei denen der Benutzer auch während der Berechnung mit dem System interagieren kann. Diese werden von Turingmaschinen nicht so gut repräsentiert, ihre Existenz ist aber auch kein Widerspruch zur Churchschen These, die sich nur auf berechenbare Funktionen bezieht. Wir wiederholen kurz den Begriff der Abzählbarkeit: Abzählbarkeit Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung f : N 0 → M gibt. Das heißt es gibt eine (nicht notwendigerweise konstruktive) Aufzählung f (0), f (1), f (2), . . . aller Elemente von M, in der jedes Element von M mindestens einmal vorkommt. Barbara König BeKo/TI 66 Barbara König BeKo/TI 67
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