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Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Entscheidbarkeit Bei Semi-Entscheidbarkeit erlaubt man, dass die charakteristische Funktion im negativen Fall undefiniert ist. Bei konkreten Berechnungsmodellen entspricht das der Nicht-Terminierung. Semi-Entscheidbarkeit (Definition) Eine Sprache A ⊆ Σ ∗ heißt semi-entscheidbar, falls die “halbe” charakteristische Funktion von A, nämlich χ ′ A : Σ∗ → {0, 1} mit berechenbar ist. Entscheidbarkeit { χ ′ 1 A (w) = undefiniert Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie falls w ∈ A falls w ∉ A Barbara König BeKo/TI 133 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Semi-Entscheidbarkeit und Chomsky-0-Sprachen Eine Sprache A ist semi-entscheidbar genau dann, wenn sie vom Typ-0 ist. Beweisidee: Die Chomsky-0-Sprachen sind genau die Sprachen, die von einer Turingmaschine akzeptiert werden. Turingmaschinen, die eine “halbe” charakteristische Funktion berechnen, akzeptieren auch die entsprechende Sprache, da sie nach Schreiben der 1 in einen Endzustand übergehen. Eine (deterministische) Turingmaschine, die eine Sprache akzeptiert, kann leicht in eine Turingmaschine umgewandelt werden, die die “halbe” charakteristische Funktion berechnet, indem sie beim Übergang in einen Endzustand das Band löscht und eine 1 schreibt. Barbara König BeKo/TI 135 Entscheidbarkeit Intuitiv: eine Sprache A ist semi-entscheidbar, wenn es eine Maschine M A gibt, die sich bei Eingabe von w ∈ Σ ∗ folgendermaßen verhält: w M A Ja (Ausgabe 1, falls w ∈ A) ??? (Nicht-Terminierung, falls w ∉ A) Bei jeder Eingabe rechnet die Maschine und gibt – falls w ∈ A gilt – nach endlicher Zeit “Ja” aus. Falls w ∉ A gilt, so terminiert die Maschine nie. Das heißt, man kann sich nie sicher sein, ob nicht doch irgendwann “Ja” ausgegeben wird, da die Antwortzeit der Maschine nicht beschränkt ist. Entscheidbarkeit Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Zur Erinnerung: die Chomsky-Hierarchie Barbara König BeKo/TI 134 Menge aller Sprachen Typ-2-Sprachen kontextfreie Sprachen Typ-3-Sprachen reguläre Sprachen Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Typ-0-Sprachen semi-entscheidbare Sprachen Typ-1-Sprachen kontextsensitive Sprachen Barbara König BeKo/TI 136
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Entscheidbarkeit Bemerkungen: Im Zusammenhang mit Fragestellungen der Entscheidbarkeit werden Sprachen oft auch als Probleme bezeichnet. Auch wenn charakteristische Funktionen Wörter als Argumente haben, kann man sie leicht als Funktionen über natürlichen Zahlen auffassen und so mit While- bzw. Goto-Programmen berechnen. Jedes Wort aus Σ ∗ kann als Zahl zur Basis b aufgefasst werden, wobei b > |Σ|. (Siehe auch die Umwandlung “Turingmaschinen → Goto-Programme”.) Außerdem: Wir werden als Probleme im folgenden auch Teilmengen von N 0 bzw. N k 0 betrachten. Denn jede natürliche Zahl kann in Binärkodierung als Wort über Σ = {0, 1} betrachtet werden. Entscheidbarkeit Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Barbara König BeKo/TI 137 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Unentscheidbarkeit des allgemeinen Wortproblems (Satz) Falls es eine Grammatik G gibt, für die das (spezielle) Wortproblem L(G) unentscheidbar ist, so ist auch das allgemeine Wortproblem unentscheidbar. Beweis: Sei G eine Grammatik, für die das Wortproblem L(G) unentscheidbar ist. Falls das allgemeine Wortproblem A entscheidbar wäre, so wäre auch L(G) entscheidbar. Für ein gegebenes Wort w müßte man dann nur überprüfen, ob (w, G) ∈ A gilt. Widerspruch! Barbara König BeKo/TI 139 Entscheidbarkeit Typische Beispiele für Probleme: Beispiel 1: das (spezielle) Wortproblem Gegeben sei eine feste Chomsky-Grammatik G und das Problem sei A = L(G). Wir wissen bereits, dass A entscheidbar ist, falls G eine Chomsky-1-Grammatik ist. Außerdem gibt es Grammatiken, für die L(G) nicht entscheidbar ist (noch ohne Beweis). Beispiel 2: das allgemeine Wortproblem Das allgemeine Wortproblem ist die Menge A = {(w, G) | w ∈ L(G), G Chomsky-Grammatik über dem Alphabet Σ}, wobei die Paare (w, G) geeignet als Zeichenketten kodiert werden müssen. Entscheidbarkeit Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Barbara König BeKo/TI 138 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Das heißt, aus einer Maschine zur Lösung des allgemeinen Wortproblems könnte man eine Maschine zur Lösung eines (speziellen) Wortproblems bauen. Da es letztere aber nicht für alle Grammatiken G gibt, kann es auch erstere nicht geben. w G Maschine für allgemeines Wortproblem Maschine für (spezielles) Wortproblem Ja Nein Argumentationen dieser Art (“wenn es ein Verfahren für A gibt, dann kann man daraus ein Verfahren für B konstruieren”) bezeichnet man als Reduktionen. Wir werden sie im folgenden häufiger anwenden. Barbara König BeKo/TI 140
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