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Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Komplexitätsklassen NP-Vollständigkeit Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Komplexitätsklassen NP-Vollständigkeit O-Notation O-Notation Man spricht von linearer Laufzeit: O(n) quadratischer Laufzeit: O(n 2 ) kubischer Laufzeit: O(n 3 ) polynomialer Laufzeit: O(n l ) für eine Konstante l bzw. O(p(n)) für ein Polynom p exponentieller Laufzeit: O(2 n ) bzw. O(q n ) für q > 1 Laufzeiten in Abhängigkeit von der Größe der Eingabe: Laufzeit Anzahl Schritte Behandelbare Größe der Eingabe bei Eingabegröße 100 bei 1.000.000 Schritte O(n) 100 1.000.000 O(n 2 ) 10.000 1.000 O(n 3 ) 1.000.000 100 O(2 n ) 1,27·10 30 19,9 Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Komplexitätsklassen Barbara König BeKo/TI 240 Komplexitätsklassen NP-Vollständigkeit Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Komplexitätsklassen Barbara König BeKo/TI 241 Komplexitätsklassen NP-Vollständigkeit Zusammenhang zwischen P und der O-Notation Eine Problem liegt in P genau dann, wenn es von einer (deterministischen) Maschine gelöst werden kann, die polynomiell viele Schritte macht, d.h. O(n l ) Schritte für eine Konstante l, falls n die Eingabegröße ist. Komplexitätsklassen für andere Berechnungsmodelle Die Klasse P ist größtenteils unabhängig von dem betrachteten Maschinenmodell. Eine analoge Definition für While- bzw. Goto-Programme würde zur gleichen Klasse P führen. Die Voraussetzung hierfür ist jedoch, dass das logarithmische Kostenmaß (siehe nächste Folie) angewandt wird. Uniformes Kostenmaß Die Zuweisung x i := x j wird als ein Schritt gewertet. Logarithmisches Kostenmaß Zuweisungen der Form x i := x j werden nicht als ein Schritt angesehen, sondern vielmehr wird für jedes Bit in der Binärdarstellung von x j ein Schritt gerechnet. Zum logarithmischen Kostenmaß gehört auch, dass die Länge einer Eingabe n ∈ N 0 nicht n selbst ist, sondern die Länge der Binärdarstellung, d.h., log n. Barbara König BeKo/TI 242 Barbara König BeKo/TI 243
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Komplexitätsklassen NP-Vollständigkeit Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Barbara König BeKo/TI 244
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