2x2 - Theoretische Informatik - Universität Duisburg-Essen
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Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Typ-1-Sprachen und Entscheidbarkeit<br />
Typ-1-Sprachen und Entscheidbarkeit (Zusammenfassung)<br />
Jede Typ-1-Sprache ist entscheidbar.<br />
(Aufgrund der Bedingung |linke Seite| ≤ |rechte Seite| kann<br />
man die Wörter, die von der Grammatik erzeugt werden, in<br />
aufsteigender Länge aufzählen. Stopp, sobald die Wörter<br />
länger als das gesuchte werden.)<br />
Es gibt entscheidbare Sprachen, die nicht vom Typ 1 sind.<br />
Typ-1-Sprachen und Entscheidbarkeit<br />
Konstruktion einer entscheidbaren Sprache, die nicht vom Typ 1 ist<br />
(mittels Diagonalisierung):<br />
Betrachte ein Alphabet Σ, in dem sich Grammatiken kodieren<br />
lassen. Wir bezeichnen die Kodierung einer Grammatik G mit<br />
cod(G).<br />
Sei E die Menge der Kodierungen aller Grammatiken G, die<br />
folgende Eigenschaften erfüllen:<br />
G erzeugt Wörter über dem Alphabet Σ<br />
G ist vom Typ 1 (kontextsensitiv)<br />
cod(G) ∉ L(G)<br />
Die Sprache E ist entscheidbar. Die letzte Bedingung ist<br />
überprüfbar, da das Wortproblem für Typ-1-Sprachen<br />
entscheidbar ist.<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Barbara König BeKo/TI 212<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Typ-1-Sprachen und Entscheidbarkeit<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Barbara König BeKo/TI 213<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Typ-1-Sprachen und Entscheidbarkeit<br />
Angenommen, E ist vom Typ 1. Dann gibt es eine<br />
Typ-1-Grammatik G ′ mit L(G ′ ) = E.<br />
Die Frage ist jetzt, ob die Kodierung von G ′ in E liegt. Da die<br />
ersten beiden Bedingungen auf jeden Fall erfüllt sind, hängt<br />
dies nur noch von der letzten Bedingung ab.<br />
cod(G ′ ) ∈ E ⇐⇒ cod(G ′ ) ∉ L(G ′ ) ⇐⇒ cod(G ′ ) ∉ E.<br />
Die letzte Äquivalenz gilt wegen L(G ′ ) = E.<br />
Damit ergibt sich ein Widerspruch und E kann nicht vom<br />
Typ 1 sein.<br />
Bemerkungen:<br />
Bei diesem Resultat gibt es eine Analogie zu der Tatsache,<br />
dass es totale und berechenbare Funktionen gibt, die nicht<br />
Loop-berechenbar sind.<br />
Jeder andere Versuch, syntaktisch eine Klasse von<br />
Grammatiken zu definieren, die genau die entscheidbaren<br />
Sprachen erzeugen, muss scheitern. In diesem Fall wäre ein<br />
analoger Diagonalisierungsbeweis möglich.<br />
Barbara König BeKo/TI 214<br />
Barbara König BeKo/TI 215
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