2x2 - Theoretische Informatik - Universität Duisburg-Essen
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Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Berechenbarkeit: Motivation<br />
Berechenbarkeit: Motivation<br />
Intuitiver Berechenbarkeitsbegriff<br />
Eine Funktion f : N k 0 → N 0 soll als berechenbar angesehen werden,<br />
wenn es ein Rechenverfahren/einen Algorithmus/ein Programm<br />
gibt, das f berechnet, d.h.<br />
das Verfahren erhält (n 1 , . . . , n k ) als Eingabe,<br />
terminiert nach endlich vielen Schritten, falls die Funktion auf<br />
dieser Eingabe definiert ist<br />
und gibt f (n 1 , . . . , n k ) aus.<br />
Falls die Funktion auf (n 1 , . . . , n k ) nicht definiert ist, so soll das<br />
Verfahren nicht stoppen (z.B., durch eine unendliche Schleife).<br />
Die Äquivalenz vieler Berechnungsmodelle (das wird noch gezeigt)<br />
und das intuitive Verständnis des Begriff der Berechenbarkeit<br />
führen zu folgender (nicht beweisbaren) These.<br />
Churchsche These<br />
Die durch die formale Definition der<br />
Turingmaschinen-Berechenbarkeit (äquivalent:<br />
While-Berechenbarkeit, Goto-Berechenbarkeit, µ-Rekursivität)<br />
erfasste Klasse von Funktionen stimmt genau mit der Klasse der<br />
im intuitiven Sinne berechenbaren Funktionen überein.<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechenbarkeit: Motivation<br />
Barbara König BeKo/TI 64<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechenbarkeit: Motivation<br />
Barbara König BeKo/TI 65<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Bemerkungen:<br />
Ein Berechnungsmodell, das äquivalent zu Turingmaschinen<br />
ist, nennt man auch Turing-mächtig. Der entsprechende<br />
Berechenbarkeitsbegriff heißt Turing-Berechenbarkeit.<br />
Fast alle Programmiersprachen sind Turing-mächtig.<br />
Heute ist man – mehr als früher – neben der Berechenbarkeit<br />
von Funktionen auch an eher interaktiven und reaktiven<br />
Berechnungsmodellen (z.B. Prozesskalküle) interessiert, bei<br />
denen der Benutzer auch während der Berechnung mit dem<br />
System interagieren kann. Diese werden von Turingmaschinen<br />
nicht so gut repräsentiert, ihre Existenz ist aber auch kein<br />
Widerspruch zur Churchschen These, die sich nur auf<br />
berechenbare Funktionen bezieht.<br />
Wir wiederholen kurz den Begriff der Abzählbarkeit:<br />
Abzählbarkeit<br />
Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung<br />
f : N 0 → M gibt. Das heißt es gibt eine (nicht notwendigerweise<br />
konstruktive) Aufzählung f (0), f (1), f (2), . . . aller Elemente von<br />
M, in der jedes Element von M mindestens einmal vorkommt.<br />
Barbara König BeKo/TI 66<br />
Barbara König BeKo/TI 67
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