2x2 - Theoretische Informatik - Universität Duisburg-Essen
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Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Berechenbarkeit: Motivation<br />
Berechenbarkeit: Motivation<br />
Nicht-berechenbare Funktionen<br />
Es gibt Funktionen der Form f : N 0 → N 0 , die nicht berechenbar<br />
sind.<br />
Beweisidee: wir wählen ein beliebiges Berechnungsmodell und<br />
stellen nur eine Anforderung:<br />
Programme bzw. Maschinen in diesem<br />
Berechnungsmodell, können als Wörter über einem<br />
endlichen Alphabet kodiert werden.<br />
Dann gilt: es gibt höchstens abzählbar viele<br />
Maschinen/Programme.<br />
Aber: es gibt überabzählbar viele (totale) Funktionen.<br />
Wir zeigen dies durch einen Widerspruchsbeweis: angenommen die<br />
Menge aller totalen Funktionen F auf natürlichen Zahlen ist<br />
abzählbar. Das heißt, es gibt eine surjektive Abbildung F : N 0 → F.<br />
Wir konstruieren die (totale) Funktion g : N 0 → N 0 mit<br />
g(n) = f n (n) + 1,<br />
wobei f n = F (n).<br />
Da F surjektiv ist, muss es eine natürliche Zahl i geben mit<br />
F (i) = g. Für dieses i gilt dann: g(i) = f i (i). Aber das ist ein<br />
Widerspruch zur Definition von g mit g(i) = f i (i) + 1.<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechenbarkeit: Motivation<br />
Barbara König BeKo/TI 68<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Veranschaulichung: wir stellen F dadurch dar, indem wir zu jedem<br />
n die Funktion f n als Folge f n (0), f n (1), f n (2), . . . notieren.<br />
Zum Beispiel:<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechenbarkeit: Motivation<br />
Barbara König BeKo/TI 69<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Veranschaulichung: wir stellen F dadurch dar, indem wir zu jedem<br />
n die Funktion f n als Folge f n (0), f n (1), f n (2), . . . notieren.<br />
Alle Zahlen auf der Diagonale verwenden . . .<br />
n<br />
f n (0) f n (1) f n (2) f n (3) f n (4) . . .<br />
n<br />
f n (0) f n (1) f n (2) f n (3) f n (4) . . .<br />
0<br />
7<br />
20<br />
33<br />
0<br />
12<br />
0<br />
7<br />
20<br />
33<br />
0<br />
12<br />
1<br />
12<br />
33<br />
94<br />
2<br />
17<br />
1<br />
12<br />
33<br />
94<br />
2 17<br />
2<br />
99<br />
101<br />
16<br />
11<br />
22<br />
2<br />
99<br />
101<br />
16<br />
11 22<br />
3<br />
2<br />
0<br />
14<br />
99<br />
42<br />
3<br />
2<br />
0<br />
14<br />
99<br />
42<br />
4<br />
17<br />
5<br />
77<br />
7<br />
11<br />
4<br />
17<br />
5<br />
77<br />
7<br />
11<br />
. . .<br />
. . .<br />
Barbara König BeKo/TI 70<br />
Barbara König BeKo/TI 70
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