2x2 - Theoretische Informatik - Universität Duisburg-Essen
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Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Postsches Korrespondenzproblem<br />
Postsches Korrespondenzproblem<br />
Wir betrachten nun ein wichtiges unentscheidbares Problem, das<br />
dazu benutzt wird, die Unentscheidbarkeit vieler anderer Probleme<br />
zu zeigen:<br />
Postsches Korrespondenzproblem (PCP)<br />
Eingabe: Eine endliche Folge von Wortpaaren<br />
(x 1 , y 1 ), . . . , (x k , y k ) mit x i , y i ∈ Σ + .<br />
(Dabei ist Σ ein beliebiges Alphabet.)<br />
Ausgabe: Gibt es eine Folge von Indizes<br />
i 1 , . . . , i n ∈ {1, . . . , k}, n ≥ 1 mit x i1 . . . x in = y i1 . . . y in ?<br />
Beispiel 1: Löse das Postsche Korrespondenzproblem für<br />
x 1 = 0 x 2 = 1 x 3 = 0101<br />
y 1 = 010 y 2 = 101 y 3 = 01<br />
Eine mögliche Lösung: 3, 3, 1, 2:<br />
01 01 | 010 1 | 0 | 1<br />
01 | 01 | 010 | 1 0 1<br />
Eine weitere (kürzere) Lösung ist: 3, 1<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Postsches Korrespondenzproblem<br />
Barbara König BeKo/TI 196<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Postsches Korrespondenzproblem<br />
Barbara König BeKo/TI 197<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Beispiel 2: Löse das Postsche Korrespondenzproblem für<br />
x 1 = 001 x 2 = 01 x 3 = 01 x 4 = 10<br />
y 1 = 0 y 2 = 011 y 3 = 101 y 4 = 001<br />
Eine kürzeste Lösung besteht bereits aus 66 Indizes:<br />
2, 4, 3, 4, 4, 2, 1, 2, 4, 3, 4, 3, 4, 4, 3, 4, 4, 2, 1, 4, 4, 2, 1, 3, 4, 1, 1, 3,<br />
4, 4, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 3, 4, 1, 2, 1, 4, 4, 2, 1, 4, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 3,<br />
1, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 3.<br />
An der Komplexität dieser Lösung kann man bereits die<br />
Schwierigkeit des Problems ablesen.<br />
Semi-Entscheidbarkeit des PCP (Satz)<br />
Das Postsche Korrespondenzproblem ist semi-entscheidbar.<br />
Beweisidee:<br />
Probiere erst alle Indexfolgen der Länge 1 aus, dann alle<br />
Indexfolgen der Länge 2, . . .<br />
Falls irgendwann eine passende Indexfolge gefunden wird, so gib 1<br />
aus.<br />
Barbara König BeKo/TI 198<br />
Barbara König BeKo/TI 199
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