2x2 - Theoretische Informatik - Universität Duisburg-Essen
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Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Entscheidbarkeit<br />
Bemerkungen:<br />
Im Zusammenhang mit Fragestellungen der Entscheidbarkeit<br />
werden Sprachen oft auch als Probleme bezeichnet.<br />
Auch wenn charakteristische Funktionen Wörter als<br />
Argumente haben, kann man sie leicht als Funktionen über<br />
natürlichen Zahlen auffassen und so mit While- bzw.<br />
Goto-Programmen berechnen. Jedes Wort aus Σ ∗ kann als<br />
Zahl zur Basis b aufgefasst werden, wobei b > |Σ|.<br />
(Siehe auch die Umwandlung “Turingmaschinen →<br />
Goto-Programme”.)<br />
Außerdem: Wir werden als Probleme im folgenden auch<br />
Teilmengen von N 0 bzw. N k 0 betrachten. Denn jede natürliche<br />
Zahl kann in Binärkodierung als Wort über Σ = {0, 1}<br />
betrachtet werden.<br />
Entscheidbarkeit<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Barbara König BeKo/TI 137<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Unentscheidbarkeit des allgemeinen Wortproblems (Satz)<br />
Falls es eine Grammatik G gibt, für die das (spezielle)<br />
Wortproblem L(G) unentscheidbar ist, so ist auch das allgemeine<br />
Wortproblem unentscheidbar.<br />
Beweis: Sei G eine Grammatik, für die das Wortproblem L(G)<br />
unentscheidbar ist. Falls das allgemeine Wortproblem A<br />
entscheidbar wäre, so wäre auch L(G) entscheidbar. Für ein<br />
gegebenes Wort w müßte man dann nur überprüfen, ob<br />
(w, G) ∈ A gilt. Widerspruch!<br />
Barbara König BeKo/TI 139<br />
Entscheidbarkeit<br />
Typische Beispiele für Probleme:<br />
Beispiel 1: das (spezielle) Wortproblem<br />
Gegeben sei eine feste Chomsky-Grammatik G und das Problem sei<br />
A = L(G). Wir wissen bereits, dass A entscheidbar ist, falls G eine<br />
Chomsky-1-Grammatik ist. Außerdem gibt es Grammatiken, für die<br />
L(G) nicht entscheidbar ist (noch ohne Beweis).<br />
Beispiel 2: das allgemeine Wortproblem<br />
Das allgemeine Wortproblem ist die Menge<br />
A = {(w, G) | w ∈ L(G), G Chomsky-Grammatik über<br />
dem Alphabet Σ},<br />
wobei die Paare (w, G) geeignet als Zeichenketten kodiert werden<br />
müssen.<br />
Entscheidbarkeit<br />
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen<br />
Berechenbarkeitstheorie<br />
Komplexitätstheorie<br />
Barbara König BeKo/TI 138<br />
Berechnungsmodelle<br />
Unentscheidbarkeit<br />
Unentscheidbare Probleme<br />
Das heißt, aus einer Maschine zur Lösung des allgemeinen<br />
Wortproblems könnte man eine Maschine zur Lösung eines<br />
(speziellen) Wortproblems bauen. Da es letztere aber nicht für alle<br />
Grammatiken G gibt, kann es auch erstere nicht geben.<br />
w<br />
G<br />
Maschine für<br />
allgemeines<br />
Wortproblem<br />
Maschine für (spezielles) Wortproblem<br />
Ja<br />
Nein<br />
Argumentationen dieser Art (“wenn es ein Verfahren für A gibt,<br />
dann kann man daraus ein Verfahren für B konstruieren”)<br />
bezeichnet man als Reduktionen. Wir werden sie im folgenden<br />
häufiger anwenden.<br />
Barbara König BeKo/TI 140
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