2x2 - Theoretische Informatik - Universität Duisburg-Essen

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Typ-1-Sprachen und Entscheidbarkeit Damit ergibt sich folgende Hierarchie in Bezug auf semi-entscheidbare Sprachen (= Typ 0), Typ-1-Sprachen und entscheidbare Sprachen: Menge aller Sprachen Typ-0-Sprachen semi-entscheidbare Sprachen Entscheidbare Sprachen Typ-1-Sprachen kontextsensitive Sprachen Äquivalenzproblem für Turingmaschinen Wir haben bereits ein Problem kennengelernt, das nicht semi-entscheidbar ist: das Schnittproblem für kontextfreie Sprachen. Allerdings ist das Komplement dieses Problems semi-entscheidbar. Es gibt allerdings sogar noch schwerere Probleme, die nicht semi-entscheidbar sind und deren Komplement auch nicht semi-entscheidbar ist. Beispielsweise folgendes Problem: Äquivalenzproblem für Turingmaschinen Eingabe: Zwei Turingmaschinen M 1 , M 2 Ausgabe: Berechnen M 1 , M 2 dieselbe Funktion? Beweis: Reduktion vom Satz von Rice. Logik-Probleme Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Barbara König BeKo/TI 216 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Logik-Probleme Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Barbara König BeKo/TI 217 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Unerfüllbarkeit für Formeln der Prädikatenlogik 1. Stufe Das Problem, zu entscheiden, ob eine gegebene Formel F der Prädikatenlogik 1. Stufe unerfüllbar ist, ist unentscheidbar. Es ist jedoch noch semi-entscheidbar (z.B. mit Hilfe des Resolutionskalküls). Das gleiche gilt für das Gültigkeitsproblem. Prädikatenlogik 1. Stufe: die einfachste Form der Prädikatenlogik; man darf über Elemente quantifizieren (∀x, ∃x), nicht jedoch über Mengen oder Relationen. Das Unerfüllbarkeits- bzw. Gültigkeitsproblem für Logiken höherer Stufe (beispielsweise für die Prädikatenlogik 2. Stufe, bei der Quantifikation über Relationen erlaubt ist), ist nicht mehr semi-entscheidbar. Der Beweis benutzt die Tatsache, dass man mit Hilfe dieser Logiken die natürlichen Zahlen axiomatisieren und damit Aussagen über arithmetische Ausdrücken formulieren kann, etwas, das mit Hilfe der Prädikatenlogik 1. Stufe nicht ohne weiteres möglich ist (da man darin das Induktionsaxiom nicht ausdrücken kann). Barbara König BeKo/TI 218 Barbara König BeKo/TI 219
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Logik-Probleme Daraus folgt auch, dass solche Logiken höherer Stufe keinen Kalkül haben können. Denn aus einem Kalkül, der es ermöglicht, alle wahren Formeln abzuleiten, kann man immer ein Semi-Entscheidungsverfahren gewinnen. Die Nicht-Existenz eines solchen (vollständigen) Kalküls für die Arithmetik ist die Aussage des (Ersten) Gödelschen Unvollständigkeitssatzes (1931). Für die Mathematik bedeutet das: “Es gibt wahre Aussagen, die nicht beweisbar sind.” Unterhaltsame Lektüre zu diesem Thema: Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid In deutscher Übersetzung: Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: Ein endloses geflochtenes Band Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Diophantische Gleichungen Barbara König BeKo/TI 220 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Problem: Lösen diophantischer Gleichungen Eingabe: Eine diophantische Gleichung Ausgabe: Hat diese Gleichung eine Lösung in den ganzen Zahlen? Alternative Fragestellung: Hat diese Gleichung eine Lösung in den natürlichen Zahlen? Unentscheidbarkeit des Lösens diophantischer Gleichungen Es gibt kein allgemeines Verfahren, um diophantische Gleichungen zu lösen. D.h., das entsprechende Problem ist unentscheidbar. (Matiyasevich, 1970) (Ohne Beweis) Barbara König BeKo/TI 222 Diophantische Gleichungen Wir beschäftigen uns nun mit dem Lösen diophantischer Gleichungen (auch bekannt als Hilberts 10. Problem). Diophantische Gleichung Eine diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form p(x 1 , . . . , x n ) = 0 Wobei p(x 1 , . . . , x n ) ein Polynom in den Variablen x 1 , . . . , x n mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Beispiele: 3x − 4y − 1 = 0 2x − 4y − 1 = 0 x 2 − 1 = 0 Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Berechenbarkeitstheorie Komplexitätstheorie Diophantische Gleichungen Bemerkungen: xy − 2y 2 − 2 = 0 x 2 + y 2 − z 2 = 0 x 3 + y 3 − z 3 = 0 Barbara König BeKo/TI 221 Berechnungsmodelle Unentscheidbarkeit Unentscheidbare Probleme Eine der berühmtesten Klassen von diophantischen Gleichungen ist x n + y n = z n . Nach einem Result von Wiles von 1995 hat keine solche Gleichung für n > 2 eine Lösung in den natürlichen Zahlen (ohne die Null). (Beweis des letzten Satzes von Fermat) Für bestimmte Klassen von diophantischen Gleichungen gibt es Lösungsverfahren: Für eine Gleichung vom Typ x n + y n = z n mit n > 2 ist die Ausgabe der Algorithmus immer “nein” (= keine Lösung). Lineare diophantische Gleichungen der Form a 1 x 1 + · · · + a n x n = b haben ein Lösungsverfahren ( erweiterter euklidischer Algorithmus). Barbara König BeKo/TI 223
Seite 1 und 2:
Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen
Seite 3 und 4:
Seite 5 und 6:
Seite 7 und 8:
Seite 9 und 10:
Seite 11 und 12: Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen
Seite 61: Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen
Seite 69: Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen
Alle anzeigen

2x2 - Theoretische Informatik - Universität Duisburg-Essen

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?