umwandlungs

3.2. Differentielle Bilanzen
Einbindung von Solar- und Windkraft-Anlagen in dezentrale Energieversorgungssysteme
Zur differentiellen Bilanzierung offener verfahrenstechnischer Stoffsysteme mit definierten
Grenzen nutzt man die Gesetze der Erhaltung der Transportgrößen Energie, Stoffe, Masse und
Impuls am differentiellen Volumenelement. Dabei ist die Transportgröße Enthalpie die
entscheidende Energieform. Änderungen der anderen Energieformen, die auftreten können, wie
z. B. der potentiellen, kinetischen, magnetischen und elektrischen Energien, sind bei
Betrachtungen der Transportvorgänge vernachlässigbar. Die allgemeingültige Gleichung für eine
gekoppelte Betrachtung von Massen-, Energie- und Impulstransport der chemischen
Verfahrenstechnik kann mit der allgemeinen Transportgröße Γ wie folgt beschreiben werden:
zeitliche
Änderung
=
Konvektions
term
Leitungs −
term
∂ Γ
r
= − div(
w⋅
Γ)
+ div(
δ ⋅ grad Γ)
∂ t
+
+
+
– 39 –
Quell −
term
G
Gleichung 3-1
Diese allgemeine differentielle Bilanzgleichung (3–1) gilt für einphasige Systeme. Des weiteren
wurden zur Ableitung Rahmenbedingungen gesetzt, die den Gültigkeitsbereich eingrenzen:
o gilt für Prozesse der linearen irreversiblen Thermodynamik,
o keine Berücksichtigung von gekoppelten Vorgängen wie etwa die Thermodiffusion,
o der für den Transport durch Leitung auftretende Proportionalitätsfaktor wird für den
aktuellen Vorgang beschrieben, d. h. als Konstante angenommen,
o Gesamtdruck wird als Konstante betrachtet.
Die differentielle Bilanzen für die zu untersuchenden Größen Stoff, Masse, Wärme und Impuls
lauten nach Ersetzung der allgemeinen Transportgröße Γ für mehrphasige Systeme:
Stoffbilanz:
Massenbilanz:
∂ci
∂t
∂
∂t
Enthalpiebilanz:
Impulsbilanz:
∂
=
=
r
− div ( ci
⋅ w)
+ div ( Di
⋅ grad ci
) − βi
⋅ a ⋅ Δ ci
+ ∑ϑi j ⋅r
j
r
*
− div ( ρ ⋅ w)
+ div ( D ⋅ grad ρ)
− β ⋅ a ⋅ Δ ρ + G
ρ *
( ⋅c
⋅T
)
ρ p
r
*
*
= − div ( ρ⋅c
p⋅T
⋅ w)
+ div ( λ ⋅ grad
∂t
r
∂( ρ ⋅w)
r r
r * r
= − div(
ρ⋅
w ⋅ w)
+ div(
ϑ ⋅ grad
∂t
j
( ρ⋅c
p⋅T
) − α ⋅ a ⋅ Δ ( ρ⋅c
p⋅T
) + ∑r
⋅(
− ΔH
) j
j
( ρ⋅
w)
) − γ ⋅ a ⋅ Δ(
ρ⋅
w)
+ grad p
j
Gleichung 3-2
Gleichung 3-3
Gleichung 3-4
Gleichung 3-5
Mit dem Transportbilanzgleichungssystem lassen sich die durch Konvektion, Leitung und Umwandlung
verursachten örtlichen und/oder zeitlichen Änderungen des Stoffgemisches, der
Enthalpie und der Geschwindigkeit berechnen. Allerdings ist dazu eine Trennung der voneinander
abhängigen Differentialgleichungen erforderlich, da dieses gekoppelte System partieller
und nichtliniarer Differentialgleichungen in geschlossener Form nicht lösbar ist. Die hierfür