Leitungsgebundene Übertragung - steudler

STR - ING Übertragungstechnik LEI - 8
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Es wird angenommen, dass diese Beläge zeitlich und örtlich konstant sind. Ein Leitungsstück
der Länge dx weist dann z.B. einen Serienwiderstand von dR = R'dx auf.
An den Längselementen erzeugt der Strom i den Spannungsabfall
du dR i dL di
= + = Rdx ′ i+ Ldxdi ′ 2-1
dt dt
und in den Querelementen fliesst der Strom
d(u − du)
di = dG(u − du) + dC
dt
Gdx u Cdx du
= ′ + ′ 2-2
dt
Bemerkung: genauer müsste in (2-2) rechts an der Stelle von u die Grösse u−du
stehen; für genügend kleine dx darf aber du vernachlässigt werden (dx⋅du ist ein
Beitrag zweiter Ordnung).
Die Spannung u und der Strom i sind im allgemeinen Funktionen der Zeit t und des
Ortes x, also u(x,t) und i(x,t). Deshalb treten an Stelle der gewöhnlichen Differentialquotienten
die partiellen Ableitungen.
∂
= ′ + ′
∂
∂
∂
∂
= ′ + ′
∂
∂
u
i
Ri L
x t
i
u
Gu C
x ∂t
Diese zwei Gleichungen stellen ein gekoppeltes System von zwei partiellen Differentialgleichungen
dar. Sie können auf eine Gleichung reduziert werden, wenn z.B.
die erste Gleichung nach x differenziert wird
2
∂ u
∂ x 2
i
= R′ x
∂
∂
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Kurt Steudler Leitungsgebundene Übertragung str
2
∂ i
+ L′
∂∂ xt
und anschliessend der erste Term rechts durch die zweite Gleichung aus (2-3) und
der zweite Term durch die Ableitung der zweiten Gleichung nach der Zeit ersetzt
werden.
∂2u
∂ x
2
u
2
R G u C L G
t
2
u
t C
u
= ′ ′ + ′
t
∂ ⎛
⎞
⎜
⎟ + ′ ′
⎝ ∂ ⎠
∂ ⎛ ∂ ⎞
⎜ + ′
⎝ ∂ ∂ ⎠
2-3
2-4
⎟ 2-5
Durch zusammenfassen der Terme erhält man die sogenannte Telegraphengleichung.
∂
∂
2u
x 2
LC
2
u
u
= ′ ′ +(RC+LG) +RG u
t 2
t ∂
′ ′ ′ ′
∂
∂
′ ′ 2-6
∂