Leitungsgebundene Übertragung - steudler

STR - ING Übertragungstechnik LEI - 9
______________________________________________________________________
Auf analoge Weise lässt sich aus (2) auch eine Gleichung für den Strom herleiten,
sie heisst:
2i
2
x 2
2
LC
i
t +(RC+LG)
∂
i
= ′ ′ +RG i
∂
t ∂
′ ′ ′ ′
∂
∂
′ ′ 2-7
∂
Die Telegraphengleichung kann in ihrer allgemeinsten Form nicht geschlossen gelöst
werden. Es existieren aber Lösungen für verschiedene wichtige Spezialfälle,
weil unter bestimmten Randbedingungen die Telegraphengleichung vereinfacht
werden kann (verlustloser Fall, stationärer Fall, Einschwingvorgang mit spezieller
Anregung usw.).
2.2 Stationärer Fall mit sinusförmiger Anregung
Mit dem Produktansatz u(x,t) = U(x)⋅u(t) = U(x)⋅e jωt eingesetzt in (2-6) findet man
2
d U(
x)
jω
t L C ( 2 jωt
e = ′ ′ − ) U(
x)
e + ( L′
G′
+ R′
C′
)jωU(
x)
jωt
e + R′
G′
U(
x)
jωt
2
ω
e
2-8
dx
Da e jωt ≠ 0 ist (für alle t) darf durch diese Grösse dividiert werden
2
d U(
x)
= U(
x)
⋅ ( R′
+ jωL′
) ⋅(
G′
+ jωC′
)
2-9
2
dx
Diese gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung hat als Lösungen die Exponentialfunktionen
-γ
x γx
U e , U e
2-10
deren Superposition die allgemeine Lösung darstellt
h
U(x) h r h r
r
-γ
x γx
= U e + U e = U ( x)
+ U ( x)
2-11
Durch Einsetzen des Ansatzes in (2-9) und Koeffizientenvergleich kann die Konstante
bestimmt werden
2
(R +j L)(G +j C)
R
( j ) LC j j
L
G
γ = ′ ω ′ ′ ω ′
2 ⎛ ' ⎞⎛
' ⎞
= ω ⋅ ' '⋅⎜1−
⎟⎜1−⎟ ⎝ ω '⎠
⎝ ωC'
⎠
2-12
γ = α+j β = (R ′ +jωL)(G ′ ′ +jωC) ′
Die komplexe Grösse γ heisst Übertragungsbelag 4 mit den Komponenten
α Dämpfungsmass Dämpfungsbelag (altes Mass: [Neper/m])
4
Der Übertragungsbelag wird auch Übertragungsmass, Fortpflanzungskonstante oder Ausbreitungskonstante
genannt.
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler Leitungsgebundene Übertragung str