Gekoppelte Kälte- und Wärme - Huber Energietechnik AG

Gekoppelte Kälte- und Wärmeerzeugung mit Erdwärmesonden 9. Anhang
9.5 Ähnlichkeitsgesetze von
Erdwärmesonden
Die analytische Erdwärmesondengleichung wird
mit der Methode der Antwortfunktion gelöst. Konkret
wird die dimensionslose Temperatursprungantwort
"g-function" von Eskilson eingesetzt, die
als dimensionslose Zeit für Sondenfelder und Einzelsonden
betrachtet werden kann. Dabei ist die
g-function einzig eine Funktion der dimensionslosen
Zeit und des dimensionslosen Sondenabstandes
(Eskilson, 1987). Der spezifische Wärmeentzug
pro Sondenlänge ist bei dieser Berechnungsmethode
konstant.
Sowohl Einzelsonden als auch Sondenfelder weisen
bei geometrischer Ähnlichkeit auch ähnliche
Temperatur-Sprungantworten auf (Claesson und
Eskilson, 1987). Der Zeitmassstab muss dabei mit
dem Quadrat der Erdwärmesondenlänge H und
der Temperaturleitfähigkeit a dimensionsbefreit
werden. Die Sondenzeitkonstante ts ist definiert
als:
2
H
t s =
9a
Die dimensionslose Zahl Es von Eskilson
Gl. 9.3
t
Es =
t
9a
= t 2
H
Gl. 9.4
s
kann somit als dimensionslose Zeit für Sondenfelder
und Einzelsonden betrachtet werden.
Die Kenntnis der Zeitkonstanten ist vor allem bei
nicht ausgeglichener jährlicher Entzugsbilanz wesentlich.
Bis zum Zeitpunkt Es = 0.1 muss mit
einer merklichen Abkühlung bzw. Erwärmung des
Erdreiches gerechnet werden. Danach erfolgt nur
noch eine sehr geringe Temperaturänderung im
Erdreich. Der Gleichgewichtszustand zwischen
Wärmeentzug und nachhaltigem Nachfliessen der
Wärme ist dann ab ca. Es = 10 erreicht.
Zeithorizont
Der Zeithorizont für die Dimensionierung einer
Erdwärmesonde bzw. eines Erdwärmesondenfeldes
muss mindestens Es = 0.1 betragen.
Zahlenbeispiel:
- Bohrtiefe der Erdwärmesonden H = 180 m
- Wärmeleitfähigkeit λErde = 2.4 W/mK
- Wärmekapazität cp Erde = 900 J/kgK
- Dichte ρErde = 2500 kg/m 3
Mit Gl. 9.3 erhält man eine Zeitkonstante von
t
s
2
H H
= =
9a
c
2
pErde
9λ
ρ
Erde
Erde
9
= 3.
37510
[ s]
= 107[
Jahre]
Der Zeithorizont für die Dimensionierung der vorliegenden
Erdwärmesonden muss somit auf 11
Jahre (Es = 0.1) angesetzt werden.
Im Gleichgewichtszustand fliesst im Jahresdurchschnitt
die gleiche Energiemenge, die mit der
Sonde dem Erdreich entzogen wird, zusätzlich
von der Erdoberfläche wieder nach. Es findet somit
keine weitere Auskühlung bzw. Erwärmung
mehr statt.
Bild 9.12: Wärmeflusslinien für Einzelsonden im
Gleichgewichtszustand (ohne Jahreszeiten-Transienten).
Die Dimensionsbefreiung der Temperaturabsenkung
∆T erfolgt mit q& , der Wärmeleitfähigkeit der
Erde λErde und der Sondenlänge H. Damit kann
die dimensionslose Temperaturabsenkung g definiert
werden als
rb
∆T
2π
λErde
g ( Es,
) =
H q&
Gl. 9.5
Die dimensionslose Temperatursprungantwort g
(="g-function") ist nach Eskilson (1987) sowohl für
Einzelsonden als auch für Sondenfelder einzig
eine Funktion der dimensionslosen Zeit Es und
des dimensionslosen Sondenabstandes rb/H. Man
geht dabei von einem konstanten, spezifischen
Wärmeentzug pro Sondenlänge q& aus.
Für eine Einzelsonde im Bereich 5rb 2 /a < t < ts
kann die Funktion g bei einem maximalen Fehler
von 7 % angenähert werden mit
H
g(
Es,
rb
/ H)
= ln( ) + 0.
5 ln( Es)
2r
Gl. 9.6
b
Für Zeiten grösser als ts strebt die Einzelsonde
dem folgenden Gleichgewichtszustand zu:
50