Pictures Paths Particles Processes

298 November 7, 2013
|2, 1〉 = |+00〉 − |0 + 0〉 − |+ − +〉 + |− + +〉
|2, 0〉 = − |0 − +〉 + |−0+〉 − |+0−〉
+ |0 + −〉 − 2 |+ − 0〉 + 2 |− + 0〉
|2, −1〉 = |+ − −〉 − |− + −〉 + |−00〉 − |0 − 0〉
|2, −2〉 = |0 − −〉 − |−0−〉
spin-1(1) :
|1, 1〉 = 6 |+ + −〉 + 3 |0 + 0〉 + 3 |+00〉
+ |+ − +〉 + |− + +〉 − 2 |00+〉
|1, 0〉 = 3 |0 + −〉 + 3 |+0−〉 + 3 |−0+〉
+3 |0 − +〉 − 2 |+ − 0〉 − 2 |− + 0〉 + 4 |000〉
|1, −1〉 = 2 |00−〉 − 3 |−00〉 − 3 |0 − 0〉
spin-1(2) :
− |+ − −〉 − |− + −〉 − 6 |− − +〉
|1, 1〉 = |+00〉 − |0 + 0〉 + |+ − +〉 − |− + +〉
|1, 0〉 = |0 + −〉 − |+0−〉 + |0 − +〉 − |−0+〉
|1, −1〉 = |+ − −〉 − |− + −〉 + |0 − 0〉 − |−00〉
spin-1(3) :
|1, 1〉 = |+ − +〉 + |− + +〉 + |00+〉
|1, 0〉 = |+ − 0〉 + |− + 0〉 + |000〉
|1, −1〉 = |+ − −〉 + |− + −〉 + |00−〉
spin-0 :
|0, 0〉 = |+ − 0〉 + |−0+〉 + |0 + −〉
− |0 − +〉 − |+0−〉 − |− + 0〉 (10.216)
Note that the spin-0 state is totally antisymmetric : obviously, this is the only
possible such state in three space dimensions. We can also compute the ‘partial’
completeness relations pertaining to each spin sector. Some algebra teaches us
that these are the following set of mutually orthogonal projection operators :
spin-3 :
1
6
3∑
m=−3
|3, m〉 µνρ 〈3, m| αβγ
=
(
∆ µ α∆ ν β∆ ρ γ + ∆ µ β∆ ν γ∆ ρ α + ∆ µ γ∆ ν α∆ ρ β
+ ∆ µ β∆ ν α∆ ρ γ + ∆ µ α∆ ν γ∆ ρ β + ∆ µ γ∆ ν β∆ ρ α
− 1 (
∆ µν ( ∆ ρ α∆ βγ + ∆ ρ β∆ γα + ∆ ρ )
γ∆ αβ
15
+ ∆ νρ ( ∆ µ α∆ βγ + ∆ µ β∆ γα + ∆ µ )
γ∆ αβ
)