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1. Des fonctions booléennes et d’une conjecture combinatoire 219Une fois de plus, deux approches sont possibles pour implémenter les objets étudiés : utiliserdes logiciels puissants, mais propriétaires, ou se tourner vers le monde du logiciel libre où lessolutions sont parfois moins abouties, mais présentent souvent d’autres avantages. C’est cetteseconde approche qui a été choisie avec l’utilisation et la contribution au logiciel libre Sage [250].Dans la Section 1, nous nous intéressons à une conjecture combinatoire dont la validité assurel’existence de fonctions booléennes avec de bonnes propriétés cryptographiques. La premièresous-section présente les différentes propriétés attendues d’une fonction booléenne pour un usagecryptographique, ainsi que certaines familles infinies de fonctions les satisfaisant, à condition que laconjecture mentionnée ci-dessus soit vérifiée ; la seconde sous-section donne un certain nombre derésultats concernant cette conjecture, en particulier sa validité dans divers cas. Dans la Section 2,nous concentrons notre attention sur une propriété des fonctions booléennes : la non-linéarité.Et plus particulièrement sur les fonctions courbes et hyper-courbes, c’est-à-dire les fonctionsbooléennes qui atteignent la non-linéarité maximum. Pour ce faire, un certain nombre d’objetsmathématiques sont présentés dans la première sous-section. C’est en particulier le cas des courbeselliptiques et hyperelliptiques qui seront utilisées dans la sous-section suivante. Nous montrerons eneffet dans cette seconde sous-section, comment l’utilisation de ces courbes permet de caractériser,mais aussi de construire efficacement, des fonctions courbes. Dans la Section 3, nous étudions lescourbes elliptiques et hyperelliptiques d’un point de vue différent : nous cherchons à construiredes polynômes de classes à partir de courbes à multiplication complexe. La première sous-sectionprésente le cas classique des courbes elliptiques et du polynôme de classes de Hilbert ; la secondesous-section les extensions de cette méthode aux courbes hyperelliptiques et en particulier auxcourbes de genre deux et aux polynômes d’Igusa dans le cas d’ordre non-maximaux.1 Des fonctions booléennes et d’une conjecture combinatoireDans cette première section, nous nous intéressons à l’utilisation des fonctions booléennes encryptographie symétrique et plus particulièrement à une conjecture d’ordre combinatoire assurantl’existence de fonctions intéressantes d’un point de vue cryptographique.1.1 Fonctions booléennes en cryptographieUne fonction booléenne est une fonction du F 2 -espace vectoriel F n 2 de dimension n vers lecorps F 2 à deux éléments. Les fonctions booléennes sont une brique fondamentale des systèmescryptographiques symétriques. Elles sont par exemple utilisées pour construire des boîtes–S dansles systèmes de chiffrement par blocs et pour filtrer, ou combiner, des registres à décalage àrétroaction linéaire (LFSR) dans les systèmes de chiffrement à flot. C’est cette dernière utilisationqui nous intéresse ici et qui est schématisée dans les Figures 1 et 2Afin d’assurer la sécurité du système cryptographique reposant sur une telle construction, lesfonctions booléennes utilisées doivent vérifier un certain nombre de propriétés. Ainsi, elles doiventêtre :• équilibrées, i.e. prendre aussi souvent les valeurs 0 et 1, afin d’éviter l’apparition de dépendancesstatistiques entre les entrées et les sorties du système et la possibilité de concevoirun distingueur ;• avoir un haut degré algébrique, qui est le multi-degré de la forme polynomiale multivariéede la fonction, afin de résister aux attaques à la Berlekamp–Massey [187], [193, 6.2.3], [38,4.1.1] et à la Rønjom–Helleseth [226] ;