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1. Des fonctions booléennes et d’une conjecture combinatoire 223Conjecture 1.6. Soient k ≥ 2 un entier, t ∈ ( Z/(2 k − 1)Z ) ∗, St,k l’ensembleS t,k = { a ∈ Z/(2 k − 1)Z | r(a, t) > w H (t) } ,et P t,k le nombreAlorsP t,k = #S t,k /2 k .P t,k ≤ 1 2 .Les considérations précédentes ne permettent malheureusement plus de conclure aussi facilement.Un approche similaire indique en effet simplement queS t,k + S −t,k ≤ 2 ken général. Elles permettent cependant de conclure dans quelques cas dégénérés ; par exemple sit = 0, ou si t et −t sont dans la même classe cyclotomique.Pour continuer notre étude, décomposons t, qui sera maintenant considéré comme fixe, de lafaçon suivante.Définition 1.7.α 1{β 1{α i{t = 1---10---0... 1---10---0... 1---10---0t 1 t iavec d le nombre de blocs, α i et β i les nombres de 1 et de 0 dans le i-ième bloc et B = ∑ di=1 β i =k − w H (t).Pour un entier modulaire a, nous définissons les quantités correspondantes de la façon suivante.Définition 1.8.α 1{β 1{α i{β i{α d{t = 1---10---0...1---10---0...1---10---0 ,β i{α dt d{a = ?10-0?01-1...?10-0?01-1...?10-0?01-1γ 1 δ 1 γ i δ i γ d{{{La première étape est alors de traiter le cas où t est composé d’un unique bloc. Dans cettesituation, il est encore possible d’expliciter le nombre de retenues produites lors de l’addition d’unentier modulaire a.{{β d{β d{{δ d,Proposition 1.9. La proportion P (e) d’entiers a tels que k − r(a, t) = e est⎧⎨ 2 −β pour e = 0 ,P (e) = −|e−β| 1−4M−m2⎩3pour 0 < e < α + β ,2 −α − 2 −α−β pour e = α + β ,oùm = min(e, α) et M = max(0, e − β) .Cette proposition permet de conclure dans le cas où d = 1 et exprime #S t,k de façon explicite.Théorème 1.10. Soient k ≥ 2 et t ∈ ( Z/(2 k − 1)Z ) ∗fait d’un unique bloc. Alors{−α−β 1−2−2α2P t,k =3si 1 ≤ α ≤ k−12,1+2 −2β+13si k−12≤ α ≤ k − 1 .