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3. Multiplication complexe et polynômes de classes 2353 Multiplication complexe et polynômes de classesDans cette dernière section nous approfondissons un aspect quelque peu différent des courbeselliptiques et des variétés abéliennes — une autre généralisation en dimensions supérieures de cesdernières — : la multiplication complexe et la construction de polynômes de classes. De tellesconstructions ont cette fois-ci des applications en cryptographie asymétrique.3.1 Multiplication complexe et courbes elliptiquesDans la section précédente nous avons considéré les courbes elliptiques sur des corps finis. Danscelle-ci nous considérons principalement les objets sur le corps des nombres complexes.Sur le corps des nombres complexes C, une courbe elliptique peut toujours être décrite parune équation de Weierstraß de la formeE : y 2 = x 3 + ax + b .Dans cette situation, le j-invariant d’une courbe elliptique, qui les classifie à isomorphisme prèssur un corps algébriquement clos, a une expression particulièrement simple :où ∆ ≠ 0 est le discriminant de la courbej = −1728 (4a)3∆ ,∆ = −16(4a 3 + 27b 2 )et caractérise sa non-singularité.Sur le corps des nombres complexes C, il existe une autre description d’une courbe elliptiqueen tant que tore complexe, c’est-à-dire comme le plan complexe quotienté par un réseau. Un telobjet est représenté dans la Figure 8. Le théorème d’uniformisation assure que la réciproque decette affirmation est également vraie.Théorème 3.1 (Uniformisation [245, Corollary I.4.3]). Soient a et b deux nombres complexestels que 4a 3 + 27b 2 ≠ 0. Alors il existe un réseau Λ dans C tel que l’applicationC/Λ → E : y 2 = x 3 + ax + b ,z ↦→ [℘(z, Λ) : 1 2 ℘′ (z, Λ) : 1] ,où ℘ est la fonction ℘ de Weierstraß, est un isomorphisme analytique complexe.Le choix d’une base du réseau Λ conduit à une seconde bijection avec l’ensemble des élémentsτ du domaine fondamental du demi-plan de Poincaré H. Ce résultat peut aussi être raffiné pourmontrer que la catégorie des courbes elliptiques complexes à isomorphisme près et celle desréseaux à homothétie près sont équivalentes.Les courbes qui nous intéressent maintenant sont les courbes à multiplication complexe, i.e.les courbes elliptiques qui ont strictement plus d’endomorphismes que les multiplications parun entier qui proviennent de la loi de groupe sur la courbe elliptique et que nous avons déjàévoquées dans la section précédente. Sur un corps fini, toute courbe a multiplication complexe.L’endomorphisme de Frobenius ne correspond en effet à aucun endomorphisme de multiplication.Sur le corps des nombres complexes, la situation est inverse et une courbe générique n’a pasd’endomorphismes supplémentaires. Le nom de multiplication complexe provient de l’identification