here - Sites personnels de TELECOM ParisTech - Télécom ParisTech

2. Fonctions courbes et comptage de points sur les courbes algébriques 227De simples considérations d’ordre probabiliste permettent alors de prouver la validité de laconjecture de Tu et Deng dans un cadre asymptotique.Théorème 1.19. Soit d ≥ 1 un entier. Il existe une constante K d telle que, si ∀i, β i ≥ K d , ona alorsf d (β 1 , . . . , β d ) < 1 2 .Pour conclure cette section, notons qu’une approche inductive naïve semble difficile à mettreen place ; de nombreuses données expérimentales soutiennent cette affirmation. Enfin, d’un pointde vue calculatoire, nous avons étendu les résultats de Tu et Deng, qui avaient vérifié la validitéde leur conjecture pour k ≤ 29, jusqu’à k = 40. Notre implémentation en C [148] s’appuiesur la version 2.2 de la bibliothèque FLINT [127] pour l’arithmétique et la version 1.5.4 de labibliothèque OpenMPI [106] pour distribuer les calculs.2 Fonctions courbes et comptage de points sur les courbesalgébriquesDans cette section nous nous concentrons sur une propriété bien précise des fonctions booléennes :la non-linéarité ; et plus particulièrement aux fonctions qui atteignent la non-linéarité maximum.Ce sont les fonctions courbes et nous les étudierons au travers de leur forme polynomiale. Deplus, nous nous efforcerons de décrire des algorithmes efficaces permettant de générer de tellesfonctions. Ces algorithmes font intervenir de façon quelque peu inattendue des objets rencontréshabituellement en cryptographie asymétrique : les courbes elliptiques et hyperelliptiques.2.1 Fonctions courbes et courbes algébriquesRappelons que le corps fini F 2 n à 2 n éléments est (non-canoniquement) isomorphe au F 2 -espacevectoriel F n 2 de dimension n. Toute fonction booléenne peut donc s’écrire de façon unique sousforme d’une somme de traces de monômes :∀x ∈ F 2 n, f(x) = ∑ (aj x j) + ɛ(1 + x 2n−1 ), a j ∈ F 2 o(j) ,Tr o(j)1j∈Γ noù Γ n est un ensemble de représentants des classes cyclotomiques modulo 2 n − 1 (incluant laclasse triviale de 0), o(j) est la taille du coset cyclotomique contenant j, et ɛ = w H (f) modulo 2.C’est ce qu’on appelle la forme polynomiale. Un problème difficile consiste alors à donnerdes conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients a j pour que la fonction booléennecorrespondante soit courbe.Afin d’attaquer ce problème, une première étape consiste à exprimer le caractère courbe àl’aide de la transformée de Walsh–Hadamard.Définition 2.1. Soit f une fonction booléenne définie sur F 2 n. La transformée de Walsh–Hadamard de f est la transformée de Fourier discrète de χ f = (−1) f . Pour ω ∈ F 2 n, elleest explicitement donnée par̂χ f (ω) = ∑(−1) f(x)+Trn 1 (ωx) .x∈F 2 nUne fonction est courbe si et seulement si sa transformée de Walsh–Hadamard ne prend queles valeurs ±2 n/2 . Si de plus toute fonction de la forme f(x k ) avec k premier avec 2 n − 1 estencore courbe, la fonction est dite hyper-courbe.