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234 Résumé longProposition 2.13. Soient f : F 2 m → F 2 m une fonction telle que f(0) = 0, g la fonctionbooléenne g = Tr m 1 (f) et G f et H f les courbes affines définies sur F 2 m parG f : y 2 + y = f(x) ,H f : y 2 + xy = x + x 2 f(x) .Alors∑χ (g(x)) = −2 m − 1 + #G f ,x∈F ∗ 2∑m χ ( Tr m (1 x−1 ) + g(x) ) = −2 m + #H f .x∈F ∗ 2 mIl est donc possible d’étendre l’approche précédente au critère de Mesnager.Théorème 2.14 (Reformulation du second critère de Mesnager). Soient H a et G a les courbesaffines définies sur F 2 m parG a : y 2 + y = ∑ r∈Ra r D r (x) ,H a : y 2 + xy = x + x 2 ∑ r∈Ra r D r (x) ;et H 3 a et G 3 a les courbes affines définies sur F 2 mparG 3 a : y 2 + y = ∑ r∈Ra r D r (D 3 (x)) ,H 3 a : y 2 + xy = x + x 2 ∑ r∈Ra r D r (D 3 (x)) .Si b est un élément primitif de F 4 , alors f a,b est hyper-courbe si et seulement si#H 3 a − #G 3 a = 3 .Si b = 1, alors f a,1 est hyper-courbe si et seulement si(#G3a − #H 3 a)−32 (#G a − #H a ) = 3 2 .Enfin, en utilisant le fait [47] que la fonction x ↦→ D 3 (x) induit une permutation de{x ∈ F 2 m | Tr m 1 (1/x) = 0} ,il est possible d’obtenir une reformulation plus efficace.Théorème 2.15 (Reformulation du second critère de Mesnager). Si b est un élément primitif deF 4 , alors f a,b est hyper-courbe si et seulement si#G 3 a − 1 2 (#G a + #H a ) = − 3 2 .Si b = 1, alors f a,1 est hyper-courbe si et seulement si2#G 3 a − 5 2 #G a + 1 2 #H a = 3 2 .Le genre des courbes utilisées est en effet moindre, conduisant donc à des tests plus efficaces.