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2. Fonctions courbes et comptage de points sur les courbes algébriques 233f a,b la fonction définie sur F 2 nparf a,b (x) = ∑ r∈RTr n 1(a r x r(2m −1) ) + Tr 2 1) (bx 2n −13,où R ⊆ S et a r ∈ F 2 m. Soit g a la fonction booléenne définie sur F 2 mparg a (x) = ∑ r∈RTr m 1 (a r D r (x)) ,où D r (x) est le polynôme de Dickson de degré r. Alors :1. Si b est un élément primitif de F 4 , alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :(a) f a,b est hyper-courbe ,∑(b)χ (g a (D 3 (x))) = −2 ,(c)x∈F ∗ 2 m ,Tr m 1 (x−1 )=1∑x∈F ∗ 2 m χ ( Tr m 1(x−1 ) + g a (D 3 (x)) ) = 2 m − 2 w H (g a ◦ D 3 ) + 3 ;2. f a,1 est hyper-courbe si et seulement si∑∑2χ (g a (D 3 (x))) − 3χ (g a (x)) = 2 .x∈F ∗ 2 m ,Tr m 1 (x−1 )=1x∈F ∗ 2 m ,Tr m 1 (x−1 )=1Lisoněk [182, 181] a ensuite montré comment étendre la reformulation des sommes de Kloostermanen termes de courbes elliptiques pour exprimer le critère de Charpin et Gong à l’aide dunombre de points sur des courbes hyperelliptiques et a obtenu le critère suivant.Théorème 2.12 (Reformulation du critère de Charpin et Gong [182, 181]). Soient H a et G a lescourbes affines définies sur F 2 m parG a : y 2 + y = ∑ r∈Ra r D r (x) ,H a : y 2 + xy = x + x 2 ∑ r∈Ra r D r (x) .Alors f a est hyper-courbe si et seulement si#H a − #G a = −1 .L’intérêt d’une telle reformulation est double. D’un point de vue théorique, elle relie des problèmesconcernant les sommes exponentielles et les fonctions courbes à des problèmes concernantle nombre de points de courbes hyperelliptiques. D’un point de vue pratique, elle permet de testerle caractère courbe d’une fonction en temps polynomial.Cependant, un étude fine du résultat de Lachaud et Wolfmann montre qu’il est possible defaire beaucoup mieux. Sommes exponentielles et cardinaux de courbes d’Artin–Schreier sont eneffet reliés de la façon suivante.