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238 Résumé longAlgorithme 1 – Calcul du polynôme de classes de HilbertDonnées: Un discriminant négatif ∆ ≡ 0, 1 (mod 4)Résultat: Le polynôme de classes de Hilbert H ∆ (X) de l’ordre de discriminant ∆1 Calculer une base de l’ordre O de discriminant ∆2 Calculer le groupe de classes Pic(O) de O3 pour chaque a ∈ Pic(O) faire4 Calculer j(a) avec suffisamment de précision5 Construire H(X) ∈ Z[X] à partir des approximations complexes de ses racines6 retourner H(X)elliptiques sur un corps fini qui ne pourraient être obtenues par recherche aléatoire. Sous certainescontraintes, l’anneau des endomorphismes de la courbe ne change pas et son Frobenius est doncconnu, tout comme son nombre de points. De plus, cette connaissance préalable peut égalementpermettre de s’assurer que le degré de plongement de la courbe réduite sera petit, chose impossibleen tirant des courbes au hasard. De telles courbes sont particulièrement utiles dans le cadre de lacryptographie fondée sur l’identité.3.2 Multiplication complexe en genre supérieurPassons maintenant au cas de la dimension supérieure. Dans la section précédente nous avonsgénéralisé les courbes elliptiques, qui sont des courbes de genre 1, par les courbes hyperelliptiques. Ilest possible d’adopter un point de vue plus général en considérant la structure de groupe algébriqueprojectif de dimension 1 des courbes elliptiques. L’extension naturelle est alors de considérer lesgroupes algébriques projectifs de dimension supérieure : ce sont les variétés abéliennes. Le lienentre ces deux approches peut se faire à l’aide de la jacobienne d’une courbe qui est une variétéabélienne dont le groupe des points est isomorphe au sous-groupe de degré zéro du groupe dePicard de la courbe.Sur le corps des nombres complexes C, une variété abélienne A de dimension g est à nouveauisomorphe à un tore complexe X = V/Λ où V est un C-espace vectoriel de dimension g et Λest un réseau dans V . Cependant, la réciproque n’est plus vraie dès que g ≥ 2 : il existe destores complexes qui ne sont pas des variétés abéliennes. Une condition nécessaire et suffisantepour qu’un tore complexe soit une variété abélienne est l’existence d’une forme de Riemannnon-dégénérée pour le réseau Λ.Théorème 3.5 ([204, Theorem I.2.8]). Un tore complexe X = V/Λ est projectif si et seulements’il admet une forme de Riemann non-dégénérée, i.e. une forme R-bilinéaire alternée réelle ω(x, y)à valeurs entières sur Λ telle queω(ix, iy) = ω(x, y)pour tous x et y dans V et telle que ω(x, ix) > 0 pour tout x ∈ V non-nul.L’existence d’une forme de Riemann permet en effet de construire suffisamment de fonctionsthêta pour plonger le tore dans un espace projectif. Les conditions de Riemann donnent un critèresimple pour l’existence d’une telle forme.Théorème 3.6 (Conditions de Riemann [65, Théorème VI.1.3]). Soit X = V/Λ un tore complexede dimension g. Il existe une forme de Riemann ω sur X si et seulement s’il existe un base{e 1 , . . . , e g } de V , des entiers strictement positifs d 1 , . . . , d g vérifiant d 1 | . . . |d g et une matrice