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224 Résumé longAfin d’utiliser les résultats ci-dessus pour des nombres t composés de plusieurs blocs il estnécessaire de poser l’hypothèsemin(α i ) ≥id∑β i − 1 = B − 1 = k − w H (t) − 1 .i=1Ceci assure que tous les blocs de t se comportent de la même façon quand un entier a ∈ S t,k estajouté : ils débordent, i.e. une retenue se propage toujours d’un bloc à l’autre. De plus, la valeurexacte de #S t,k ne dépend plus de l’ordre des blocs, ni de la valeur des α i , d’où la définitionsuivante.Définition 1.11. Soient k ≥ 2 et t ∈ ( Z/(2 k − 1)Z ) ∗tels quemin(α i ) ≥id∑β i − 1 = B − 1 = k − w H (t) − 1 .i=1La fonction f d (β 1 , . . . , β d ) est définie parf d (β 1 , . . . , β d ) = P t,k .Il est également possible d’exprimer #S t,k en utilisant les valeurs de P (e) ci-dessus.Proposition 1.12. La fonction f d s’exprime commef d (β 1 , . . . , β d ) =B−1∑E=0∑∑d ei=E0≤e iB−1∑= 2 −B 3 −dE=0∏P (e i )d2 −E ∑∑d ei=E0≤e i∏d()4 max(1,min(ei,βi)) − 1Cette expression permet de construire un famille d’entiers qui atteignent la borne de laconjecture.Théorème 1.13. Pour k ≥ 2, on af d (1, . . . , 1) = 1 2 .Une étude analytique permet de conclure dans le cas où t est composé de deux blocs.Théorème 1.14. Soient k ≥ 2 et t ∈ ( Z/(2 k − 1)Z ) ∗tels que d = 2 et α1 , α 2 ≥ B − 1. Alors#S t,k ≤ 2 k−1 .La fonction f 2 s’exprime en effet explicitement de la façon suivante.Proposition 1.15. La fonction f 2 est donnée parf 2 (x, y) = 11 ( 227 + 4−x 9 x − 2 )27+ 4 −y ( 29 y − 227)+ 4 −x−y ( 2027 − 2 9 (x + y) )..