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226 Résumé longSon graphe est représenté dans les Figures 3 et 4.Une telle approche peut se généraliser à un nombre de blocs supérieur. Une étude plus pousséede l’expression de f d sous forme de somme donnée plus haut permet d’obtenir la forme closesuivante.Proposition 1.16. Pour tout d ≥ 1, f d peut s’écriref d (β 1 , . . . , β d ) =∑ ∑ 4 − i∈I βi P #Id({β i } i∈I) ,I⊂{1,...,d}où Pd n est un polynôme multivarié symétrique en n variables de degré total d − 1 et de degré d − 1en chaque variable pour n > 0 et 0 pour n = 0.Les coefficients a d,n(i 1,...,i n)des polynômes multivariés sont donnés par la formule suivante.Proposition 1.17. Supposons que i 1 ≥ . . . ≥ i m ≠ 0 > i m+1 = 0 = . . . = i n = 0 et que m > 0.Notons l la somme l = i 1 + . . . + i n > 0 (i.e. le degré total du monôme). Alors( )a d,n(i = l1,...,i n) (−1)n+1 b d,nl,mi 1 , . . . , i ,noù ( )li 1,...,i nest un coefficient multinomial et bd,nl,mest défini parn−mb d,nl,m = ∑( n − mii=0) d−n∑( ) d − njj=0⎛⎝ ∑ k≥1∑k j≥0,j∈I∪J,1≤j≤mDans cette expression de b d,nl,m, les notations sont :et• I = {m + 1, . . . , m + i} ;• J = {n + 1, . . . , n + j} ;• S = ∑ j∈I∪J,1≤j≤m k j ;• h = d − m − j − i ;(l + S − m)!l!2 k [ ] ⎞ h − k ⎠ ∏ A kj∏ A kj − 3 kj=0(h − k)! l + S − m k j ! k j !j∈J j∈I⎧⎨ A j + Bj+1j+1si j > 0 ,C j = −⎩13 6si j = 0 ,1 si j = −1 ,où A i est une somme de nombres eulériens et B i est un nombre de Bernoulli.m∏j=1C kj−1|k j − 1|!Enfin, il est possible d’exprimer la limite de f d quand les β i tendent vers l’infini à l’aide deséries hypergéométriques.Proposition 1.18. Pour d ≥ 1 et k ≥ 0, notons P d = 1 − 2f d (∞, . . . , ∞). AlorsP d = 1 ∑ ∞ ( ) 2 d − 1 + j 14 d d − 1 4 j = 1 4 d 2 F 1 (d, d; 1; 1/4) .j=0En particulier,13 d ≤ P d ≤ 1+3·2d−24 d . Qui plus est, P 1 = 1/3 et P 2 = 5/27..