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3. Multiplication complexe et polynômes de classes 241Le théorème principal de la multiplication complexe décrit ensuite l’action du groupe de Galoisabsolu du corps réflexe sur un triplet (A, i, ψ).Théorème 3.12 (Théorème principal de la multiplication complexe sur le corps réflexe [238,Theorems IV.18.6 and IV.18.8], [159, Theorem 3.6.1], [205, Theorem II.9.17], [57, Theorem 6.3]).Soit (A, i, ψ) une variété abélienne complexe CM polarisée de type (O, Φ, a, ξ) vis-à-vis d’uneparamétrisation analytique θ. Soient σ ∈ Aut(C/K r ) et s une idèle de K r telle que σ =(s, K r ) K r ab. Il existe une unique paramétrisation analytique θ ′ telle que (A σ , i σ , ψ σ ) est de type(K, Φ, N Φ r(s −1 )a, N Q (s)ξ) vis-à-vis de θ ′ et telle que le diagramme suivant est commutatif :K/aθ ◦ ΦA torN Φ r(s −1 )σK/ N Φ r(s −1 )aθ ′ ◦ ΦA σ torNous pouvons associer à l’idèle s un O-idéal fractionnaire inversible [s] O afin de décrire l’actionde s et donc de σ. Cette action peut être étendue à Aut(C), mais il n’est alors plus possible de ladécrire de façon suffisamment explicite en termes d’idéaux.Nous pouvons maintenant étendre la construction de polynômes de classes aux courbeshyperelliptiques de genre 2 en suivant les travaux de Streng [252]. Les courbes hyperelliptiquesde genre 2 sont classifiées à isomorphisme près par trois invariants appelés invariants d’Igusa.Sur le corps des nombres complexes, toute surface abélienne simple principalement polarisée estisomorphe à la jacobienne d’une courbe et toute courbe de genre 2 est hyperelliptique. De plus, lethéorème de Torelli assure que deux courbes sont isomorphes si et seulement leurs jacobiennes,munies de leurs polarisations principales canoniques, le sont. Les surfaces abéliennes simplesprincipalement polarisées peuvent donc être classifiées par les invariants d’Igusa des courbesassociées. Ces invariants peuvent se calculer directement à partir de la matrice des périodes d’unesurface abélienne en utilisant les fonctions thêta. Il est donc possible d’étendre l’approche de lasous-section précédente de différentes façons pour construire les polynômes de classes d’Igusa parapproximation complexe :• calculer les invariants de l’orbite d’un idéal de O sous l’action du groupe de Galois du corpsréflexe en utilisant le groupe de classes de son anneau des entiers, le théorème principal dela multiplication complexe et la norme réflexe — dans ce cas le polynôme est à coefficientsdans le sous-corps fixé par la conjugaison complexe du corps réflexe — ;• calculer les invariants pour l’orbite d’un idéal de O sous l’action du groupe de Picard de O,i.e. du groupe des idéaux fractionnaires inversibles de O ;• calculer les invariants pour l’ensemble du semi-groupe de classes de O, i.e. toutes les classesd’idéaux propres de O.Enfin, une méthode de Mestre permet de retrouver l’équation d’une courbe hyperelliptique degenre 2 à partir de ses invariants d’Igusa. Les polynômes de classes d’Igusa peuvent donc êtreutilisés pour construire des courbes hyperelliptiques de genre 2 intéressantes d’un point de vuecryptographique.