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3. Multiplication complexe et polynômes de classes 237des endomorphismes de la courbe avec ceux du réseau : une multiplication complexe est lamultiplication par un nombre complexe non réel qui envoie le réseau dans lui-même. Un telendomorphisme existe si et seulement si le nombre τ du demi-plan de Poincaré correspondant auréseau est quadratique. Un exemple de ce type de réseaux est donné dans la Figure 9Si τ est quadratique et appartient au corps quadratique imaginaire K, alors l’anneau desendomorphismes de la courbe correspondante E = E τ est un ordre O dans K, i.e. un réseauqui est aussi un sous-anneau de l’anneau des entiers O K de K. Notons Ell(O) l’ensemble descourbes elliptiques complexes à multiplication complexe par O. À homothétie près, Λ τ est unO-idéal. Plus précisément, O est le plus grand ordre pour lequel cette propriété est vraie. Unidéal fractionnaire vérifiant cette propriété est dit propre. Pour un corps quadratique, être propreest équivalent à être inversible. En utilisant la structure de O-idéal de Λ τ une action de Prop(O)sur Ell(O) peut être définie de la façon suivante : pour a un idéal fractionnaire propre de O,définissons a ∗ Λ τ comme l’idéala ∗ Λ τ = a −1 Λ τ .Modulo l’action triviale des idéaux fractionnaires principaux, cette action est propre et transitive.Proposition 3.2 ([245, Proposition II.1.2]). Soient K un corps quadratique imaginaire et O unordre dans K. Alors l’action du groupe de Picard Pic(O) sur Ell(O) est simple et transitive. Enparticulier, #Ell(O) = h(O) le nombre de classes de O.Définissons maintenant le polynôme de classes de Hilbert.Définition 3.3 (Polynôme de classes de Hilbert). Soient K un corps quadratique imaginaire etO un ordre dans K. Le polynôme de classes de Hilbert H O (X) de O estH O (X) =∏(X − j(E)) .E∈Ell(O)Il est possible de définir une autre action sur Ell(O). Si σ ∈ Aut(C) est un automorphisme deC, la courbe E σ associée à E par l’action de σ a également multiplication complexe par O etappartient donc a Ell(O). Les considérations précédentes montrent que l’ensemble {j(τ) σ } σ∈Aut(C)est fini et que H O (X) est à coefficients rationnels. Il est en réalité possible de montrer que j(E) estun entier algébrique quand E a multiplication complexe [245, Theorem II.6.1], [160, Theorem 5.2.4]et que H O (X) est donc à coefficients entiers.Il est possible de relier les deux actions décrites ci-dessus. Le groupe Pic(O) est un groupe declasses d’idéaux généralisé. Par le théorème d’existence [216, Theorem VI.6.1], [145, Theorem 2.2],il existe une extension abélienne de K, appelée corps de classes d’anneaux de O, telle queGal(H O /K) ≃ Pic(O) .Théorème 3.4 ([145, Theorem 3.16], [245, Theorem II.4.3], [160, Theorem 10.3.5]). Soient K uncorps quadratique imaginaire et O un ordre dans K. Soient σ ∈ Aut(C/K) et b un idéal proprede O dont le symbole d’Artin sur le corps de classes d’anneaux est σ. Soit a un idéal propre de O.Alorsj(a) σ = j(b ∗ a) .En particulier, K(j(E)) est le corps de classes d’anneaux de O et [K(j(E)) : K] = [Q(j(E)) :Q] = h(O). Enfin, le théorème principal de la multiplication complexe se déduit assez aisémentdu théorème précédent et décrit l’action de σ sur les points de torsion de E.La construction du polynôme de classes de Hilbert est décrite dans l’Algorithme 1. Laconnaissance du polynôme de Hilbert d’un ordre permet de construire, par réduction, des courbes