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3. Multiplication complexe et polynômes de classes 239Ω ∈ H g , appelée matrice des périodes, telle que Λ s’écrit vis-à-vis de la base {e 1 , . . . , e g }Λ = ΩZ g ⊕ ∆Z goù ∆ est la matrice diagonale de coefficients d 1 , . . . , d g .La racine carrée du déterminant de ω est appelé pfaffien et vautpf(ω) = d 1 · · · d g .La donnée d’une forme de Riemann sur le corps des nombres complexes C est équivalenteà la donnée d’une polarisation. De notre point de vue, la généralisation correcte des courbeselliptiques est une variété abélienne polarisée. Le choix d’une polarisation assure en effet que legroupe des automorphismes d’une variété abélienne est fini. La polarisation est dite principale sile pfaffien de la forme de Riemann est égal à 1. L’existence d’une polarisation principale équivautà l’existence d’un isomorphisme entre la variété abélienne et sa duale. La jacobienne d’une courbeest canoniquement munie d’une polarisation principale.Une variété abélienne A de dimension g est dite avoir multiplication complexe si son algèbredes endomorphismes contient un corps CM, i.e. une extension quadratique totalement imaginaired’une extension totalement réelle de Q, de degré 2g. Si l’injection correspondante est notéei : K → End 0 (A), alors le couple (A, i) est appelé variété abélienne CM. L’image inverse del’anneau des endomorphismes de A dans K est un ordre O = i −1 (End(A)). Si cet ordre estmaximal, i.e. s’il est égal à l’anneau des entiers O K de K, alors la variété abélienne est diteprincipale. Si A est isotypique et définie sur un corps fini, alors elle a toujours multiplicationcomplexe. Si A est définie sur le corps des nombres complexes, l’injection i peut être décrite surl’espace tangent à A en 0 par le choix de g plongements distincts de K dans C non deux à deuxconjugués par la conjugaison complexe. Un tel ensemble Φ est appelé type CM. Il vérifieHom(K, C) = Φ ⊔ Φ .Le type CM est dit primitif s’il ne provient pas de l’extension d’un type CM d’un sous-corpsCM strict de K. Une variété abélienne CM est simple si et seulement si le type CM associé estprimitif. Le choix d’un type CM permet également de définir le corps réflexe de K.Définition 3.7 (Corps réflexe [205, Proposition I.1.16]). Soient K un corps CM et Φ un typeCM. Le corps réflexe K r de la paire CM (K, Φ) est le corps fixé par le groupeH = { σ ∈ Gal(Q/Q) | σΦ = Φ } .De façon équivalente, K r est engendré par l’ensemble des éléments de la forme∑φ(a), a ∈ K .φ∈ΦIl est possible de munir K r d’un type CM Φ r associé à Φ et appelé type réflexe. La normeréflexe N Φ r est alors définie de la façon suivanteK r → K ,x ↦→ ∏φ∈Φ r φ(x) .Si (A, i) est une variété abélienne complexe CM de type (O, Φ), alors elle peut être décritepar un réseau de K et même par un O-idéal propre.